期末真題必刷常考60題（34個(gè)考點(diǎn)專(zhuān)練）

一.塞的乘方與積的乘方（共1小題）

I.（2022秋?民權(quán)縣期末）如果/〃=3,/=5,那么a2m+n=45.

【分析】分別根據(jù)暴的乘方以及同底數(shù)幕的乘法法則解答即可.

【解答］解："=3/=5,

:.廬〃1〃=（h〃）2X。”=32X5=9X5=45.

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳了同底數(shù)幕的乘法以及幕的乘方與積的乘方，熟記基的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

二.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式（共1小題）

2.（2022秋?花都區(qū)期末）計(jì)算工2?（-6"）的結(jié)果是-2強(qiáng).

3

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【解答】解:暫/*（-6ab）

=,lx（-6）a2+lZ?

=-2。%.

故答案為：?2/瓦

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)犍是對(duì)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的掌握.

三.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共1小題）

3.（2022秋?平昌縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：3a（2j-4〃+3）-%2（3〃+4）,其中a=-2.

【分析】首先根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則去掉括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入已知的數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解：3a（2J-4〃+3）-2（?（3。+4）

=6〃3-12^2+9a-6a3-Sa2

=-20a2+9a,

當(dāng)a=-2時(shí)，原式=-20X4-9X2=-98.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了整式的化簡(jiǎn).整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng),這是各地中考的常考

點(diǎn).

四.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共2小題）

4.（2022秋?瀘縣校級(jí)期末）若。-3）（x+5）=/+"a-15,則m的值為（）

-8B.2C.-2D.-5

【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開(kāi)，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式求解即可.

【解答】解：??(-3)(x+5)=/+2x-15=*+m-15.

〃?=2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，恒等原理等，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，恒等的兩個(gè)

代數(shù)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等.是求解的關(guān)鍵.

5.(2022秋?忻府區(qū)期末汝1圖，從一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮中剪去一個(gè)小正方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(2a+〃)米攪為(〃+與米,

正方形的邊長(zhǎng)為。米.

[1)求剩余鐵皮的面積；

[2)當(dāng)。=3/=2時(shí),求剩余鐵皮的面積.

【分析】(1)用長(zhǎng)方形的面積減去正方形的面積進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

[2)將。=3/=2代入(I)中所求式子即可得出答案.

【解答】解：(I)：從一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮中剪去一個(gè)小正方形，

，剩余鐵皮的面積為：3+份(2〃+份-

化簡(jiǎn)得：a2+3ab+b2,

卻剩余鐵皮的面積為J+3向+/平方米；

[2)將4=3力=2代入cr+3ab+b\

得32+3X3X2+22=31,

???剩余鐵皮的面積為31平方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于正確計(jì)算.

五.完全平方公式的幾何背景(共2小題)

6.(2022秋?寧鄉(xiāng)市期末)【閱讀理解】

若x滿(mǎn)足(32-x)(x-12)=100,^(32--12猿的值.

解:設(shè)32--12="則[32-x)(x-\2]=a*b=100,a+b=(32-x)+(x-12)=20,(32-x)2+(x-12)2=

a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2X100=200,

我們把這種方法叫做換元法.利用換元法達(dá)到簡(jiǎn)化方程的Fl的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

【解決問(wèn)題】

⑴若％滿(mǎn)足(100-x)(x-95)=5,則(100-x)2+(x-95)2=15:

⑵若x滿(mǎn)足(2023-A)2+(A--2000)2=229,求(2023-x)(x-20()0)的值；

⑶如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中工8=24"〃,點(diǎn)E,F是邊BC,CD上的點(diǎn),EC=12c〃?,且8E=。尸=XCM,分別以

FC,CB為邊在長(zhǎng)方形ABCD外測(cè)作正方形CFGH和C3MN,若長(zhǎng)方形CBQF的面積為320。/求圖中陰影

部分的面積和.

AQBM

【分析】(I)根據(jù)閱讀材料的方法，設(shè)100-x=a,x-95=力,貝I」4b=5,而a+b=5,根據(jù)a2+b2=(a+b)2-2時(shí),即

可求解；

⑵設(shè)2023-工=穌-2000=〃,則/+匕2=229,而。+6=23,最后艱據(jù)完全平方公式，即可求解；

⑶設(shè)(7/=〃4。=〃,根據(jù)長(zhǎng)方形C3QF的面積為320c/R列方程同理可得結(jié)論.

【解答】解：⑴根據(jù)閱讀材料的方法，設(shè)10()-x=〃,x-95=〃、

則ab=5,

而a+b=5,

.*.(100-x)2+(x-95)2=?2+/?2=(?+/?)2-2ab=5?-2X5=15;

故答案為：15;

⑵設(shè)2023-x=a^-2000=〃,則a2+h2=229.

