微專題18函數(shù)的應(yīng)用

【方法技巧與總結(jié)】

知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型：y=kx+b（k,匕為常數(shù),kwO）

2、二次函數(shù)模型：y=ar2+〃x+c（a,〃,c為常數(shù)，。=0）

3、指數(shù)函數(shù)模型：y=兒/+c（為常數(shù)，。工0,a>0且

4、對數(shù)函數(shù)模型：y=rnlogflx+n〃為常數(shù)，/〃工0,a>0且awl）

5、索函數(shù)模型：y=cixn+b（〃力為常數(shù)，白工0）

八er.,期.[ax+b,x<m

6、分段函數(shù)模型：y=\

ex+a,x>m

知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟

1、解應(yīng)用題的基本思想

明確題意，找出題設(shè)與

結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系T量

關(guān)系或空間位置關(guān)系

2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟

求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：

第一步：審題

弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

第二步：建模

在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后

根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型.這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求.

第三步：求模

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果.

第四步：還原

把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題佐出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判，使其符合實(shí)際

背景.

上述四步可概括為以下流程:

實(shí)際問題（文字語言）=＞數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）=＞建模（數(shù)學(xué)語言）=＞求模（求解數(shù)學(xué)

問題）=＞反饋（還原成實(shí)際問題的解答）.

【題型歸納目錄】

題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型

題型二：二次函數(shù)模型

題型三：分段函數(shù)模型

題型四：分式型函數(shù)模型

題型五：對數(shù)函數(shù)模型

題型六：懸函數(shù)模型

題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【典型例題】

題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型

例1.（2023?陜西?榆林市第十中學(xué)高一期中）某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到西紅

柿種植成本Q（單位：元/100kg）與上市時(shí)間1（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間，50120150

種植成本°26005002600

由表知，體現(xiàn)。與，數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（）

A.Q=at+bB.Q=at2+bt+c

C.Q=atD.Q=alogj

例2.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)變量y,乃，匕隨變量工的變化數(shù)據(jù)如下表:

X12468???

>1241664256?,.

14163664??.

0122.5853???

則反映M，K，為隨x變化情況怒合較好的一組函數(shù)模型是（）

rA2

A.y2=2,.v3=log,xB.y,=2,y2=x,y3=log,x

2v2

C.y\=log2?y2=x,y3=2D.y=2'，y2=log2x,y3=x

例3.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，當(dāng)x很大時(shí)，＞隨x的增大而增大速度最快的是（）

1

A.y=——eB.y=1(X)In.rC.y=100.rD.y=10()-2,

100

變式1.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下面對函數(shù)〃x）=l°g；L式?=（1|'與/心.）=￡：在區(qū)間（0,+8）上的

~V2J

衰減情況的敘述正確的是（）

A./（力的衰減速度逐漸變慢,g（"的衰減速度逐漸變快,〃（x）的衰減速度逐漸變慢

B./（%）的衰減速度逐漸變快,武工）的衰減速度逐漸變慢,力（”的衰減速度逐漸變快

C./'（X）的衰減速度逐漸變慢,g（”的衰減速度逐漸變慢,的衰減速度逐漸變慢

D./（X）的衰減速度逐漸變快,g（x）的衰減速度逐漸變快,的衰減速度逐漸變快

變式2.（2023.全國?高一課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù):

X-2-10123

y0.240.5112.023.988.02

則1,＞的函數(shù)關(guān)系與下列各類匣數(shù)最接近的是（其中b為待定系數(shù)）（）

A.y=a+bxB.y=bxC.y=ax2+bD.y=-

題型二：二次函數(shù)模型

例4.（2023?上海市莘莊中學(xué)高一階段練習(xí)）行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段

距離才能停下，這段距離叫做剎車距離，在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離$（m）與汽車的車速

口（km/h）滿足下列關(guān)系：5=里+二（〃為常數(shù)，且〃eN）,做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所

100400

6<51<8

示,其中（

14<52<17

S

S2

10

$

O4070

⑴求〃的值：

⑵要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少？

例5.（2023?浙江省永嘉縣碧蓮中學(xué)高一期中）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一

400.t--x2,0<.r<400

臺(tái)儀器需要增加投入100元，已知總收益（單位：元）函數(shù)為&"）=?2其中x是儀

80000,犬>400

器的產(chǎn)量（單位；臺(tái)）

（1）洛利潤/（力（單位：元）表示為產(chǎn)量”的函數(shù)（利潤=總收益一總成本）;

（2）當(dāng)產(chǎn)量x為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

例6.（2023.江蘇.常熟中學(xué)高一階段練習(xí)）某景區(qū)要建一個(gè)游樂場（如圖所示），其中八D、CD分別靠現(xiàn)

有墻。例、DN（墻。例長為27米，墻。N足夠長），其余用籬笆圍成.籬笆。￡將游樂場隔戌等腰直角

△CEO和長方形4OE8兩部分，并在三處各留2米寬的大門，已知籬笆總長為54米，設(shè)48長為米，面

積為了平方米.

