第7章橢球面上的測量計算

[本章提要]6.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關系

6.2

橢球面上的常用坐標系及其相互關系

6.3幾種主要的橢球公式

6.4

將地面觀測值歸算至橢球面

[習題]

1整理課件本章提要

本章講述地球橢球與參考橢球的概念，進而介紹橢球的基本幾何參數(shù)，基本坐標系及其相互關系。同時，講述橢球面同地面之間的關系，如何將地面觀測元素（水平方向及斜距等）歸算至橢球面上。在對本章的學習中，要建立起空間的概念，只有建立了地球橢球的這些基本空間概念后，才能更好地學習控制測量的內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理等相關知識。

2整理課件1．地球橢球的定義及其幾何意義；2．常用測量坐標系統(tǒng)的建立及其在控制測量中的應用；3．各種測量坐標系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換；4．橢球面上幾種曲率、弧長、大地線的計算；5．地面測量值（水平方向和邊長）歸算到橢球面的方法。[知識點及學習要求][難點]在對本章的學習中，有大量的公式推導與應用。各種常用測量坐標系統(tǒng)的建立與相互轉(zhuǎn)換；幾種常用的橢球計算公式；地面觀測值歸算到橢球面的方法與計算。

返回本章首頁3整理課件6.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關系1.地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學模型。參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應歸算到參考橢球面上，并在這個面上進行計算。參考橢球面是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。地球橢球的幾何定義：O是橢球中心，ＮＳ為旋轉(zhuǎn)軸，a為長半軸，b為短半軸。子午圈：包含旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的橢圓。赤道：通過橢球中心的平行圈地球橢球4整理課件地球橢球的五個基本幾何參數(shù)：橢圓的長半軸橢圓的短半軸b橢圓的扁率

橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率

其中、b稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率和是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球體的扁平程度，偏心率愈大，橢球愈扁。兩個常用的輔助函數(shù)，

第一基本緯度函數(shù)，

第二基本緯度函數(shù)：5整理課件我國建立1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球；建立1980年國家大地坐標系應用的是1975年國際橢球；而全球定位系統(tǒng)(GPS)應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。2008年7月1日啟用2000國家大地坐標系。幾種常見的橢球體參數(shù)值克拉索夫斯基橢球體1975年國際橢球體WGS-84橢球體6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1／298.30.0066934216229660.0067385254146836378140.000000000（m）6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1／298.2570.0066943849995880.0067395018194736378137.0000000000(m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.2572235630.00669437990130.006739496742276整理課件原點：包括海洋和大氣的整個地球的質(zhì)量中心；

定向：初始定向由1984.0時BIH（國際時間局）定向給定；是右手地固直角坐標系。原點在地心；Z軸為國際地球旋轉(zhuǎn)局（IERS）參考極（IRP）方向，X軸為IERS的參考子午面（IRM）與垂直于Z軸的赤道面的交線，

Y軸與Z軸和X軸構(gòu)成右手正交坐標系。

參考橢球：采用2000參考橢球，其定義常數(shù)是：

長半軸：a

=

6378137ｍ

扁率：f＝1/298.257222101地球（包括大氣）引力常數(shù)：GM

=

3.986004418×1014m3s-2

地球動力形狀因子：J2

=

0.001082629832258

地球旋轉(zhuǎn)速度：ω

=

7.292115×10-5rads-1

正常橢球與參考橢球一致。

2000中國大地坐標系（China

Geodetic

Coordinate

System

2000，簡稱CGCS2000）。參考歷元為2000.0，其定義為：7整理課件2.地球橢球參數(shù)間的相互關系其他元素之間的關系式如下：式中，c極曲率半徑，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。返回本章首頁8整理課件6.2橢球面上的常用坐標系及其相互關系1.大地坐標系p點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角L，叫做p點的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°～180°），向西為負，叫西經(jīng)（0°～180°）。P

