2/30專題4.1指數(shù)（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化】 2【題型2根式的化簡求值】 3【題型3指數(shù)冪的運算】 6【題型4指數(shù)冪的化簡、求值】 7【題型5指數(shù)式的給條件求值問題】 9【題型6指數(shù)冪等式及冪的方程問題】 11【題型7指數(shù)冪等式的證明】 12知識點1根式與分數(shù)指數(shù)冪1．根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)定義一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*性質(zhì)(1)當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時，a的n次方根用符號表示；(2)當n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，記為；(3)負數(shù)沒有偶次方根；(4)0的任何次方根都是0，記作(2)根式的定義與性質(zhì)定義式子叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)性質(zhì)，2．分數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪指數(shù)

冪中

的指

數(shù)從

整數(shù)

拓展

到了

有理

數(shù)分數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：負整數(shù)指數(shù)冪：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：0的0次方?jīng)]有意義；非零整數(shù)的0次方都等于1規(guī)定：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義【注】：分數(shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分數(shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法，不可理解為個a相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.【題型1根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化】【例1】（24-25高一上·河北·階段練習）設(shè)a>0，則14a3a的分數(shù)指數(shù)冪形式為（A．a(chǎn)?16 B．a(chǎn)?15【答案】D【解題思路】根據(jù)根式和指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化即可得到答案.【解答過程】14故選：D.【變式1-1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化錯誤的是（

）A．3aa=C．x?12【答案】B【解題思路】利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則求解.【解答過程】對于A選項，3a對于B選項，x?對于C，x?對于D，3?x故選：B．【變式1-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）將下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式：(1)aa(2)13(3)4b(4)3a【答案】(1)a(2)x(3)b(4)a【解題思路】（1）（2）（3）（4）將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，結(jié)合指數(shù)冪運算求解即可.【解答過程】（1）原式=a?（2）原式=1（3）原式=b（4）原式=3【變式1-3】（2025高一·全國·專題練習）把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0,b>0(1)5a(2)3a(3)?a【答案】(1)a(2)a(3)a【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的概念和根式運算法則進行化簡.【解答過程】（1）5（2）3（3）因為a>0，所以?a6【題型2根式的化簡求值】【例2】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知a<1，則a?12+3a3A．?1 B．1 C．2a?1 D．1?2a【答案】B【解題思路】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡求值即可.【解答過程】因為a<1，所以a?12故選：B.【變式2-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）若1<a<2，則31?a3+A．1 B．?1 C．3?2a D．2a?3【答案】C【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合根式的性質(zhì)運算求解即可.【解答過程】由1<a<2，得2?a>0，所以31?a故選：C.【變式2-2】（24-25高一上·江蘇連云港·期中）下列各式正確的是（

）A．3?8=6C．nan=【答案】D【解題思路】利用根式的運算性質(zhì)即可判斷出正誤.【解答過程】3?8=?2，(3?π∵n>1,n∈N?，∴當n為奇數(shù)時，nan=a(n故選：D.【變式2-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）化簡(1?a)41(a?1)A．4a?1 B．?4a?1 C．4【答案】B【解題思路】先分析a的取值范圍，再進行根式化簡.【解答過程】由題意得，a?1>0，即a>1，所以(1?a)4故選：B.知識點2指數(shù)冪的拓展1．有理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個常用結(jié)論：①當a>0時，ab>0；

②當a≠0時，a0=1，而當a=0時，a0無意義；

③若ar=as(a>0,且a≠1)，則r=s；

④乘法公式仍適用于分數(shù)指數(shù)冪.2．無理數(shù)指數(shù)冪及實數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).這樣，我們就將指數(shù)冪ax(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù).

(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.整數(shù)指數(shù)冪

的運算性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)

的取值范圍實數(shù)指數(shù)冪

的運算性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)

的取值范圍m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>03．指數(shù)冪運算的一般原則(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).【題型3指數(shù)冪的運算】【例3】（24-25高一上·江蘇宿遷·開學考試）下列各式中，計算正確的是（

）A．m4·mC．?2xy3=?6x【答案】D【解題思路】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運算法則依次進行運算即可求解．【解答過程】對于A，m4對于B，m4對于C，?2xy3對于D，?ab故選：D．【變式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列各式中成立的是（