而a+b=23,

\ta2+b2=(a+b)2-2ab,

：.2ab=(a+b)2-(6/2+Z>2)=232-229=529-229=300,

:?ab=150,

即(2023-x)(x-2000)=150;

◎)由題意得：CF=CD-DF=24-x,BC=CE+BE=x+\2,

設(shè)CF=a,BC=b,

/.?1/?=24-XIXI12=36,

⑶???〃+/?=17,時(shí)=60,

/.c2=?2+/72

=3+6)2_2ab

=172-2X60

=169,

???c=13.

答：斜邊的長(zhǎng)為13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，將公式進(jìn)行適當(dāng)

的變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

六.完全平方式(共2小題)

8.(2022秋?江漢區(qū)期末)已知『十四49是完全平方式，則m==6.

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出，〃的值.

【解答】解：???9+〃/9是完全平方式，

二)2+〃少+9=Q±3產(chǎn)=y2±6y+9,

.??/〃=±6,

*.m=±6.

故答案為：土6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?離石區(qū)期末)在課后服務(wù)課.匕老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片/種紙片是邊長(zhǎng)為。的正方

形出種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形,C種紙片是長(zhǎng)為。，寬為a的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張,8種紙片一張C

種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

【發(fā)現(xiàn)】

U)根據(jù)圖2,寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式(a+份2=〃2+2"^2

【應(yīng)用】

Q)根據(jù)(1)中的數(shù)學(xué)公式，解決如卜.問(wèn)題：

①已知：4+力=7,/+廬=25,求ab的值.

②如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為(8-x)和(x-2),且(8-x)2+(x-2)2=20,求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.

b

b

b

BbC

即圖2

【分析】(1)由圖形得出完全平方公式即可；

[2)①根據(jù)完全平方公式計(jì)算出ab的值即可；

②利用完全平方公式求解即可.

【解答】解：⑴由圖2可知,(〃+。)2=a2+2ab+b2,

故答案為：(。+勿2=『+2而+人

⑵①??Z+〃=7,

(a+h)2=ci2+2ab+1^=49,

,??搭房=25,

???2"=24,

.*.?/?=12;

②由(1)知,[(8?x)+(x-2)]2=(8-X)2+2(8-x)(x-2)+(x-2)2=36,

V(8-X)2+(X-2)2=20,

A2(8-.r)(.r-2)=16,

A(8-x)(x-2)=8,

故這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

七.因式分解?運(yùn)用公式法(共1小題)

10.(2022秋?湖里區(qū)期末)下列能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是()

A.『+x+lB.X2-lx-IC.x2-4x+4D.x2-y2

【分析】利用公式法進(jìn)行分解，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、f+2x+l=(x+r)2,故A不符合題意；

B、?-2v+l=(x-19,故B不符合題意；

C、?-4,v+4=(x-2)2,故C符合題意；

D、X2-.y2=(x+y)a-y),故D不符合題意；

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解?運(yùn)用公式法,熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

八.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用(共1小題)

11.(2023春?余江區(qū)期末)分解因式:

⑴3d-6。力+3序；

-2)+)?(2-in).

【分析】(I)先提公因式,然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；

[2)先提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可.

【解答】解：(1)3?2-6ab+3b2

=3(/-2ab+b2)

=33-b)2;

(2)A2(/?-2)+/(2-tn)

={tn-2)(/-/)

=5-2)(x+y)(x-y).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用,一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提

公因式.

九.因式分解?十字相乘法等(共1小題)

12.(2022秋?沂水縣期末)下列因式分解結(jié)果正確的是()

A.-c上+4a=-a(a+4)

B.crb-2ab+b=b(a-I)2

C.-lr=(9a+b)(9a-b)

D.a2-4a-5=(。-1)(?+5)

【分析】4.根據(jù)因式分解-提取公因式法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

B.根據(jù)提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

C.根據(jù)因式分解-公式法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

D.根據(jù)因式分解-十字相乘法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：A.因?yàn)?。2+4〃=-〃(〃-4),所以4選項(xiàng)因式分解結(jié)果不正確，故A選項(xiàng)不符合題意；

B.因?yàn)?力-2出汁6=伏〃-1月所以B選項(xiàng)因式分解結(jié)果正確，故B選項(xiàng)符合題意；

C.因?yàn)?a2-b2=(3a+b)(3a-份,所以。選項(xiàng)因式分解結(jié)果不正確，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.因?yàn)閍2-4.-5=3+1）5-5）,所以。選項(xiàng)因式分解結(jié)果不正確，故。選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解,熟練掌握因式分解的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

一十.分式有意義的條件（共1小題）

13.（2022秋?青云譜區(qū)期末）若分式上有意義，則x的取值范圍是xK2.

