黑龍江省實驗中學2025-2026學年度

高二學年上學期期中考試

數(shù)學學科試題

考試時間：120分鐘總分：150分

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的．

1.若直線，下列直線與平行的是（）

A.B.

CD.

【答案】D

【解析】

【分析】利用兩條直線平行時的條件即可求出.

【詳解】直線，其中、、，

對于選項，、、，此時，，，兩條直線不平行，

故不正確.

對于選項，、、，此時，，，兩條直線不平行，故

不正確.

對于選項，、、，此時，，，兩條直

線重合，故不正確.

對于選項，、、，此時，，，兩條直線平

行，故正確.

故選：.

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2.點關于軸的對稱點為，則點到直線的距離為（）

A.B.3C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】確定Q的坐標，利用點到直線的距離公式，即可得答案.

【詳解】由題意知點關于軸的對稱點為，則，

故點到直線的距離為，

故選：C

3.拋物線方程為，則此拋物線的準線為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化為標準拋物線形式，再由準線方程可得.

【詳解】拋物線方程為，則，可得，拋物線的準線為.

故選：D．

4.畫法幾何學的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以

橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓，已知橢圓的蒙日圓

是，若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則

的值為（）

A.或B.或C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到蒙日圓方程為，根據(jù)蒙日圓與圓只有一個

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公共點，結合圓與圓的位置關系，得到或，求得的值，即可得到

答案.

【詳解】由橢圓的方程，可得且，且蒙日圓方程為，

可得蒙日圓的圓心為原點O，半徑為，

又由圓的圓心為，半徑為2，

因為兩圓只有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，

可得或，

又因為，所以或，

解得或．

故選：B．

5.已知橢圓的左?右焦點分別為是橢圓上任意一點.若，則橢圓

的離心率為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

分析】根據(jù)橢圓方程及其定義和焦點位置得，進而求離心率.

【詳解】由題設，且，則，

所以.

故選：B

6.雙曲線的漸近線方程為，則（）

A.2B.C.D.

【答案】A

【解析】

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【分析】根據(jù)雙曲線方程，即可求得答案.

【詳解】由題意知雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，

故其漸近線方程為，結合漸近線方程為，故，

故選：A

7.拋物線有如下光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對

稱軸．如下示意圖中，手電筒內(nèi)，在小燈泡的后面有一個反光鏡，鏡面的形狀是一個由拋物線繞它的對稱

軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面．該鏡面圓形鏡口的直徑，鏡深．為使小燈泡發(fā)出的光經(jīng)鏡面反射后，

射出為一束平行光線，則該小燈泡距離鏡面頂點的距離應為（）

A.2B.3C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的方程以及性質(zhì)即可求解.

【詳解】以為坐標原點，以所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，

則，設平面截該鏡面所得的拋物線方程為，

代入，得，

則小燈泡應置于焦點處，故其距離鏡面頂點的距離應為.

故選：D

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8.已知拋物線，圓，過圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四

點，自上而下依次為，若，則的值為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得圓心C為拋物線的焦點，求出弦AB長，設出直線AB方程并與拋物線方程聯(lián)

立，結合韋達定理求解作答.

【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑，

且為拋物線的焦點，拋物線的準線方程為．

設，則．

因為，則，可得．

設直線的方程為，顯然，且直線與拋物線必相交，

由得，易知，

所以，解得．

故選：A.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．

9.已知點和圓，下列說法正確的是（）

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A.圓心，半徑為

B.點在圓外

C.圓關于直線對稱

D.設點是圓上任意一點，則的最小值為

【答案】BCD

【解析】

【分析】由圓的方程寫出圓心和半徑，判斷A選項；求并與圓半徑比較大小，即可知道點與圓的位置

關系，判斷B選項；驗證圓心是否在直線上，即可判斷C選項；由與圓的半徑，求出的范圍，

判斷D選項.

【詳解】圓心，半徑為，A選項錯誤；

∵，∴點在圓外，B選項正確；

∵圓心在直線上，∴圓關于直線對稱，C選項正確；

∵，圓半徑，∴，D選項正確.

故選：BCD.

10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（）

A.C的離心率為B.

C.的最大值為D.使為直角的點P有4個

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，由離心率定義判斷A，由橢圓定義判斷B，由橢圓的幾何性質(zhì)判

斷C，根據(jù)以線段為直徑的圓與橢圓交點個數(shù)判斷D.

【詳解】由原方程可得橢圓標準方程為，

，，故A錯誤；

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由橢圓定義可知，故B正確；

由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；

易知以線段為直徑的圓（因為）與C有4個交點，故滿足為直角的點有4個，故D

正確.

故選：BCD

11.已知拋物線的焦點為，準線過點，是拋物線上的動點，則（）

A.

B.當時，的最小值為

C.點到直線的距離的最小值為2

D.當時，直線ON的斜率的最大值為

【答案】ABD

【解析】

【分析】對選項A，可根據(jù)拋物線的定義計算出的值判斷其正確，對BCD選項，可根據(jù)拋物線的方程設

拋物線上任意一點的坐標為，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行計算求解.

