3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

人教A版（2019）選擇性必修一學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（重點(diǎn)）新課導(dǎo)入34類比橢圓幾何性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究雙曲線的哪些幾何性質(zhì)？如何研究這些性質(zhì)？范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)和離心率新課學(xué)習(xí)34類別橢圓范圍的方法，雙曲線的范圍是什么？F1F2xOyx=ax=-a橫縱坐標(biāo)的范圍：橫坐標(biāo)的范圍是

x≤－a，或

x≥a，縱坐標(biāo)的范圍是y∈R．

x2≥a2，y∈R.所以

x≤－a，或

x≥a；y∈R．結(jié)論：這說明雙曲線位于直線

x＝－a

及其左側(cè)和直線

x＝a

及其右側(cè)的區(qū)域.新課學(xué)習(xí)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，研究一下雙曲線是否具有對(duì)稱性？x軸的對(duì)稱性:在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，以-y代y，方程不變.這說明當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1(x,-y)也在雙曲線上，所以雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱.F1F2xOyP(x,y)P2(x,-y)P1(-x,y)y軸的對(duì)稱性:以-x代x，方程也不變，這說明如果點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上，那么它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2(-x,y)也在雙曲線上，所以雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.新課學(xué)習(xí)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，研究一下雙曲線是否具有對(duì)稱性？F1F2xOyP(x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)P1(-x,y)原點(diǎn)的對(duì)稱性:以-x代x，以-y代y，方程也不變，這說明當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上時(shí)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P3(-x,-y)也在雙曲線上，所以雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.結(jié)論：這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心.雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心.新課學(xué)習(xí)雙曲線的頂點(diǎn)的概念F1F2xOyA1A2B1B2ab在方程①中，令

y＝0，得

x＝－a或

x＝a，所以雙曲線的頂點(diǎn)為

A1(-a,0)和A2(a,0)；因?yàn)?/p>

x軸是雙曲線的對(duì)稱軸，所以雙曲線和它的對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，它們叫做雙曲線的頂點(diǎn).令x＝0，y2＝－b2，沒有實(shí)數(shù)解．這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)解，說明雙曲線和y軸沒有公共點(diǎn)，但也把兩點(diǎn)B1(0,-b)和

B2(0,b)畫在y軸上（如圖）.新課學(xué)習(xí)雙曲線的實(shí)軸和虛軸的概念F1F2xOyA1A2B1B2ab實(shí)軸虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a，a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．新課學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，在向右拖動(dòng)點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM越來越大，d越來越小，但是d始終不等于0．新課學(xué)習(xí)經(jīng)過兩點(diǎn)

A1，A2作

y軸的平行線

x＝±3，經(jīng)過兩點(diǎn)

B1，B2

作

x軸的平行線

y=±2，四條直線圍成一個(gè)矩形(如圖).xOA1yA2B1B2F2F1矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線的兩支向外延伸時(shí)，與兩條直線逐漸接近，但永遠(yuǎn)不相交．新課學(xué)習(xí)雙曲線的漸近線的概念漸近線的性質(zhì)：雙曲線與它的漸近線無限接近，但永遠(yuǎn)不相交．當(dāng)a=b時(shí)，雙曲線的有什么性質(zhì)？新課學(xué)習(xí)等軸雙曲線的概念新課學(xué)習(xí)離心率的概念新課學(xué)習(xí)橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何性質(zhì)？雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小.用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的“張ロ”大小嗎？它與用離心率刻畫“張口”大小有什么聯(lián)系和區(qū)別？新課學(xué)習(xí)方程焦點(diǎn)頂點(diǎn)范圍對(duì)稱性虛、實(shí)軸離心率漸近線F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)A1(-a，0)，A2(a，0)x≤-a或x≥a

y≤-a或y≥a

中心：原點(diǎn)；對(duì)稱軸：x軸、y軸實(shí)軸長(zhǎng)：2a；虛軸長(zhǎng)：2bF1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)A1(0，-a)，A2(0，a)新課學(xué)習(xí)例3：求雙曲線9y2－16x2＝144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．把雙曲線的方程9y2－16x2＝144化為標(biāo)準(zhǔn)方程由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)

a＝4，虛半軸長(zhǎng)

b＝3；新課學(xué)習(xí)例4：雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面(如圖(1))．它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m)．新課學(xué)習(xí)根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖(2)所示的直角坐標(biāo)系Oxy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合．這時(shí)，上、下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(13，y)，則點(diǎn)

B的坐標(biāo)為(25，y－55)．因?yàn)橹睆?/p>

AA′是實(shí)軸，所以

a＝12．又

B，C兩點(diǎn)都在雙曲線上，所以新課學(xué)習(xí)化簡(jiǎn)得19b2＋275b－18150＝0．③解方程③，得

b≈25(負(fù)值舍去)．因此所求雙曲線的方程為新課學(xué)習(xí)例5：動(dòng)點(diǎn)

M(x，y)與定點(diǎn)

F(4，0)的距離和它到定直線

l：x＝

的距離的比是常數(shù)

，求動(dòng)點(diǎn)

M的軌跡．

設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)的集合由此得將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得7x2－9y2＝63，即

新課學(xué)習(xí)將例5與橢圓一節(jié)中的教材例6比較，你可以得出什么結(jié)論？動(dòng)點(diǎn)

M

與一個(gè)定點(diǎn)

F

的距離和它到一條定直線

l

的距離的比是常數(shù)

e.若這個(gè)常數(shù)大于0且小于1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；若這個(gè)常數(shù)大于1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.新課學(xué)習(xí)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)分別為

F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0).因?yàn)橹本€

AB的傾斜角是30°，且經(jīng)過右焦點(diǎn)

F2，所以直線

AB的方程為由消去

y，得5x2＋6x－27＝0．解方程，得

x1＝－3，x2＝

新課學(xué)習(xí)將