點的法線與赤道面的夾角B，叫做P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°～90°）；向南為負，叫南緯(0°～90°)。9整理課件大地坐標系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點位的。過地面點P的子午面與起始子午面間的夾角叫P點的大地經(jīng)度。由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°-180°），向西為負，叫西經(jīng)（0°-180°）。過P點的橢球法線與赤道面的夾角叫P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0-90°），向南為負，叫南緯（0°-90°）。從地面點P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。大地坐標坐標系中，點的位置用,表示。如果點不在橢球面上，表示點的位置除,外，還要附加另一參數(shù)——大地高，它同正常高及正高有如下關系10整理課件2.空間直角坐標系以橢球體中心O

為原點，起始子午面與赤道面交線x為軸，在赤道面上與X

軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標系O—XYZ，在該坐標系中，p點的位置用X,Y,Z表示。地球空間直角坐標系的坐標原點位于地球質(zhì)心（地心坐標系）或參考橢球中心（參心坐標系），Z

軸指向地球北極，x

軸指向起始子午面與地球赤道的交點，y

軸垂直于XOZ

面并構(gòu)成右手坐標系。11整理課件3.子午面直角坐標系設點p的大地經(jīng)度L為，在過p點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x,y平面直角坐標系。在該坐標系中，p點的位置用L,x,y

表示。

4

.大地極坐標系

M為橢球體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S

為連結(jié)的大地線長，A

為大地線在M

點的方位角。以M

為極點，MN

為極軸，S為極半徑，A為極角，這樣就構(gòu)成大地極坐標系。在該坐標系中p

點的位置用S,A

表示。橢球面上點的極坐標（S,A）與大地坐標(L,B）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。12整理課件5.

各坐標系間的關系

橢球面上的點位可在各種坐標系中表示，由于所用坐標系不同，表現(xiàn)出來的坐標值也不同。1）子午面直角坐標系同大地坐標系的關系過p點作法線，它與x軸之夾角為B，過點作子午圈的切線TP，它與x

軸的夾角為（90°+B）。子午面直角坐標x,y同大地緯度B

的關系式如下：13整理課件2）空間直角坐標系同子午面直角坐標系的關系空間直角坐標系中的相當于子午平面直角坐標系中的y，前者的相當于后者的，并且二者的經(jīng)度L相同。14整理課件3）空間直角坐標系同大地坐標系的關系同一地面點在地球空間直角坐標系中的坐標和在大地坐標系中的坐標可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換式中：e——子午橢圓第一偏心率，可由長短半徑按式算得。N——法線長度，可由式算得。返回本章首頁15整理課件6.3幾種主要的橢球公式過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截弧）。包含橢球面一點的法線，可作無數(shù)多個法截面，相應有無數(shù)多個法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。1.子午圈曲率半徑子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應地有坐標增量，點n是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑M。16整理課件任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為：或與緯度有關．它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說明

在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點上,等于極點曲率半徑

17整理課件2.卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過Ｐ點的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用Ｎ表示。為了推導Ｎ的表達計算式，過Ｐ點作以為中心的平行圈ＰＨＫ的切線ＰＴ，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故ＰＴ也是卯酉圈在Ｐ點處的切線。即ＰＴ垂直于。所以ＰＴ是平行圈ＰＨＫ及卯酉圈在Ｐ點處的公切線。卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：18整理課件3.

任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°?，F(xiàn)在來討論方位角為Ａ的任意法截弧的曲率半徑的計算公式。任意方向Ａ的法截弧的曲率半徑的計算公式如下：4.

平均曲率半徑在實際際工程應用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當成具有適當半徑的球面。取過地面某點的所有方向的平均值來作為這個球體的半徑是合適的。這個球面的半徑——平均曲率半徑R：或因此，橢球面上任意一點的平均曲率半徑Ｒ等于該點子午圈曲率半徑Ｍ和卯酉圈曲率半徑Ｎ的幾何平均值。19整理課件5.子午線弧長計算公式子午橢圓的一半，它的端點與極點相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。如下圖所示，取子午線上某微分弧，令Ｐ點緯度為Ｂ，點緯度為，Ｐ點的子午圈曲率半徑為Ｍ，于是有：從赤道開始到任意緯度Ｂ的平行圈之間的弧長可由下列積分求出：式中M可用下式表達：20整理課件其中：經(jīng)積分，進行整理后得子午線弧長計算式：為求子午線上兩個緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應的及，而后取差：，該即為所求的弧長。21整理課件克拉索夫斯基橢球子午線弧長計算公式：1975年國際橢球子午線弧長計算公式：22整理課件6.