）A．nm7=C．4x3+【答案】D【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)逐項分析可得答案.【解答過程】對于A，nm對于B，12?3對于C，當x=1,y=2時，413+所以4x對于D，39故選：D.【變式3-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若代數(shù)式2x?3+83?xx∈ZA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解題思路】根據(jù)式子有意義及x∈Z可得x=2，進而結(jié)合指數(shù)冪運算性質(zhì)求解即可.【解答過程】由題可得2x?3≥083?x≥0，解得32≤x≤則x2故選：B.【變式3-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若a,b>0，則a?1?b?1A．12a?2+b?2 B．?【答案】D【解題思路】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可.【解答過程】a?1故選：D.【題型4指數(shù)冪的化簡、求值】【例4】（24-25高一上·北京平谷·期中）化簡、計算(1)計算：259(2)化簡：2x【答案】(1)2(2)x【解題思路】由指數(shù)冪的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）原式=5（2）原式=2×【變式4-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）（1）計算：94（2）化簡：a【答案】（1）1；（2）a【解題思路】利用指數(shù)運算法則和根式運算法則計算即可.【解答過程】（1）9=3（2）a2【變式4-2】（24-25高一上·天津南開·期中）計算：(1)?1.80(2)若a=27，b=16，求?2ab【答案】(1)19(2)6【解題思路】（1）利用根式與指數(shù)冪運算法則計算即可得出結(jié)果；（2）利用根式的性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡式子，再代值計算即可.【解答過程】（1）原式=1+=1+=1+4（2）原式==4a因為a=27，b=16，所以原式=4×27【變式4-3】（2025高三·全國·專題練習）化簡求值：(1)aa(2)(27(3)(27(4)已知x12+【答案】(1)a(2)7(3)?(4)4【解題思路】（1）把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪化簡即可.（2）（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，結(jié)合分母有理化計算即可.（4）多次進行完全平方運算，結(jié)合指數(shù)冪的運算法則即可求解.【解答過程】（1）aa（2）(278)（3）(278=4（4）∵x12∴x+x?1=7，∴∴x∴x【題型5指數(shù)式的給條件求值問題】【例5】（24-25高一上·江蘇南京·期中）已知a12?a?A．35 B．±35 C．215【答案】C【解題思路】利用完全平方公式，平方差公式結(jié)合指數(shù)運算可得.【解答過程】由a12?a?故a1故a?故a2故選：C.【變式5-1】（24-25高一上·廣西北?！て谥校┤鬭m=3，an=4，則A．24 B．12 C．26 D．【答案】A【解題思路】利用分數(shù)指數(shù)冪運算法則得到答案.【解答過程】a2m+3n故選：A.【變式5-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知2a=4，求（2）已知a2+a?1=0，求【答案】（1）?22【解題思路】（1）由2a=4得（2）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可.【解答過程】（1）由2a=4，得則4a（2）因為a2+a?1=0，則則a2【變式5-3】（24-25高一上·江蘇南通·階段練習）已知x?x?1=2(1)x2(2)x+【答案】(1)4(2)2【解題思路】（1）將原式平方后可得x2+x（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果配方可得x1【解答過程】（1）因為x?x?1=2故x2+x?2+2=16故x2（2）由（1）可得x+x?1=4故x12+【題型6指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【例6】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）方程32x?1=1A．?2 B．?22 C．2【答案】B【解題思路】先將方程化為同底數(shù)冪的形式后，再求解即可.【解答過程】由32x?1=所以2x?1=?2，2解得x=?2故選：B.【變式6-1】（2025高一·全國·專題練習）方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【答案】B【解題思路】化簡指數(shù)方程為3x﹣1＝3﹣2，即可解出．【解答過程】∵方程3x?1∴3x?1∴x?1=?2，∴x=?1，因此方程3x?1=1故選：B.【變式6-2】（2024高一·全國·專題練習）方程5x?1A．1,4 B．14 C．1,14【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，先把103x轉(zhuǎn)化為53x?【解答過程】原方程可化為：5x?1?5解得：x=1故選：B．【變式6-3】（2025高一·全國·專題練習）方程4x?1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】C【解題思路】由4x?1=1【解答過程】解：∵4x?1∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．故選：C．【題型7指數(shù)冪等式的證明】【例7】（2025高三·全國·專題練習）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=2b【答案】證明見解析【解題思路】令3a=2b=6c=tt>0【解答過程】令3a=2b=6c很顯然有t1a?【變式7-1】（2025高一·全國·專題練習）已知a>0且a≠1，2am=a,3a【答案】證明見解析【解題思路】根據(jù)題意，由(3a)m(2a)m【解答過程】證明：∵a>0且a≠1，2am∴(3a)m(2a)m∴32mn=【變式7-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知x+x?1=3(x>0)（2）已知2a?3【答案】（1）7；（2）證明見解析【解題思路】（1）利用指數(shù)的運算求解；（2）利用指數(shù)冪的運算律求解.【解答過程】（1）由x+x?1=3(x>0)所以x2（2）證明：因為2a?