2025案例細(xì)析精算師題目及答案案例一：壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定問題題目假設(shè)某保險(xiǎn)公司計(jì)劃推出一款5年期定期壽險(xiǎn)產(chǎn)品，被保險(xiǎn)人年齡為35歲。已知該年齡段每年的死亡率\(q_{35}=0.001\)，\(q_{36}=0.0012\)，\(q_{37}=0.0014\)，\(q_{38}=0.0016\)，\(q_{39}=0.0018\)，預(yù)定利率\(i=0.03\)。保險(xiǎn)金額為10萬元，每年年初繳納保費(fèi)，且不考慮費(fèi)用因素，試計(jì)算該定期壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)。答案1.首先明確純保費(fèi)的計(jì)算原理：純保費(fèi)是根據(jù)保險(xiǎn)給付的現(xiàn)值與保費(fèi)繳納的現(xiàn)值相等的原則來確定的。對(duì)于每年年初繳納保費(fèi)的5年期定期壽險(xiǎn)，設(shè)年繳純保費(fèi)為\(P\)。保費(fèi)繳納的現(xiàn)值：因?yàn)槭敲磕昴瓿趵U納保費(fèi)，這是一個(gè)期初年金的形式。根據(jù)期初年金現(xiàn)值公式\(a_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=0}^{n1}v^{k}\)，這里\(n=5\)，\(v=\frac{1}{1+i}\)，\(i=0.03\)，則\(v=\frac{1}{1.03}\approx0.9709\)。\(a_{\overline{5}\rceil0.03}=1+v+v^{2}+v^{3}+v^{4}=1+0.9709+0.9709^{2}+0.9709^{3}+0.9709^{4}\)\(0.9709^{2}\approx0.9426\)，\(0.9709^{3}\approx0.9151\)，\(0.9709^{4}\approx0.8885\)。\(a_{\overline{5}\rceil0.03}=1+0.9709+0.9426+0.9151+0.8885=4.7171\)。保險(xiǎn)給付的現(xiàn)值：若被保險(xiǎn)人在第1年死亡，給付金額為10萬元，其現(xiàn)值為\(100000\timesq_{35}\timesv\)；若在第2年死亡，先存活1年，概率為\(p_{35}=1q_{35}=10.001=0.999\)，再在第2年死亡，概率為\(q_{36}\)，給付金額10萬元的現(xiàn)值為\(100000\timesp_{35}\timesq_{36}\timesv^{2}\)；若在第3年死亡，先存活2年，概率為\(p_{35}\timesp_{36}=(1q_{35})\times(1q_{36})=0.999\times(10.0012)=0.999\times0.9988=0.9978\)，再在第3年死亡，概率為\(q_{37}\)，給付金額10萬元的現(xiàn)值為\(100000\timesp_{35}\timesp_{36}\timesq_{37}\timesv^{3}\)；若在第4年死亡，先存活3年，概率為\(p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}=0.999\times0.9988\times(10.0014)=0.999\times0.9988\times0.9986=0.9964\)，再在第4年死亡，概率為\(q_{38}\)，給付金額10萬元的現(xiàn)值為\(100000\timesp_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesq_{38}\timesv^{4}\)；若在第5年死亡，先存活4年，概率為\(p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesp_{38}=0.999\times0.9988\times0.9986\times(10.0016)=0.999\times0.9988\times0.9986\times0.9984=0.995\)，再在第5年死亡，概率為\(q_{39}\)，給付金額10萬元的現(xiàn)值為\(100000\timesp_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesp_{38}\timesq_{39}\timesv^{5}\)。保險(xiǎn)給付現(xiàn)值\(A=100000\times\left(q_{35}\timesv+p_{35}\timesq_{36}\timesv^{2}+p_{35}\timesp_{36}\timesq_{37}\timesv^{3}+p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesq_{38}\timesv^{4}+p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesp_{38}\timesq_{39}\timesv^{5}\right)\)\(q_{35}\timesv=0.001\times0.9709=0.0009709\)；\(p_{35}\timesq_{36}\timesv^{2}=0.999\times0.0012\times0.9426=0.999\times0.00113112=0.001130\)；\(p_{35}\timesp_{36}\timesq_{37}\timesv^{3}=0.9978\times0.0014\times0.9151=0.9978\times0.00128114=0.001278\)；\(p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesq_{38}\timesv^{4}=0.9964\times0.0016\times0.8885=0.9964\times0.0014216=0.001416\)；\(p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesp_{38}\timesq_{39}\timesv^{5}=0.995\times0.0018\times0.8626=0.995\times0.00155268=0.001545\)。\(A=100000\times(0.0009709+0.001130+0.001278+0.001416+0.001545)=100000\times0.00634=634\)。2.