PAGE113.2.2三角形的中線、角平分線、高1．如圖，將三角形紙片ABC按下面四種方式折疊，則AD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．2．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①三角形的角平分線、中線和高都在三角形內(nèi)；②直角三角形只有一條高；③三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)；④三角形的高是直線，角平分線是射線，中線是線段．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．AB＝2BFB．AE＝BEC．∠ACE=12∠ACBD．第3題圖第4題圖第5題圖4．如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD為BC邊上的中線，若△ACD的周長(zhǎng)為22，則△ABD的周長(zhǎng)是．5．如圖，在△ABC中，AD為中線，DE和DF分別為△ADB和△ADC的高．若AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，則DE＝．6．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC邊上的中線，若△ABD和△ADC的周長(zhǎng)之差為2，且AB與AC的和為14，則AB＝，AC＝．第6題圖第7題圖第8題圖7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠1＝30°，∠2＝20°，則∠B＝度．8．如圖，在△ABC中，AF是中線，AD是角平分線，AE是高．請(qǐng)完成以下填空：（1）BF＝=12；（2）∠BAD＝=12（3）∠AEB＝＝90°；（4）S△ABC＝．9．已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：（1）△ABC的中線AD；（2）△ABD的角平分線DM；（3）△ACD的高線CN；10．已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H．（1）∠2與∠DCB相等嗎？為什么？（2）試說(shuō)明CD是△ABC的高．11．如圖是一塊面積為10的三角形紙板，點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為．12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，給出以下結(jié)論：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．第11題圖第12題圖13．如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點(diǎn)D在邊AB上（不與點(diǎn)A，B重合），CD與BE交于點(diǎn)O．（1）若CD是中線，BC＝3，AC＝2，則△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為；（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度數(shù)；（3）若CD是角平分線，∠A＝78°，求∠BOC的度數(shù)．14．如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）作圖：在△BED中作出BD邊上的高EF；BE邊上的高DG；（2）若△ABC的面積為40，BD＝5，則△BED中BD邊上的高EF為多少？15．【問(wèn)題背景】（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（5，2），C（﹣1，﹣1），D（3，﹣3），在平面直角坐標(biāo)系中描出這幾個(gè)點(diǎn)，并分別找到線段AB和CD的中點(diǎn)M，N，然后寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；【嘗試應(yīng)用】（2）①結(jié)合上述結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a，b），（c，d），則這條線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；②若點(diǎn)P（﹣3，7），Q（1，﹣3），用我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可以直接得到線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；【拓展創(chuàng)新】（3）已知三點(diǎn)E（1，1），F(xiàn)（7，4），H（4，﹣2）．①直接寫出線段EF的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)；②三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，該點(diǎn)叫做三角形的重心．請(qǐng)你寫出△EFH的重心G的坐標(biāo)．13.2.2三角形的中線、角平分線、高1．如圖，將三角形紙片ABC按下面四種方式折疊，則AD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)AD為三角形的高，則AD⊥BC．所以∠ADB＝90°，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：選項(xiàng)D中的AD是△ABC的高，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：正確理解三角形的角平分線、中線和高的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①三角形的角平分線、中線和高都在三角形內(nèi)；②直角三角形只有一條高；③三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)；④三角形的高是直線，角平分線是射線，中線是線段．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線和高線的定義以及在三角形的位置對(duì)各項(xiàng)分析判斷求解．【解答】解：①鈍角三角形的三條高兩條在三角形外，故錯(cuò)誤；②直角三角形有三條高，故錯(cuò)誤；③三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)，故正確；④三角形的高，角平分線及中線都是線段，故錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中線、角平分線和高，解題的關(guān)鍵是清楚這三條線的定義和在三角形中的位置．3．如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．AB＝2BFB．AE＝BEC．∠ACE=12∠ACBD．【分析】根據(jù)高線，中線，角平分線的定義，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵CF是邊AB的中線，∴AB＝2BF，正確，不符合題意；B、無(wú)法證明AE＝BE，說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；C、∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE=12∠D、∵CD是△ABC的高，∴CD⊥AB，正確，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD為BC邊上的中線，若△ACD的周長(zhǎng)為22，則△ABD的周長(zhǎng)是24．【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD＝DC，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝DC，∵△ACD的周長(zhǎng)為22，∴AC+AD+CD＝22，∴AC+AD+BD＝22，∵AC＝8，∴AD+BD＝14，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+BD＝10+14＝24，故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．5．如圖，在△ABC中，AD為中線，DE和DF分別為△ADB和△ADC的高．若AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，則DE＝2．【分析】由題意，△ABC中，AD為中線，可知△ABD和△ADC的面積相等；利用面積相等，問(wèn)題可求．【解答】解：∵△ABC中，AD為中線，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，∴12?AB?ED=12?AC∴12×3×ED∴ED＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是三角形的中線和高，掌握三角形的中線，把三角形的面積分成相等的兩部分是解決此題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC邊上的中線，若△ABD和△ADC的周長(zhǎng)之差為2，且AB與AC的和為14，則AB＝8，AC＝6．【分析】根據(jù)三角形中線的定義，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周長(zhǎng)之差也就是AB與AC的差，然后聯(lián)立關(guān)于AB、AC的二元一次方程組，利用加減消元法求解即可．【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長(zhǎng)﹣△ADC的周長(zhǎng)＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝14②，①+②得．2AB＝16，解得AB＝8，②﹣①得，2AC＝12，解得AC＝6，故答案為：8；6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中線定義，二元一次方程組的求解，利用加減消元法求解是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠1＝30°，∠2＝20°，則∠B＝50度．【分析】由AE平分∠BAC，可得∠BAE和∠EAC相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度數(shù)．