底點緯度計算在高斯投影反算時，已知高斯平面直角坐標（X，Y）反求其大地坐標（L，B）。首先X當作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時的緯度稱為底點緯度或垂直緯度。計算底點緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設以后每次迭代按下式計算：重復迭代直至為止。在1975年國際橢球上計算時，也有類似公式。23整理課件（2）直接解法1975年國際橢球：克拉索夫斯基橢球：24整理課件7.

大地線橢球面上兩點間的最短程曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點的密切面（無限接近的三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的曲面法線”，亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。假如在橢球模型表面Ａ,Ｂ兩點之間，畫出相對法截線如圖所示，然后在Ａ,Ｂ兩點上各插定一個大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細橡皮筋，并設橡皮筋和橢球面之間沒有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對法截線之間，這就是一條大地線。由于橡皮筋處于拉力之下，所以它實際上是兩點間的最短線。在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應當歸算成相應大地線的方向、距離。返回本章首頁25整理課件6.4將地面觀測值歸算至橢球面1.概述參考橢球面是測量計算的基準面。在野外的各種測量都是在地面上進行，觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在地面上處理觀測成果，而應將地面觀測元素（包括方向和距離等）歸算至橢球面。在歸算中有兩條基本要求：以橢球面的法線為基準；將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。26整理課件2.將地面觀測的水平方向歸算至橢球面（三差改正）1)垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點的法線為依據(jù)。把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應加的改正定義為垂線偏差改正，以表示。如下圖所示，以測站Ａ為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。27整理課件垂線偏差改正的計算公式是：式中：為測站點上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；為測站點至照準點的大地方位角；為照準點的天頂距；為照準點的垂直角。垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）有關。28整理課件2)標高差改正標高差改正又稱由照準點高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正叫做標高差改正，以表示。如右圖所示，A為測站點，如果測站點觀測值已加垂線偏差改正，則可認為垂線同法線一致。這時測站點在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因為測站點法線不變，則通過某一照準點只能有一個法截面。29整理課件設照準點高出橢球面的高程為和分別為A點及B點的法線，B點法線與橢球面的交點為b。因為通常和不在同一平面內(nèi)，所以在A點照準B點得出的法截線是而不是，因而產(chǎn)生了同方向的差異。按歸算的要求，地面各點都應沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是方向值而不是方向值，因此需加入標高差改正數(shù)，以便將方向改到方向。30整理課件標高差改正的計算公式是式中：為照準點大地緯度；為測站點至照準點的大地方位角；為照準點高出橢球面的高程，它由三部分組成：其中為照準點標石中心的正常高，為高程異常，為照準點的覘標高，，是與照準點緯度，是相應的子午圈曲率半徑。標高差改正主要與照準點的高程有關。經(jīng)過此項改正后，便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應的法截弧方向。31整理課件3）截面差改正在橢球面上，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在對向觀測時相對法截弧不重合，應當用兩點間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應加的改正叫截面差改正，用表示。如圖所示，是A至B的法截弧，它在A點處的大地方位角為，是AB間的大地線，它在A點的大地方位角是，與之差就是截面差改正。截面差改正的計算公式為32整理課件式中S為AB間大地線長度，，為測站點緯度相對應的卯酉圈曲率半徑?，F(xiàn)令在一般情況下，一等三角測量應加三差改正，二等三角測量應加垂線偏差改正和標高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正。但當時或者H>2000m時，則應分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。在特殊情況下，應該根據(jù)測區(qū)的實際情況作具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表所示：三差改正主要關系量是否要加改正一等二等三、四等垂線偏差加加酌情標高差截面差不加33整理課件3.