X-2

【分析】根據(jù)分式有意義的條件計(jì)算即可.

【解答】解：???分式七有意義，

r.x-2^0,

?W2.

故答案為：xW2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式有意義的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

一十一.分式的基本性質(zhì)（共1小題）

14.（2022秋?岳陽(yáng)樓區(qū)期末）把下列分式中xj的值都同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的5倍,那么分式的值保持不變的是

?）

A.工B.'C.衛(wèi)D.斗

x-yx-yxyy2

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)xy的值都同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的5倍,求出每個(gè)式子的結(jié)果，看結(jié)果是否等于原

式.

【解答】解：A、二］yy,，分式的值保持不變，符合題意;

5x-5y5（x-y）x-y

11上分式的值改變，不符合題意:

B、

5x-5y5(x-y)5x-y

5x~5y5(x-y)2x二，分式的值改變,不符合題意;

C、

5x，5y25xy5xy

5x-5y5(x-y)xW，分式的值改變，不符合題意

D、zr-x2252------------------

（5y）25y°y

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除

以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

一十二.分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）

15.（2022秋?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2a-&）+淇中t/=2.

2

a+2a+4a+4

【分析1先根據(jù)分式,的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則

進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可.

【解答】解：原式=2a（a+2.）-12a?a-4

a+2(a+2)2

,2a2-8a.(a+2)2

a+2a-4

2a(a-4).(a+2)：

a+2a-4

=2a(a+2)

=2a2+4a,

當(dāng)a=2時(shí)，原式=2X2?+4X2

=16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鋌，注意運(yùn)算順

序.

一十三.零指數(shù)幕（共1小題）

16.（2022秋?龍江縣期末）若（x?4）°=l成立，則x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是工14.

【分析】根據(jù)零指數(shù)哥的底數(shù)不能為零，即可得到答案.

【解答】解：根據(jù)題意可得：J-4^0,

解得：xW4,

故答案為：xW4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)累，利用零指數(shù)箱的底數(shù)不能為零得出不等式是解題的關(guān)鍵.

一十四.分式方程的解（共1小題）

17.（2022秋?五常市期末）若關(guān)于x的方程2—也-無(wú)解，則"?的值為?；?.

X2x+l

【分析】求解方程可得入=，一,再由方程無(wú)解可得，〃-4=0,即可求m的值.

ITT4

【解答】解：2=^一.

X2x+l

2（2x+\）=nvc,

4X+2=ITLX,

(4-m)x=-2,

???方程無(wú)解，可分為以下兩種情況:

①分式方程沒(méi)有意義時(shí)，

.r=0,

2

此時(shí)〃?=0,

②整式不成立時(shí),

4-w=0,

Am=4,

故答案為：0或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解方程無(wú)解的意義是解題的關(guān)鍵.

一十五.解分式方程（共2小題）

18.（2022秋?南昌期末）嘉淇準(zhǔn)備完成題目：解分式方程：三七，-，發(fā)現(xiàn)數(shù)字?印刷不清楚.

x-33-x

⑴他把猜成5,請(qǐng)你解方程：-^-=2--^；

x-33-x

12）他媽媽說(shuō)："你猜錯(cuò)了，我看到該題目的正確答案是此分式方程無(wú)解通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中是兒?

【分析】（1）分式方程變形后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式

方程的解；

⑵設(shè)原題中“?”是d分式方程變形后去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程無(wú)解得到x=3,代入整式方程計(jì)

算即可求出〃的值.

【解答】解：⑴方程整理得：上=2+工，

x-3x-3

去分母得：x=2（x-3）+5,

解得：x=l,

檢驗(yàn)：把x=l代入得：X-3W0,

???分式方程的解為x=l;

[2）設(shè)原題中“?”是〃，

方程變形得:士=2+3

x-3x-3

去分母得：x=2（x-3）+&

由分式方程無(wú)解，得到x=3,

把x=3代入整式方程得：a

【點(diǎn)評(píng)】此題考杳了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想,注意要檢驗(yàn).

19.（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）解分式方程.

11-x

(D-

2x-l

⑵，=1-

x-1x2-l

【分析】（1）先把分式方程兩邊同時(shí)乘以（2-幻,轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

⑵先把分式方程兩邊同時(shí)乘以if-1）,轉(zhuǎn)化成整式方程,求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【解答】解：⑴?1l-x

-1=1-x-3(2-x),

-1=1-x-6+3x,

-2x=-4,

x=2,

當(dāng)^=2時(shí)/-2=0,

???x=2是原方程的增根,此方程無(wú)解;

⑵x_2x-1

x-1x2-l

.V(A+1)-(2A--l)=x2-1,

.r+x-2x+l=/-1,

?x=-2,

x=2

當(dāng)x=2,x-1#0,7-IHO,

/.x=2是方程的解.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是關(guān)鍵.

