專題26用樣本估計(jì)總體一．頻率分布直方圖1.畫頻率分布直方圖的步驟第1步：求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；第2步：決定組距與組數(shù)；第3步：將數(shù)據(jù)分組；第4步：列頻率分布表；第5步：畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).2.頻率分布直方圖的性質(zhì)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示，且各小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.二、數(shù)字特征①眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和②極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差．方差：.標(biāo)準(zhǔn)差：.注：方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．③性質(zhì)（1）若的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.（2）數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．（3）若的方差為s2，那么的方差為.三、百分位數(shù)1.定義：一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．2.計(jì)算一組幾個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計(jì)算.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3.四分位數(shù)即把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值就是四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．考點(diǎn)一頻率分布直方圖考點(diǎn)二六種數(shù)字特征的計(jì)算1.樣本數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單計(jì)算2.頻率分布直方圖考點(diǎn)三平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)考點(diǎn)四總體百分位數(shù)的估計(jì)1.樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)2.頻率分布直方圖的百分位數(shù)考點(diǎn)一頻率分布直方圖例1．某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試，某班成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，，，.若不低于60分的人數(shù)是35人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（

）A．45 B．50 C．55 D．60例2．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以5為組距，將數(shù)據(jù)分組，則下列頻率分布直方圖正確的是（

）A． B．C． D．例3．如圖是某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖（圖中僅列出，的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖，則_________．例4．某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3s與19s之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成6組:第一組，成績(jī)大于或等于13s且小于14s；第二組，成績(jī)大于或等于14s且小于15s；……；第六組，成績(jī)大于或等于18s且小于或等于19s，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績(jī)小于17s的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x，成績(jī)大于或等于15s且小于17s的學(xué)生人數(shù)為y，則從頻率分布直方圖中可以分析出x和y的值分別為______.例5．某汽車生產(chǎn)廠家研發(fā)了一種電動(dòng)汽車，為了了解該型電動(dòng)汽車的月平均用電量（單位：度）情況，抽取了150名戶主手中的該型電動(dòng)汽車進(jìn)行調(diào)研，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其中，第5組小長(zhǎng)方形最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為x，則該型電動(dòng)汽車月平均用電量在的戶主人數(shù)為（

）A．98 B．103 C．108 D．112考點(diǎn)二六種數(shù)字特征的計(jì)算1.樣本數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單計(jì)算例6．已知位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為____.例7．我市對(duì)上、下班交通情況作抽樣調(diào)查，上、下班時(shí)間各抽取12輛機(jī)動(dòng)車測(cè)其行駛速度（單位：）如下表：上班時(shí)間182021262728303233353640下班時(shí)間161719222527283030323637則上、下班時(shí)間行駛時(shí)速的中位數(shù)分別為（

）A．28與28.5 B．29與28.5 C．28與27.5 D．29與27.5例8．一個(gè)樣本，，，的平均數(shù)是，且，是方程的兩根，則這個(gè)樣本的方差是________.例9．（多選）某商店2021年1月至12月每月的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，則下列說法中正確的有（

）A．第二季度月平均利潤(rùn)為30萬元 B．收入的中位數(shù)和眾數(shù)都是50C．下半年支出比上半年支出穩(wěn)定 D．利潤(rùn)最高的月份是2月份和11月份例10．甲乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲射擊6次，成績(jī)分別為：10，9，8，7，8，6；乙射擊4次，成績(jī)分別為9，8，7，10，則甲乙兩人共射擊10次的平均成績(jī)和方差分別是多少？例11．（多選）構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來努力的方向.某中學(xué)積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng).如圖所示的是該校高三（1）?（2）班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D（得分越高，說明該項(xiàng)教育越好）.下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.5B．除體育外，高三（1）班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三（2）班對(duì)應(yīng)的得分C．高三（1）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高D．各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩個(gè)班的體育得分相差最大2.頻率分布直方圖例12．某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其期中考試的政治成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段：后得到如下頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生期中考試政治成績(jī)的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)；（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）(2)用分層抽樣的方法在各分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則分?jǐn)?shù)段抽取的人數(shù)是多少？例13．某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù).例14．如圖所示的頻率分布直方圖，則平均數(shù)?眾數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系是（由小到大排列）（

）A．眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù) B．平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)C．中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù) D．眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)例15．某校為了解高一學(xué)生一周課外閱讀情況，隨機(jī)抽取甲，乙兩個(gè)班的學(xué)生，收集并整理他們一周閱讀時(shí)間（單位：），繪制了下面頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖，得到甲，乙兩校學(xué)生一周閱讀時(shí)間的平均數(shù)分別為，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則于（

）A．， B．，C．， D．，例16．某滑冰館統(tǒng)計(jì)了某小區(qū)居民在該滑冰館一個(gè)月的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（

