2/30專題1.1集合的概念（舉一反三講義） 【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對集合概念的理解】 1【題型2判斷是否為同一集合】 2【題型3利用集合元素的特性求參數(shù)】 3【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】 4【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】 4【題型6集合中的元素個數(shù)問題】 5【題型7列舉法表示集合】 6【題型8描述法表示集合】 6【題型9集合元素中的新定義問題】 8知識點(diǎn)1集合的概念1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．【注】：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現(xiàn)在自然語言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等；考察互異性的問題一般是針對數(shù)字類的題目，注意同一個數(shù)字不同的表示方法.【題型1對集合概念的理解】【例1】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）下列各組對象可以構(gòu)成集合的是（

）A．?dāng)?shù)學(xué)必修第一冊課本中所有的難題 B．小于8的所有素數(shù)C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn) D．所有小的正數(shù)【變式1-1】（24-25高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個集合B．聯(lián)合國安理會常任理事國能組成一個集合C．?dāng)?shù)1,0,5,2D．由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為1,2,3,4【變式1-2】（24-25高一上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）給出下列說法：①所有接近于0的數(shù)構(gòu)成一個集合；②2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ中的選擇題構(gòu)成一個集合；③高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；④所有不大于3的自然數(shù)構(gòu)成一個集合；⑤1，0.5，32，12組成的集合含有其中正確的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【變式1-3】（25-26高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．與定點(diǎn)A,B等距離的點(diǎn)不能組成集合B．由“title”中的字母組成的集合中元素的個數(shù)為5C．一個集合中有三個元素a,b,c，其中a,b,c是△ABC的三邊長，則△ABC不可能是等腰三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能組成集合【題型2判斷是否為同一集合】【例2】（2025高一上·全國·專題練習(xí)）下列四組中表示同一集合的為（

）A．M=?1,3，N=3,?1 B．M=C．M=x,y|y=x2+3x，N=【變式2-1】（24-25高三上·河北保定·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)} B．M=(x,y)x+y=1C．M={1,2}，N={(1,2)} D．M=y|y=x【變式2-2】（24-25高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于集合相等的說法正確的有（

）①xx②yy=2③xx=④x,yA．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式2-3】（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）下列各組中的M、P表示同一集合的個數(shù)是（

）①M(fèi)=3,?1，P={(3,?1)}②M={(3,1)}，P={(1,3)}；③M=y∣y=x④M=y∣y=x2A．0 B．1 C．2 D．3【題型3利用集合元素的特性求參數(shù)】【例3】（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知集合A=12,a2+4a,a+10，5∈A，則a=A．?5 B．?5或1 C．1 D．5【變式3-1】（24-25高一上·山東臨沂·開學(xué)考試）若集合A=?x,x，則x應(yīng)滿足（A．x>0 B．x<0C．x=0 D．x≤0【變式3-2】（24-25高一上·陜西·階段練習(xí)）若?3∈a?3,2a?1,a2?1，則A．－1 B．0 C．1 D．2【變式3-3】（24-25高一上·廣東東莞·期中）若x∈1,2,x2，則xA．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2知識點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系1．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.2．常用的數(shù)集及其記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】【例4】（24-25高一上·云南大理·階段練習(xí)）給出下列關(guān)系：①12∈R；②2∈Z；③?3?NA．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A=xx=3k?1,k∈Z,B=xx=3k+1,k∈ZA．2a?B B．2b?A C．a(chǎn)+b∈C D．b+c∈A【變式4-2】（24-25高一上·天津南開·期中）給出下列關(guān)系：①?2?N*；②0?Z；③2∈Q；④A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-3】（24-25高一上·上海徐匯·開學(xué)考試）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,y∈A，則xy∈A；②若x,y∈A，則x+y∈A下列判斷中，錯誤的是（A．?1?A B．2022C．若x,y∈A，則xy∈A D．若x,y∈A，則x?y∈A【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】【例5】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A={x2mx?3>0}，若1?A且3∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

A．m12<m≤32 B．m1【變式5-1】（24-25高一上·河南洛陽·期中）已知集合A=1,a+9,a2+a，若6∈A，則A．?2或3 B．?3或2 C．2 D．?3【變式5-2】（24-25高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知集合A=x2x?a<0a∈R，且1∈AA．a(chǎn)≤4 B．a(chǎn)>2C．2<a<4 D．2<a≤4【變式5-3】（24-25高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知集合A=?1,a2?2a+1,a?4，若4∈A，則A．?1，3 B．?1 C．?1，3，8 D．?1，8【題型6集合中的元素個數(shù)問題】【例6】（24-25高一上·浙江·階段練習(xí)）已知集合A=1,3,5，B=2,4,6，則C=xx=a+b,a∈A,b∈BA．5 B．6 C．7 D．8【變式6-1】（2025高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合A=x|ax2?3x+2=0,x∈R，若集合A中至多有一個元素，則實(shí)數(shù)A．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)≥98 C．a(chǎn)=0或a≥【變式6-2】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A=x|a(1)若集合A中只有一個元素，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若集合A中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若集合A中有兩個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式6-3】（2025高一·全國·課后作業(yè)）集合A中的元素是實(shí)數(shù)，且滿足條件①若a∈A，則11?a∈A，②(1)A中至少有幾個元素？(2)若條件②換成3∈A，A中至少含有的元素是什么？(3)請你設(shè)計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.知識點(diǎn)3集合的表示法1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．3．圖示法圖示法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點(diǎn)集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圓形表示一個集合，是集合的一種直觀的圖形表示法.【題型7列舉法表示集合】【例7】（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）已知集合A=x∈N3x?1∈ZA．?2,0,1,2,4 B．?2,0,2,4 C．0,2,4 D．2,4【變式7-1】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）集合x∈N*|x?2≤1A．0,1,2,3 B．1,2,3 C．0,1,2,3,4 D．1,2,3,4【變式7-2】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）用列舉法表示下列集合．(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；(3)方程2x2?x?3=0(4)一次函數(shù)y=x+3與y=?2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．【變式7-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）用列舉法表示下列集合：(1)方程x?12(2)“Welcome”中的所有字母構(gòu)成的集合；(3)函數(shù)y=2x?1的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)組成的集合．【題型8描述法表示集合】【例8】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中的x軸上的點(diǎn)組成的集合；(2)拋物線y=x(3)使函數(shù)y=2x?1有意義的實(shí)數(shù)【變式8-1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）用描述法表示下列集合：(1)被7除余1的正整數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系中第一象限和第三象限的點(diǎn)組成的集合；(3)函數(shù)y=2x【變式8-2】（2025高一·江蘇·專題練習(xí)）試用描述法表示下列集合.(1)方程x2(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)y=x【變式8-3】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的點(diǎn)組成的集合；(2)所有被3除余1的整數(shù)組成的集合；(3)使y=1x2(4)方程x?22【題型9集合元素中的新定義問題】【例9】（24-25高一上·重慶南岸·階段練習(xí)）定義集合A,B的一種運(yùn)算：A?B={x|x=b2?a,a∈A,b∈B}，若A={1,4},B={?1,2}，則A?B中的元素個數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．4【變式9-1】（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）定義集合運(yùn)算A?B=xx=x1?x2A．48 B．54 C．42 D．36【變式9-2】（24-25高一上·江蘇常州·期中）對