一十六.分式方程的增根（共1小題）

20.（2022秋?岳陽(yáng)樓區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則人的值是-2.

x+3x+3

【分析】先將方程兩邊都乘以戶(hù)3得到整式方程，再將分式方程的增根x=3代入整式方程求解可得.

【解答】解：兩邊都乘以x+3,得：工+1=女①，

;分式方程有增根，

???增根為％=-3,

將x=-3代入①，得：-3+1=太

解得k=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出關(guān)于攵的一元一次方程是解題

關(guān)鍵.

一十七.由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程（共1小題）

21.（2022秋?新化縣期末）甲、乙兩單位為愛(ài)心基金分別捐款4800元、6000元,已知甲單位捐款人數(shù)比乙單

位少50人，而甲單位人均捐款數(shù)比乙單位多1元,若設(shè)甲單位有x人捐款，則所列方程是（）

.4800-6000+1口48006000,1

xx+50xx-50

r48006000?n4800.6000.

xx+50xx-50

【分析】設(shè)甲單位有X人捐款，乙單位有（x+50）人捐款，根據(jù)甲單位人均捐款數(shù)比乙單位多1元列方程.

【解答】解：設(shè)甲單位有x人捐款，則乙單位有（x+50）人捐款，

由題意，得型”=皿竺+1.

xx+50

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)犍描述語(yǔ).找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

一十八.分式方程的應(yīng)用（共2小題）

22.（2022秋?孝南區(qū)期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡.某商家兩次購(gòu)進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷(xiāo)

售，第?次用22000元，很快銷(xiāo)售?空，第二次又用48000元購(gòu)進(jìn)同款冰墩墩，所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第?次的2倍，但

單價(jià)貴了10元.

口）求該商家笫一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩多少個(gè)？

⑵若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售,要求全部銷(xiāo)售完后的利潤(rùn)率不低于20%（不考慮其他因素），那么每

個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)至少為多少元？

【分析】（I）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩r個(gè)，由題意：第一次用22000元,很快銷(xiāo)售一空，第二次又用48000元購(gòu)

進(jìn)同款冰墩墩，所購(gòu)進(jìn)數(shù)最是第一次的2倍，但單價(jià)貴了1（）元.列出分式方程，解方程即可；

12）設(shè)每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)為a元，由題意：全部銷(xiāo)售完后的利潤(rùn)率不低于20%,列出一元一次不等式，解不等

式即可.

【解答】解：（1）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩x個(gè)，則第二次購(gòu)進(jìn)冰墩墩2、?個(gè)，

根據(jù)題意得：22002=48000_10,

x2x

解得:x=200,

經(jīng)檢驗(yàn)/=200是原方程的解，且符合題意,

答：該商家第一次購(gòu)進(jìn)冰墩墩200個(gè).

⑵由⑴知悌二次購(gòu)進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為400個(gè).

設(shè)每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)為〃元，

由題意得：（200+400）〃2（1+20%）（22000+48000）,

解得：心140,

答：每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)至少為140元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列

出分式方程;（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一?次不等式.

23.（2022秋?岳陽(yáng)期末）2022年10月12日“天宮課堂”第三課在中國(guó)空間站開(kāi)講了，精彩的直播激發(fā)了學(xué)生

探索科學(xué)奧秘的興趣.某中學(xué)為滿(mǎn)足學(xué)生的需求,充實(shí)物理興趣小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)FI,決定購(gòu)入A、。兩款物理

實(shí)驗(yàn)套裝，其中A款套裝單價(jià)比B款套裝單價(jià)貴20%,用7200元購(gòu)買(mǎi)的4款套裝數(shù)量比用5000元購(gòu)買(mǎi)的

B款套裝數(shù)量多5套.求A、B兩款套裝的單價(jià)分別是多少元.

【分析】設(shè)B款套裝的單價(jià)是x元，則4款套裝的單價(jià)是（1+2。％求元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的分式方程，解

方程后檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)8款套裝的單價(jià)是上元，則A款套裝的單價(jià)是（l+20%）x元,

由題意得:7200二5000二

(1+20%)x=x

解得x=200.

經(jīng)檢驗(yàn)/=200是原方程的解，且符合題意,

A（l+20%）x=240.

答：4款套裝的單價(jià)是240元、B款套裝的單價(jià)是200元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

一十九.三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高（共1小題）

24.（2022秋?岳陽(yáng)縣期末）下列圖形中AO是△A8C的高的是（）

C2—C

A.B.

【分析】利用三角形高的定義進(jìn)行解答即可.