）A．該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最少B．估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的概率為0.465C．估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16D．估計(jì)小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值為15考點(diǎn)三平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)例17．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，方差為b，則___________．例18．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是和，若，且樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是和，則______.例19．已知第一組樣本數(shù)據(jù)為3，a，b，7，6，第二組樣本數(shù)據(jù)為7，3a－2，3b－2，19，16，經(jīng)計(jì)算得到第一組樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則第二組樣本數(shù)據(jù)的方差為______例20．若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為________．例21．（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其平均數(shù)和方差分別為，．由這組數(shù)據(jù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中，其平均數(shù)和方差分別為，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四總體百分位數(shù)的估計(jì)1.樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)例22．?dāng)?shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15的25百分位數(shù)是__________．例23．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是________.例24．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅(jiān)持每日測(cè)溫報(bào)告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則為（

）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3例25．（多選）小愛同學(xué)在一周內(nèi)自測(cè)體溫（單位：℃）依次為36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，則該組數(shù)據(jù)的（

）A．平均數(shù)為36.3 B．方差為0.04C．中位數(shù)為36.3 D．第80百分位數(shù)為36.552.頻率分布直方圖的百分位數(shù)例26．下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測(cè)試中的成績(jī)畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的分位數(shù)為（

）A．75 B．77.5 C．78 D．78.5例27．在某市的一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，為了解學(xué)生的測(cè)試情況，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，被抽取成績(jī)?nèi)拷橛?0分到100分之間（滿分100分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，第二組，，第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求第三組的頻率；(2)估計(jì)該市學(xué)生這次測(cè)試成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）和第25百分位數(shù).例28．（多選）從某加工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取200件作為樣本，將它們進(jìn)行某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值測(cè)量，并把測(cè)量結(jié)果x用頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如圖）.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則關(guān)于該樣本的下列統(tǒng)計(jì)量的敘述正確的是（

）A．指標(biāo)值在區(qū)間的產(chǎn)品約有48件B．指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值是200C．指標(biāo)值的第60百分位數(shù)是200D．指標(biāo)值的方差估計(jì)值是150例29．某校1000名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中的值為0.004B．估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為75C．估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為80D．估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150一、單選題1．某同學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽，位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)為，則該組分?jǐn)?shù)的第百分位數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖是某班50名學(xué)生期中考試物理成績(jī)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是，，，，，，則圖中的值等于（

）．A． B． C． D．3．對(duì)某校中學(xué)學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），則該校學(xué)生身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（

）A．165 B．165.75 C．166 D．166.254．有關(guān)部門從甲、乙兩個(gè)城市所有的自動(dòng)售貨機(jī)中各隨機(jī)抽取了臺(tái)，記錄上午期間各自的銷售情況（單位：元），如莖葉圖所示，設(shè)甲，乙兩城市銷售情況的平均數(shù)分別為、，標(biāo)準(zhǔn)差分別為、，則（

）A．， B．，C．， D．，5．某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識(shí)問卷，滿分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個(gè)位數(shù)字），則下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（

）A．講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分B．講座前的答卷得分分布較講座后分散C．講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95D．講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差6．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績(jī)（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.由直方圖可估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)小于13.5秒的人數(shù)為（

）A．47 B．54 C．67 D．94二、多選題7．某校有名同學(xué)參加國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，甲同學(xué)得知其他名同學(xué)的成績(jī)單位：分分別為，若這名同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)椋瑒t下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锽．這名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的方差為C．這名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的第百分位數(shù)是D．從這名同學(xué)中任取一人，其競(jìng)賽成績(jī)高于平均成績(jī)的概率為8．下列說法正確的是（

）A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是17D．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為169．冬春季節(jié)，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱.若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會(huì)影響到人們的身體健康，干擾正常工作，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為某地區(qū)在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體發(fā)熱現(xiàn)象的標(biāo)志為“連續(xù)10天，該地區(qū)每天新增疑似發(fā)熱病例不超過7人”.下列連續(xù)10天疑似發(fā)熱病例人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該地沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（

）A．總體平均數(shù)為2，總體標(biāo)準(zhǔn)差為B．總體平均數(shù)為4，總體方差為C．總體平均數(shù)為3，中位數(shù)為4D．總體平均數(shù)為2，第65百分位數(shù)為5三、填空題10．某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則由大到小的順序?yàn)開_______.11．一組數(shù)據(jù)3.65，3.68，3.68，3.72，3.73，3.75，3.80，3.80，3.81，3.83，則它們的75%、50%分位數(shù)分別為__________.12．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.四、解答題13．為迎接2022年冬奧會(huì)，某地區(qū)高一、高二年級(jí)學(xué)生參加了冬奧知識(shí)競(jìng)賽．為了解知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀（不低于85分）學(xué)生的得分情況，從高一、高二這兩個(gè)年級(jí)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取容量為15、20的樣本，得分情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示（滿分100分，得分均為整數(shù)），其中高二年級(jí)學(xué)生得分按，，分組．(1)從抽取的高二年級(jí)學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取一