電磁波測距邊長歸算橢球面電磁波測距儀測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距，也應將它歸算到參考橢球面上。如圖，大地點Q1和Q2的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測距儀測得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點在橢球面上沿法線的投影點和間的大地線的長度S。在工程測量中邊長一般都是幾公里，最長也不過十幾公里，因此，所求的大地線的長度可以認為是半徑相應的圓弧長。電磁波測距邊長歸算橢球面上的計算公式為：式中34整理課件電磁波測距邊長歸算的幾何意義：（1）計算公式中右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項，經(jīng)過此項改正，測線已變成平距；（2）第三項是由平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項改正后，測線已變成弦線；（3）第四項則是由弦長改化為弧長的改正項。顯然第一項即為經(jīng)高差改正后的平距。問題

算例見下表，用上述兩個公式計算將電磁波測距邊長歸算至橢球面上。已知返回本章首頁電磁波測距邊長歸算至橢球面上的計算公式還可用下式表達：35整理課件習題1．試寫出橢球的基本元素及其基本關系式。

2．在控制測量的橢球解算中，常引用下列符號：、、、，3．我國解放后主要采用哪兩種參考橢球?其主要參數(shù)是什么?4．繪圖并說明表示橢球面上點位的三種常用坐標系統(tǒng)。5．在報紙上經(jīng)?？吹絏X號輪船在東經(jīng)XXX度，北緯XX度遇險一6．寫出參考橢球體的五個基本元素及相互間的關系。7．什么叫子午圈？什么叫平行圈？8．參考橢球體扁率的變化，橢球體的形狀發(fā)生怎樣的變形？9．簡要說明并圖示地面某一點的大地高、正常高以及大地水準面

差距的幾何意義。10．什么是大地測量的基本坐標系？有何優(yōu)點？11．畫圖表示地心緯度坐標系和歸化緯度坐標系，這兩種坐標系

在大地測量中有何意義？12．用公式表示空間直角坐標系和大地坐標系之間的關系。13．何為大地緯度、歸化緯度、地心緯度？三者間有何關系？試問它們之間函數(shù)關系的一個基本共同特點是什么？類的報導，試問這是指的什么坐標系，為什么?36整理課件14．簡要敘述M、N、R

三種曲率半徑之間的關系。15．大地坐標系和天文坐標系各以什么作基準面和基準線？16．試推證卯酉圈、子午圈曲率半徑的計算公式。17．B≠00的平行圈是否有可能是法截線？為什么？18．卯酉圈曲率半徑N與子午圈曲率半徑M何時有最大值？何時有最小值？19，為什么說任意方向法截線曲率半徑隨A的變化是以900為周期的？這

一結(jié)論對橢球問題的解算有什么意義？20．什么是法線？什么是法截面？它們對橢球解算有什么意義？21．當橢球元素確定之后，橢球面上任意方向法截線曲率半徑的計算值取決于哪兩個變量？為什么？22．已知歐拉公式：23．研究平均曲率半徑R對橢球解算有何意義？在我國中緯度地區(qū)R與的最大差異是多少？試將它對距離化算（用R代替）的影響作一定量分析。