【解答】解：A、AZ）不是△48C的高,故此選項(xiàng)不合題意；

B、A。不是△A8C的高,故此選項(xiàng)不合題意；

C、人。不是△AAC的高,故此選項(xiàng)不合題意；

D、人。是△人8C的高,故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了三角形的高，關(guān)鍵是掌握從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線(xiàn)，垂足與頂點(diǎn)之間的線(xiàn)

段叫做三角形的高.

二十.三角形三邊關(guān)系（共1小題）

25.（2022秋?宜春期末）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4,則第三邊長(zhǎng)可以是（）

A.2B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和〉第三邊，任意兩邊之差V第三邊求出第三邊長(zhǎng)的范圍，即可得到答

案.

【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為M則由三角形三邊關(guān)系定理得4-2V/V4+2,即2JV6.

256,7,只有5滿(mǎn)足不等式.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵熟練根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍.

二十一.三角形內(nèi)角和定理（共3小題）

26.（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△4BC中,A。是面,AE、防是角平分線(xiàn)，它們相交于點(diǎn)O,NC=70°.

的度數(shù)為125°;

（2）若N/IVC=60°,求/。人石的度數(shù).

【分析】⑴根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出NO4B+N0BA=/NMC+N4BC),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出N

BAC+NA8C=180°?NC=110°,進(jìn)而即可求解；

⑵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得ND4CNZMC,根據(jù)AE是的角平分線(xiàn)，得出NC/IE=^/CA8=25°,

根據(jù)ND4E=NCAE-NC4D,即可求解.

【解答】⑴解：FE、BF是NBAC、NA8C的角平分線(xiàn)，

/.ZOAB+ZOBA=-^(ZBAC+ZABCy

在3c中,NC=70。，

：.ZBAC+ZA13C=\S00-ZC=110°,

???/AO8=180°-NOAB-NOBA=180°--i(NBAC+/4BC)=125°.

2

故答案為：125°;

⑵解：???在△ABC中不。是高.NC=70°,NA8C=60°,

???N/)4C=90°-ZC=90°-70°=20°,ZB/1C=180°-ZABC-ZC=50°

TAE是NB4c的角平分線(xiàn)，

：.ZCAE=-ZCAB=25°,

2

：,ZDAE=ZCAE-ZCAD=25°-20°=5°,

:.NDAE=50.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中線(xiàn)，角平分線(xiàn)，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

27.(2022秋?邢臺(tái)期末)材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品■■圓規(guī).我們不妨把這樣圖

形叫做''規(guī)形圖”.

解決問(wèn)題：

⑴觀(guān)察“規(guī)形圖"，試探究N8QC與之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

⑵請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

I.如圖②，把?塊三角尺DEF放置在A(yíng)ABC匕使三角尺的兩條直角邊。瓦Z加恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8c若NA=

40°.則NA8D+/ACQ=50°.

II.如圖③,3。平分N48P,CO平分NAC尸，若NA=40°,N8PC=130°,求N8QC的度數(shù).

【分析】(1)連接A。并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得到NBOC與N4N8,NC之間的數(shù)量關(guān)系;

⑵I、由(1)可得,/8。。=/48。+/4。/)+/4再根據(jù)/八=40°,/。=90°,即可得出/48。+/人。。的

度數(shù)；

II、根據(jù)(1),可得N8PC=N8AC+NABP+NACP,/8QC=NBAC+N/WO+NACQ,再根據(jù)BD平分N

ABP.CD平分NACP,即可得出N/3QC的度數(shù).

【解答】解：(1)如圖①，連接A。并延長(zhǎng)至點(diǎn)凡

根據(jù)外角的性質(zhì)河得

/BDF=/BAD+/B、

/CDF=/C+/CAD,

乂,?ZBDC=ZBDF+ZCDF,

ZBAC=^BAD+ZCAD,

NBDC=ZA+ZB+ZC;

(2)I.由(1)可得,N8OC=NABO+NAC￡>+N4;

又???NA=40°,NQ=90°,

.??NA8D+NACQ=900?40°=50°,

故答案為：50;

II.由(1),可得N8PC=NBAC+NABP+NACP,

4BDC=NBAC+NABO+NACD,

：,ZABP+ZACP=ZBPC-ZBAC=130°-40°=90°,

又，：BD平分N48RCO平分NACP,

???NA8Q+NACO=/NABP+NACP)=45°,

AZBDC=450+40°=85°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考看的是二角形內(nèi)角和定理以及二角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，熟知二角形的內(nèi)角和等于18?！闶?/p>

解答此題的關(guān)鍵.