已知∠1和∠EAD，在直角三角形ABD中利用兩銳角互余，可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝∠EAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠1﹣∠2＝EAD＝30°，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，∴Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高的相關(guān)知識(shí)，觀察圖形可知在直角三角形ABD中，若能求得∠EAD，則可利用內(nèi)角和求出∠B．8．如圖，在△ABC中，AF是中線，AD是角平分線，AE是高．請(qǐng)完成以下填空：（1）BF＝CF=12BC（2）∠BAD＝∠CAD=12∠BAC（3）∠AEB＝∠AEC＝90°；（4）S△ABC＝12BC?AE【分析】由三角形的中線、高線、角平分線的定義，即可得到答案．【解答】解：（1）∵AF是中線，∴BF＝CF=12故答案為：CF，BC；（2）∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD=12∠故答案為：∠CAD，∠BAC；（3）∵AE是△ABC的高，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，故答案為：∠AEC；（4）∵AE是△ABC的高，∴S△ABC=12BC?故答案為：12BC?AE【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中線、高線、角平分線，關(guān)鍵是掌握三角形的中線、高線、角平分線的定義．9．已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：（1）△ABC的中線AD；（2）△ABD的角平分線DM；（3）△ACD的高線CN；【分析】（1）取BC的中點(diǎn)D，然后連接AD即可；（2）作∠ADB的平分線交AB于M點(diǎn)；（3）過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)；【解答】解：（1）如圖，AD為所作；（2）如圖，DM為所作；（3）如圖，CN為所作；【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中線，高線，角平分線，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．10．已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H．（1）∠2與∠DCB相等嗎？為什么？（2）試說(shuō)明CD是△ABC的高．【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到DE∥BC，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到CD⊥AB，根據(jù)三角形的概念證明即可．【解答】解：（1）∠2＝∠DCB，理由如下：∵∠1＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠DCB；（2）∵∠2＝∠3，∠2＝∠DCB，∴∠3＝∠DCB，∴HF∥CD，∵FH⊥AB，∴CD⊥AB，即CD是△ABC的高．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)、三角形的高的概念，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖是一塊面積為10的三角形紙板，點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為107【分析】連接AE，BF，CD，根據(jù)三角形面積公式、三角形的中線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，連接AE，BF，CD，∵點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD的中點(diǎn)，∴AD＝DF，BE＝ED，∴S△ADE＝S△ABE，S△ABE＝S△FDE，同理可得：△ABC被分為7個(gè)面積相同的三角形，∴陰影部分的三角形的面積是△ABC的面積的17∵△ABC的面積為10，∴陰影部分的面積是107故答案為：107【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中線的性質(zhì)，利用三角形中線的性質(zhì)得出面積相等的三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，給出以下結(jié)論：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)判斷S△ABE＝S△BCE；根據(jù)直角三角形的兩銳角互余以及對(duì)頂角相等可得∠AGF＝∠AFG；根據(jù)角平分線的定義∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，即可求解．【解答】解：∵BE是△ABC的中線，∴S△ABE＝S△BCE，故④正確，符合題意；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD⊥BC，∴∠BCF+∠CGD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACF+∠AFG＝90°，∴∠CGD＝∠AFG，∵∠CGD＝∠AGF，∴∠AGF＝∠AFG，故②正確，符合題意；∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，故③正確，符合題意；根據(jù)已知條件無(wú)法證明BF＝AF，故①錯(cuò)誤，不符合題意；故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的定義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點(diǎn)D在邊AB上（不與點(diǎn)A，B重合），CD與BE交于點(diǎn)O．（1）若CD是中線，BC＝3，AC＝2，則△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為1；（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度數(shù)；（3）若CD是角平分線，∠A＝78°，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)△BCD的周長(zhǎng)為：BC+CD+BD，△ACD的周長(zhǎng)為：AC+CD+AD，可得△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為：BC﹣AC+BD﹣AD，再根據(jù)中線定義得AD＝BD，以及BC＝3，AC＝2即可得出答案；（2）根據(jù)BE是∠ABC的平分線得∠ABE＝31°，再根據(jù)CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再由三角形外角性質(zhì)得∠BOC＝∠CDB+∠ABE，據(jù)此即可得出答案；（3）根據(jù)∠A＝78°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，再根據(jù)角平分線定義得∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝51°，然后再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠【解答】解：（1）∵△BCD的周長(zhǎng)為：BC+CD+BD，△ACD的周長(zhǎng)為：AC+CD+AD，∴△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為：BC﹣AC+BD﹣AD，∵CD是△ABC的中線，∴AD＝BD，又∵BC＝3，AC＝2，∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1，即△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為：1．故答案為：1．（2）∵BE是∠ABC的平分線，∠ABC＝62°，∴∠ABE=12∠ABC∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°；（3）在△ABC中，∠A＝78°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，∵BE是∠ABC的平分線，CD是∠ACB平分線，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的角平分線，中線和高，理解三角形的角平分線，中線和高的定義，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)進(jìn)行角的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）作圖：在△BED中作出BD邊上的高EF；BE邊上的高DG；（2）若△ABC的面積為40，BD＝5，則△BED中BD邊上的高EF為多少？【分析】（1）根據(jù)高線的定義，畫高即可；（2）根據(jù)中線平分三角形的面積以及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖所示，EF、DG即為所求作；（2）∵AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，∴S△ABD∴S△BDE∵△ABC的面積為40，BD＝5，∴S△BDE∴EF＝4，即△BED中BD邊上的高EF為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的高線，三角形的中線，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【問(wèn)題背景】（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（5，2），C（﹣1，﹣1），D（3，﹣3），在平面直角坐標(biāo)系中描出這幾個(gè)點(diǎn)，并分別找到線段AB和CD的中點(diǎn)M，N，然后寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；【嘗試應(yīng)用】（2）①結(jié)合上述結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果線段