【詳解】根據(jù)拋物線的定義，的準線為，

由題意準線過，可求出，拋物線的方程為，選項A正確；

對于選項B，C，D，可設拋物線上的點的動點為，

對于B選項，當時，；

當時，

當且僅當時，等號成立.選項B正確；

對于C選項，直線與拋物線的位置關系如下圖所示：

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到直線的距離，

當時，.選項C錯誤；

對于D選項，可根據(jù)向量共線作出示意圖：

根據(jù)定義求出拋物線的焦點，由得，

當時，；

當時，，

當且僅當時，等號成立.選項D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

12.過點，且在軸、軸上的截距的絕對值相等的直線共有_____________條．

【答案】3

【解析】

【分析】先設直線為或或，計算得出滿足截距絕對值相等直線方程即可判斷.

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【詳解】因為在軸、軸上的截距的絕對值相等的直線，

故設直線為或或，

若直線過點，則，得直線為；

若直線過點，則，得直線為；

若直線過點，則，得直線為；

所以滿足條件的直線有3條；

故答案為：3.

13.已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，左頂點為，過作的一

條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為__________________.

【答案】2

【解析】

【分析】應用點到直線的距離得，結合的關系得，在中應用余弦定理得

，進而有，即得漸近線斜率，根據(jù)雙曲線參數(shù)關系求離心率.

【詳解】

由題意，，雙曲線的漸近線為，如上圖，

設點在上，則，故，

所以，則，故，

所以，故，則橢圓離心率為.

故答案為：2

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14.已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點，P，Q為其準線上的兩個動點，且．若線段PF，

QF分別交C于點A，B，記的面積為的面積為，當時，直線AB的方程為

___________

【答案】

【解析】

【分析】設直線AB方程及其坐標，將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標之間的關系結合韋達定理計算即可.

【詳解】顯然直線不垂直于軸，設其方程為，

由消去x得：，，

則，由得：，

即，而，于是

，

直線的方程為，則點縱坐標，同理點縱坐標，

又，

由，得，則，，

所以直線AB的方程為，即.

故答案為：

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中面積之比問題，通常利用線段之比來轉(zhuǎn)化，然后設線設點將線段之比化為

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坐標關系，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程結合韋達定理計算即可.

三、解答題：本小題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15.已知，，平面內(nèi)一動點滿足，設動點的軌跡為．

（1）求的方程；

（2）若斜率為的直線與交于，兩點，且，求直線的方程．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）設動點，根據(jù)結合兩點間距離公式運算求解；

（2）設直線，根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離，列式求解即可.

【小問1詳解】

設動點，

因為，則，

整理可得，即，

所以動點的軌跡為的方程為.

【小問2詳解】

由（1）可知：曲線是以圓心為，半徑的圓，

設直線，即，

由題意可得：圓心到直線的距離，

則，解得或，

所以直線的方程為或.

16.已知橢圓過點，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率．

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（1）求橢圓方程；

（2）已知為橢圓的兩焦點，若點在橢圓上，且，求的面積．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上求得方程，結合橢圓、的關系求出橢圓的方程；

（2）利用橢圓定義及余弦定理可得，再由三角形面積公式求面積.

【小問1詳解】

因為在上，則，可得，

所以橢圓的方程為，故長軸長為，離心率為，

設橢圓的方程為，

故中，且，則，

所以橢圓的方程為.

【小問2詳解】

由題意，在中，而，

又，

所以，故，

所以.

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17.已知拋物線C：的焦點為F，拋物線C上點滿足.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設點，過D作直線l交拋物線C于A，B兩點，證明：是的角平分線.

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求得；

（2）根據(jù)題意，直線斜率不為0，設其方程為：，和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可得

，即直線與直線的傾斜角互補，得證.

【小問1詳解】

由，可得，

所以拋物線C的方程為.

【小問2詳解】

根據(jù)題意，直線斜率不為0，設其方程為：，，，

由得，由，可得：或，

由韋達定理得：，.

則

，即直線與直線的傾斜角互補，

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所以是的角平分線.

18.已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，虛軸的上、下頂點

分別為，且四邊形的面積為．

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）求雙曲線的漸近線方程；若為雙曲線上的一個動點，求到雙曲線兩條漸近線距離之積；

（3）已知直線與交于兩點，若，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）

（2）漸近線方程為，距離之積為

（3）

【解析】

【分析】（1）計算菱形的面積，再結合離心率可求；

（2）設，根據(jù)點到直線的距離公式以及化簡；

（3）設線段中點，聯(lián)立方程組利用韋達定理得出，再根據(jù)得出

，再結合可求.

【小問1詳解】

由雙曲線的幾何性質(zhì)可知，四邊形是菱形，且，

則四邊形的面積為，

又離心率為，可得，

故雙曲線的標準方程為；

【小問2詳解】

漸近線方程為，

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設到兩條漸近線的距離分別為，

則，則，

因，則，

所以到雙曲線兩條漸近線距離之積為；

【小問3詳解】

設，線段中點，,

聯(lián)立，消去整理可得，

則且，

即且①，

因，則，

因，則，

則，得，

因且，得且，

因，得或，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

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19.已知橢圓左、右頂點分別為、，是橢圓上異于、的任一點，直線，、

是直線上兩點，、分別交橢圓于點、兩點．

（1）直線、的斜率分別為、，求的值；

（2）若、、三點共線，，求實數(shù)的值；

（3）若直線過橢圓右焦點，且，求面積的最小值.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由橢圓的方程可得，的坐標，設的坐標，代入橢圓的方程，可得的橫縱坐標的關系，

進而求出的值；

（2）由題意設的坐標，可得的坐標，求出直線的方程，令，可得的縱坐標，即求出

的坐標，同理可得的坐標，再由