28.(2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末)(1)如圖，把△ABC沿。E折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，試探究N1、/2與NA的

關(guān)系；

⑵如圖2,若Nl=140°,/2=80°,作NA灰?的平分線(xiàn)BN,與NACB的外角平分線(xiàn)CN交于點(diǎn)N,求NBNC

的度數(shù)；

⑶如圖3,若點(diǎn)4落在△人8C內(nèi)部，作NA8CN人C8的平分線(xiàn)交「點(diǎn)4,此時(shí)Nl,N2,NMiC滿(mǎn)足怎樣的

數(shù)量關(guān)系?并給出證明過(guò)程.

【分析】⑴由折置的性質(zhì)得NAED=ZAiED,ZADE=ZA\DE.再根據(jù)平角的定義得到

ZADE=ZA1DE=90°-yZl，NAED]/2+90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

ZA-^Z2+90°=/1+90°弓N1，由此即可得出結(jié)論；

⑵先根據(jù)(1)的結(jié)論求出NA=30°,再由角平分線(xiàn)的定義和三角形外角的性質(zhì)推出NN4/A=15°即

乙

可；

⑶先推出NADE=NA[DE=90°]NI，NAEO=N4EO=90°-N2,再由三角形外集的性質(zhì)推出

ZANlJ/Z利用角平分線(xiàn)的定義和三角形內(nèi)角和定理推出NBAiC=900蔣/A即可得到結(jié)論?

4乙乙

【解答】解：(1)N1=2NA+N2,理由如下:

由折疊的性質(zhì)可知/AEO=NAiEDNAOE=N4OE,

ADE;NA]DEW1=90°】N1，N2=2/AED-18O。，

乙乙

???ZAED=yZ2+90°，

乙

???ZA+ZAED=ZEDB=Zl+ZAiDE,

；?4。/2+90°=Z1+9O°,Nl，

乙乙

AZ1=2ZA+Z2;

i2)VZl=2ZA+Z2,Zl=140),Z2=80°,

AZA=30°,

VZABC的平分線(xiàn)BN,與NACB的外角平分線(xiàn)CN交于點(diǎn)、N,

???NNBC/ABC,/NCH^NACH

乙乙

?/N4+NA8C=ZACH,

???ZA+2ZNBC=2ZNCH,

又ZN+ZNBC=NNCH,

：.NA+2NNBC=2NN+2NN8C.

???NN4NA=15°；

⑶解：N1+N2=4N84C-36O°,理由如下;

由折疊的性質(zhì)可知N4EO=NAiEDNAOE=NAiO￡

ZADE=ZA^E^80~Z1=90O-yZl

乙乙

1*00-/9

ZAED=ZAED==90°-N2，

1乙

VZA+ZADE=ZCED=ZA\ED+Z2,

?,?ZA+9004-Z1=90O-4/2+Z2

???NABC,NAC8的平分線(xiàn)交于點(diǎn)4,

???/AIBCJNABC,NAICB耳NACB，

乙乙

???ZABC\ZAC5=180°-NA,

?*-ZA^C+ZA1CB^ZABC^ZACB=90°-yZA

乙乙乙

???NBAiC=180°-ZA^C-ZA^5=900卷NA，

ZBA^=900弓/1{/2，

???Nl+N2=4N8AiC-360°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義,三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形

內(nèi)角和定理和一角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二十二.三角形的外角性質(zhì)（共2小題）

29.（2022秋?金水區(qū)校級(jí)期末）將一副三角板按照如圖方式擺放廁NC8七的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)三角板的性質(zhì)得出NACB=60°,NB4C=45°,再利用外角的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：由題意可得：

ZACB=60",ZBAC=45°,

AZCBE=ZACB+ZBAC=^a+45°=105°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)外角性質(zhì),掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題

的關(guān)鍵.

30.（2022秋?龍亭區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△A8C中,NA=70°,NB=50°,CO平分NAC及求乙4。。的度數(shù).

【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，求出/ACB的度數(shù)后易求解.

【解答】解；???NA=70°,NB=50°,

???NAC8=180°-70°-50°=60°（三角形內(nèi)角和定義）.

;。。平分NAC8,

AZ/^CD=—Z4CT=—X60°=30°,

22

/.Z/\DC=1800-ZA-ZACD=S0°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角性質(zhì),掌握外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二十三.全等三角形的性質(zhì)（共】小題）

31.（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末汝I圖，點(diǎn)A在DE上,△川（^△EDC,若/B/1C=55°,則NACE的大小為

700_.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NE=N8AC=55°,CE=C4根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角

和定理可得/ACE=180°-NCAE-NE=70；

【解答】解：VA^5C^AEDC,Z^4C=55°,

：.ZE=ZBAC=55°,CE=CA,

???NC4E=N￡=55°,

???NACE=18（T-ZCAE-ZE=10°.