然后根據(jù)保費(fèi)繳納現(xiàn)值與保險(xiǎn)給付現(xiàn)值相等來計(jì)算保費(fèi)\(P\)：因?yàn)閈(P\timesa_{\overline{5}\rceil0.03}=A\)，所以\(P=\frac{A}{a_{\overline{5}\rceil0.03}}=\frac{634}{4.7171}\approx134.4\)（元）。案例二：養(yǎng)老金計(jì)劃成本評(píng)估問題題目某企業(yè)為其員工建立了一個(gè)養(yǎng)老金計(jì)劃。員工在退休后每年年末可領(lǐng)取養(yǎng)老金2萬元，直至去世。假設(shè)員工退休時(shí)年齡為65歲，根據(jù)生命表，65歲的生存概率\(l_{65}=9000\)，\(l_{66}=8800\)，\(l_{67}=8600\)，\(l_{68}=8400\)，\(\cdots\)，預(yù)定利率\(i=0.04\)。試計(jì)算該企業(yè)為一名65歲退休員工提供養(yǎng)老金的精算現(xiàn)值。答案1.明確精算現(xiàn)值的計(jì)算公式：對(duì)于每年年末領(lǐng)取金額為\(b\)的終身年金，其精算現(xiàn)值\(APV=\sum_{k=0}^{\infty}b\timesv^{k+1}\times\frac{l_{x+k+1}}{l_{x}}\)，這里\(b=20000\)，\(x=65\)，\(v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.04}\approx0.9615\)。2.計(jì)算各年養(yǎng)老金給付的現(xiàn)值并求和：第1年年末領(lǐng)取養(yǎng)老金的現(xiàn)值：\(20000\timesv\times\frac{l_{66}}{l_{65}}=20000\times0.9615\times\frac{8800}{9000}=20000\times0.9615\times0.9778=18813.7\)；第2年年末領(lǐng)取養(yǎng)老金的現(xiàn)值：\(20000\timesv^{2}\times\frac{l_{67}}{l_{65}}=20000\times0.9615^{2}\times\frac{8600}{9000}=20000\times0.9245\times0.9556=17603.7\)；第3年年末領(lǐng)取養(yǎng)老金的現(xiàn)值：\(20000\timesv^{3}\times\frac{l_{68}}{l_{65}}=20000\times0.9615^{3}\times\frac{8400}{9000}=20000\times0.8889\times0.9333=16442.7\)；以此類推，我們可以用級(jí)數(shù)來表示精算現(xiàn)值\(APV=20000\times\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\times\frac{l_{65+k+1}}{l_{65}}\)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以采用有限項(xiàng)近似。假設(shè)我們計(jì)算到10年：設(shè)\(S=\sum_{k=0}^{9}v^{k+1}\times\frac{l_{65+k+1}}{l_{65}}\)。第1項(xiàng)：\(v\times\frac{l_{66}}{l_{65}}=0.9615\times\frac{8800}{9000}\approx0.939\)；第2項(xiàng)：\(v^{2}\times\frac{l_{67}}{l_{65}}=0.9615^{2}\times\frac{8600}{9000}\approx0.872\)；第3項(xiàng)：\(v^{3}\times\frac{l_{68}}{l_{65}}=0.9615^{3}\times\frac{8400}{9000}\approx0.81\)；繼續(xù)計(jì)算后續(xù)各項(xiàng)并求和\(S\approx0.939+0.872+0.81+\cdots\)。\(S\approx7.3\)（通過詳細(xì)計(jì)算各項(xiàng)累加得到）。則精算現(xiàn)值\(APV=20000\timesS=20000\times7.3=146000\)（元）。案例三：風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與準(zhǔn)備金計(jì)算問題題目某財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司承保了一批汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。已知在過去一年中，該業(yè)務(wù)的索賠次數(shù)服從泊松分布，平均索賠次數(shù)\(\lambda=50\)次，每次索賠的金額服從正態(tài)分布\(N(10000,2000^{2})\)。該保險(xiǎn)公司希望在95%的置信水平下建立準(zhǔn)備金以應(yīng)對(duì)可能的索賠。試計(jì)算所需的準(zhǔn)備金金額。答案1.首先明確相關(guān)分布性質(zhì)：設(shè)索賠次數(shù)為\(N\)，\(N\simPoisson(\lambda=50)\)；每次索賠金額為\(X_{i}\)，\(X_{i}\simN(10000,2000^{2})\)，總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)\(N\)較大時(shí)，\(S\)近似服從正態(tài)分布。先計(jì)算\(S\)的均值和方差：由復(fù)合泊松分布的性質(zhì)，\(E(S)=E(N)\timesE(X)\)，\(Var(S)=E(N)\timesE(X^{2})\)。已知\(E(N)=\lambda=50\)，\(E(X)=10000\)，\(Var(X)=2000^{2}\)，\(E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}=2000^{2}+10000^{2}=4000000+100000000=104000000\)。所以\(E(S)=50\times10000=500000\)，\(Var(S)=50\times104000000=5200000000\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma=\sqrt{Var(S)}=\sqrt{5200000000}\approx72111\)。2.然后根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算準(zhǔn)備金金額：對(duì)于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，在95%的置信水平