試由橢球基本元素及公式出發(fā)，用兩種方法導出計算任意方向法截線曲率半徑的公式和平均曲率半徑R的公式。

37整理課件24．在推導計算子午線弧長公式時，為什么要從赤道起算？若欲求緯度B1和B2間的子午線弧長(≠0°)，如何計算？25．當子午線弧長不超過45km時，則可將其視為圓弧，試論證其計算精度的可靠性。26．何謂橢球面上的相對法截線和大地線？試鑒別下列各線是否為大地線并簡要說明理由：(1)任意方向法截線，(2)子午圈，(3)卯酉圈，(4)平行圈。27．試證明橢球面上過任一點P(B、L，B≠0)的任一方向的法截線只有子午線是大地線，而平行圈為什么不是大地線？若為球面，情況又如何？28．研究相對法截線有何意義？畫出某方向在不同象限時正反法截線的關系圖。29．什么叫大地線？為什么可以用大地線代替法截線？大地線具有什么性質(zhì)？30．大地線微分方程表達了什么之間的關系？有何意義？試述其推導思路。31．怎樣理解克萊洛定理中大地線常數(shù)C的含義？38整理課件32．試述三差改正的幾何意義。為什么有時在三角測量工作中可以不考慮三差改正？33．三差改正的改正數(shù)大小，各與什么有關？34．解釋下列名詞：大地水準面，參考橢球，大地線，法截線，大地經(jīng)緯度35．已知橢球面上一點P的空間直角坐標X、Y、Z。試求：(1)該點的大地坐標(B、L)；(2)該點的平行圈半徑，主曲率半徑M與N；(3)該點上大地方位角為A的方向上的法截弧曲率半徑。36．在邊長大致相等的三角網(wǎng)中，各方向的方向改正值是否也大致相等？為什么？37．什么是拉普拉斯方程式？在大地測量中有何意義？38．為什么說通過比較一點的天文經(jīng)緯度和大地經(jīng)緯度，可以求出該點的垂線偏差?試繪圖導出垂線偏差的計算公式?39．圖示垂線偏差對觀測天頂距的影響。39整理課件40．試定量分析距離改正公式在何種情況下需用下列或更精密的計算公式：41．將地面實測長度歸化到國家統(tǒng)一的橢球面上，其改正數(shù)應用下式求得：式中H應為邊長所在高程面相對于橢球面的高差，而實際作業(yè)中通常用什么數(shù)值替代？這對的計算精度是否有影響？為什么？42．根據(jù)垂直角將導線測量中的斜距化為平距時，有化算至測站高程面以及化算至測站點與照準點平均高程面上兩種公式，兩公式之間有何差異？試導出其差異的來源。43．導出由電磁波測距儀測得的斜距化算為大地線長度的計算公式。44．什么是球面角超？為什么應用球面角超可以檢核方向改正值計算的正確性？40整理課件45．在北緯22°00′地區(qū)三角網(wǎng)中有一三角形ABC，已知歸化到橢球面上的三個內(nèi)角為A=56°40′07.50″，B=83°13′49.00″，C=40°06′04.23“。并已知三角形三頂點的近似坐標分別為，；，；，。試用兩種不同方法求出該三角形閉合差（在球面上計算時略去長度改化；注處）。46．什么叫大地主題解算？為什么要研究大地主題解算？其解析意義是什么？47．在推導正算公式和反算公式過程中主要運用的是什么數(shù)學方法和原理？運用的根據(jù)是什么？反算公式中的起什么作用？試根據(jù)正反算公式畫圖說明子午線和平行圈投影至平面后的形狀。41整理課件48．用電磁波測距儀測得地面傾斜距離為D，已知數(shù)據(jù)列于中。試求D

歸化到橢球面上的大地線長度S。符號已知數(shù)據(jù)符號計算數(shù)值(m)B130°16′H2-H1A1280°36′N1H12780.51mRAH22373.43mSD1794.106m42整理課件49．某橢球面三角形ABC，其平均緯度Bm=33°50′，起算邊長AC=b=47652.597m，三角形的三個內(nèi)角觀測值為=70°46′03.49″=65°05′15.01″=44°08′45.68″試解算橢球面三角形ABC。43整理課件附：1.電磁波測距邊歸化到橢球面上的計算示例：計算公式式中D——地面傾斜距離；

S——橢球面大地線長度；

H1，H2——大地高；

RA——沿觀測方向的曲率半徑。44整理課件已知數(shù)值：D=34884.181m，B1=30°33′，A12=129°35′，H1=3930.35m，H2=3879.54m。常數(shù)值：a=6378245me2=0.00669342e′2=0.00673852解：RA=6371440m