故答案為：70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)

邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

二十四.全等三角形的判定（共4小題）

32.（2022秋?莊河市期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在NAOB的邊04OB上分別

取OM=OM移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到NAOB的平分線(xiàn)OP,做法中用到

三角形全等的判定方法是（）

?B

O

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【分析】已知兩三角形三邊分別相等，可考慮SSS證明三角形全等，從而證明角相等.

【解答】解：做法中用到的三用形全等的判定方法是SSS

證明如下：

由題意得,PN=QM,

在△ONP和△OMP中，

fON=OM

OP二OP.

|PN=PM

/.△ONP@△0Mp（SSS）

所以NNOP=NMOP

故OP為/AO8的平分線(xiàn).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用.對(duì)于難以確定角平分線(xiàn)的情況，利用全等三角形中對(duì)

應(yīng)角相等，從而輕松確定角平分線(xiàn).

33.（2022秋?克什克騰旅期末）下列條件能判定△ABCg△。所的一組是（）

A.Z/l=ZD,ZC=ZFAC=DF

B.AB=DE,BC=EF,NA=ND

C.NA=ND,NB=NE,NC=NF

D.3c的周長(zhǎng)等于△￡）￡：?的周長(zhǎng)

【分析】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、結(jié)合選項(xiàng)逐一檢驗(yàn).

【解答】解：A、NA=NO,NC=NF<C=DF符合ASA,能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)正確；

B、A8=DE,BC=E￡/A=NZ）是SS4,不能判定兩三角形全等,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、NA=NO,N8=NE,NC=N尸是AA4,不能判定兩三角形全等,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、AB=DEAABC的周長(zhǎng)等于△力石廠(chǎng)的周長(zhǎng)，三邊不可能相等,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：人

【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考杳了三角形全等的判定定理,普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、

SSS,直角三角形可用“L定理，但AAA、SSA,無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目.

34.（2023春?鳳城市期末）如圖，在△A8C和△。即中，如果A8=DE,8C=EE在下列條件中不能保證△ABC

空△￡>￡尸的是（）

AD

A.ZB=ZDEFB.ZA=ZDC.AB//DED.AC=DF

【分析】己知"=QE,BC=EA只需再找一個(gè)夾角或者一條邊相等，即可判定△ABCg△。砂.

【解答】解：A、可根據(jù)SA5判定△AHC'gZW",

故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不能根據(jù)SSA判定

故本選項(xiàng)符合題意；

C、根據(jù)可得N8=NDE”,可根據(jù)SAS判定△ABCg△QEP,

故本選項(xiàng)不符合題意；

D、可根據(jù)SSS判定△A8C之△OEF,

故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法是解題的關(guān)鍵.

35.（2022秋?五華區(qū)期末）如圖，在△ABC中,NAC8=90°/C=6,8C=8,點(diǎn)C在直線(xiàn)/上.點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā),

在三角形邊上沿A-C-B的路線(xiàn)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);點(diǎn)。從4點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿B-C-A的路線(xiàn)向終

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。和Q分別以1單位/秒和2單位秒的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終

點(diǎn)時(shí)屋該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).分別過(guò)點(diǎn)尸和。伶PEL于點(diǎn)￡QF_L/于點(diǎn)尸,當(dāng)△「￡。與4

CFQ全等時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2或m秒.

【分析】分四種情況，點(diǎn)P在人C上，點(diǎn)。在8c上;點(diǎn)P、Q都在人C上;點(diǎn)P到8c上，點(diǎn)Q在人C上;點(diǎn)Q

到A點(diǎn)，點(diǎn)。在4c上，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等建立方程求解即可.

【解答】解：:△PEC與△C7；Q全等，

???斜邊。。=斜邊CQ.

分四種情況：

當(dāng)點(diǎn)。在A(yíng)C上，點(diǎn)。在3c上.如圖:

，：CP=CQ,

.*.6-1=8-2t,

**?Z=2,

當(dāng)點(diǎn)?、。都在A(yíng)C上時(shí)，此時(shí)P、。重合.如圖:

YCP=CQ,

:.6-1=21-8,

?14

L可

當(dāng)點(diǎn)尸到BC上，點(diǎn)。在A(yíng)C上時(shí),如圖：

，：CP=CQ,

Ar-6=2r-8,

?1=2,不符合題意，

當(dāng)點(diǎn)Q到4點(diǎn)，點(diǎn)。在上吐如圖：

,:CQ=CP,

A6=Z-6,

???1=12（舍去），

綜上所述：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于2或費(fèi)時(shí),/XPEC與△C/Q全等,

故答案為：2或工士.

3

FCE

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定,分情況討論是解題的關(guān)鍵.

二十五.全等三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

36.（2022秋?南安市期末）如圖,已知點(diǎn)七、C在線(xiàn)段B/上,BE=",AB=OJ4C=Z）F.求證：/A=NO.

【分析】由BE=CE可得8C=",則利用SSS可判定△ABC絲△￡）￡「,從而有NA=NO.

【解答】證明：???BE=C尸，

：.BE+EC=CF+EC.

即BC=EF,

在△ABC和中，

fAB=DE

AC=DF,

IBC=EF

???AABCgADEF（SSS）,

???ZA=ZD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是找到圖中的公共邊EC得出BC=EF.

37.（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）已知；如圖/、。是AD上的兩點(diǎn)，且A5=￡>E/8〃￡>EKF=CD求證：

[□△ABCWADEF;

⑵BC〃EF.

【分析】（1）根據(jù)人B〃。只得NA=NO.由人/=CD,可得人。=?！晖ㄟ^(guò)SAS即可證明△B/ICgZXED產(chǎn)；

⑵由全等三角形的性質(zhì)得NAC8=NDFE,從而B(niǎo)C//EF.

【解答】證明：（1）???八4〃?！?/p>

NA=NO,

'：AF=CD,

:,Ar+rc=CD+FC,

即AC=DF,

在△MC和△百萬(wàn)'中，

[AB=DE

NA二ND,

IAC=DF

/.△B4C0△EOA（SA5）;

3：叢BACW4EDF、

:.ZACB=ZDFE,

：.BC//EF.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

38.（2022秋?日照期末）如圖,N84O=NC4E=90°,AB=4Q,AE=AC工nLCF,垂足為尸.

⑴求證：△/WCgZXAOE;

⑵若AC=10,求四邊形ABCD的面積;

0）求//%￡的度數(shù).

c

【分析】(1)由”S4S'可證

⑵由全等三角形的性質(zhì)可得&ABC=5ZWE,由面積關(guān)系可求解；

⑶由等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得NC人尸=//6=45°,即可求解.

【解答】證明：，

AZI3AD-ZCAD=ZCAE-NCAQ,

???NBAC=NDA￡

在△A8C和△AOE中，

fAB=AD

NBAC=NDAE,

IAC=AE

???/\ABC^/^ADE(SAS);

(2)VXABC空MADE、

SSBC=SMDE、

?二s四邊杉八BC7>=S△人"C+S3AC￡>=SA/\￡>E+S“e=SA/lCE,

AC=AE=10,

；?S四邊影八8CQ=S"CE=2X10X10=50;

2

(3)VZCAF=90°AC=AE,

，NE=45°,

?；△ABCgZUOE,

???NAC4=NE=45°,

???AEL4C,

：,ZCAF=ZFCA=45°,

???NE4E=135°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵.

39.（2022秋?岳陽(yáng)期末）如圖，在△A8C和△AQE中,N84O=NEAC,A8=AO,AC=AE.過(guò)A作AGLDE于

點(diǎn)G、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與DE交于點(diǎn)匕連接AF.

[1)若DE=12,Cr=2,則BF=14;

【分析】(1)先根據(jù)”SAS”證明5cg△AQE,再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出答案；

⑵作4H_L8C,再根據(jù)(1)得出&48c之△A。瓦進(jìn)而證明△A〃CgA4GE,然后證明小注AAGF,即可得

出S四邊形爪/￡=544〃€+必〃/+54八水;=5"〃”+5&1〃6=25”"6.代入數(shù)值計(jì)算得出答案.

【解答】解：⑴???/。4。=/￡4(7,

：,ZBAD+^CAD=ZEAC+ZCAD,

卻NBAC=NQ4￡

在△A8C和△AOE中，

fAB=AD

NBAC=ND延

IAC=AE

???^ABC^AADE(SAS),

：,BC=DE=n.

,:CF=2,

/.BF=BC+CF=12+2=14.

故答案為：14;

(2)作A”_L5C,交BC于點(diǎn)H,

由(1)得△A8C0Z\A。旦

：.AC=AEAH=AG,

：.RtAA/7C^RtA/\GE,RtAAHF^RtAAGF,

=

?9?Sv5i)1^ACFES^CF+S^Al-G+S.\AEG=SMHC+SMCl-+S^Af'G=S^AHI-+SMFG=2S^Af-'G.

???FG』,AG=6,

2

.??5四邊形式FE^x/x號(hào)X6=33

故答案為：33.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，將不規(guī)則四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積是解題的

關(guān)鍵.

40.（2022秋?趙縣期末）如圖，點(diǎn)ABC,。在一條直線(xiàn)上，且AB=CZ）,若N1=N2,EC=FB.求證：NE=NF.

【分析】求出/。8/=/人?！辏?。=。8,根據(jù)54$'推出44?！辏航z/\。8凡根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可.

【解答】證明：VZl+ZDfiF=180°,Z2+ZACF=180°.

又???N1=N2,

???