⑴求y與1的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；

（2）當(dāng)A4多長時(shí)，游樂場的面積為320平方米？

變式3.（2023?廣東汕頭?高一期末）為節(jié)約能源，倡導(dǎo)綠色環(huán)保，某主題公園有60輛電動(dòng)觀光車供租賃使

用，管理這些電動(dòng)觀光車的費(fèi)用是每日120元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛電動(dòng)觀光車的日租金不超過5元，則電動(dòng)

觀光車可以全部租出；若超過5元，則每超過1元，租不出的電動(dòng)觀光車就增加2輛.為了便于結(jié)算，每

輛電動(dòng)觀光車的口租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租電動(dòng)觀光車一口的收入必須高于這一日的管理費(fèi)

用，用y（元）表示出租電動(dòng)觀光車的日凈收入（即一日出租電動(dòng)觀光車的總收入減去管理費(fèi)用后的所

得）.

⑴求函數(shù)y=f（x）；

⑵試問當(dāng)每輛電動(dòng)觀光車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

題型三：分段函數(shù)模型

例7.（2023?云南師大附中高一期中）第二十二屆世界杯足球賽將于2022年11月20日至12月18日在卡

塔爾舉行，這是世界杯足球賽首次在中東國家舉行.本屆世界杯很可能是“絕代雙驕''梅西、。羅的絕唱，狂

傲的青春也將被時(shí)間攬入溫柔的懷抱.即將說再見時(shí)，才發(fā)現(xiàn)，那屬于一代人的絕世風(fēng)華，不會(huì)隨年華逝

去，只會(huì)在年華的飄零中不經(jīng)意的想起.世界杯，是球員們圓夢的舞臺(tái)，是球迷們情懷的歸宿，也是商人們

角逐的競技場.某足球運(yùn)動(dòng)裝備生產(chǎn)企業(yè)，2022年的固定成本為100（）萬元，每生產(chǎn)x千件裝備，需另投入

x2+av,0<x<80

資金R（x）（萬元）.經(jīng)計(jì)算與市場評估得R（”=30I/_2750Y+10000，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)10千件

-------------------,x>80

x

裝備時(shí)需另投入的資金R（10）=2100萬元.每千件裝備的市場售價(jià)為300萬元，從市場調(diào)查來看，2022年最

多能售出150千件.

（1）寫出2022年利澗卬（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利澗=銷售總額-總成本）

（2）求當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

例8.（2023?江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)

400__!-r20<v<400

一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)R（x）={一牙’一一（其中x是儀器的月產(chǎn)

80000,x>400

量）.

⑴珞利潤），表示為月產(chǎn)量x的函教/（X）;

（2）當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，平均每件產(chǎn)品所獲利潤最大？每件產(chǎn)品的最大利潤為多少元？

例9.（2023?江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)高一期末）我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并

從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)X（千臺(tái)）電腦

or2+1OOr+1(X)0,0<.r<40,

需要另投成本丁(x)萬元，且7(x)=10000C另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬元，假設(shè)每年

601.r+------7450/240.

x

生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.

(1)求該企業(yè)獲得年利潤W(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.

變式4.(2023?云南?高一階段練習(xí))為了解決受新冠疫情影響，文具用品滯銷的問題，文具店老板利用某

直播平臺(tái)賣貨，銷售的文具主要有圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆，價(jià)格依次為2元/支、10元/本、14元/

個(gè)、25元/支.為了增加銷量，老板決定對這4種文具進(jìn)行1次優(yōu)惠大促銷：優(yōu)惠活動(dòng)①，提供滿50元減4

元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加；優(yōu)惠活動(dòng)②，提供買1套文具(包括1支圓珠筆、1本筆記本、1個(gè)文具

盒、1支鋼筆)減x(0<x<10,且xeZ)元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加，每位顧客只能參加其中一種優(yōu)惠

活動(dòng)，每位顧客在網(wǎng)上支付訂單成功后，文具店老板都會(huì)得到支付款的80%.已知甲顧客購買了I套文具，

選擇優(yōu)惠活動(dòng)②，并且文具店老板從甲顧客的支付款中得到了36元.

⑴求x的值；

(2)已知乙、丙兩位順客計(jì)劃在該文具店購買圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆這4種文具，計(jì)劃購買的圓珠

筆的數(shù)量多于筆記本的數(shù)量的2倍，筆記本的數(shù)量多于文具盒的數(shù)量，文具盒的數(shù)量多于鋼筆的數(shù)量，鋼

筆數(shù)量的3倍多于圓珠筆的數(shù)量，當(dāng)乙、內(nèi)購買的文具總數(shù)最少時(shí)，請你給乙、丙設(shè)計(jì)1種最省錢的購買

方案，并求乙、丙花費(fèi)的總費(fèi)用的最小值.

題型四：分式型函數(shù)模型

例10.(2023?江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中)甲乙兩地相距5000km,汽車從甲地以vkm/h(60G及120)的

速度勻速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為。元

(0<fl<144),可變成本與速度V的平方成正比，比例系數(shù)為h已知當(dāng)速度￡為60km/h進(jìn)行行駛時(shí)，每小

時(shí)運(yùn)輸?shù)目勺兂杀镜?6元，設(shè)全程運(yùn)輸成本V元.

(1)求全程運(yùn)輸成本)'關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；

(2)為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

例11.（2023?湖南?長沙i中高?階段練習(xí)）某品牌電動(dòng)汽車在某路段以每小時(shí)X千米的速度勻速行駛240

千米.該路段限速604xWl（X）（單位：千米/時(shí)）.充電費(fèi)為1.5元/千瓦時(shí)，電動(dòng)汽車行駛時(shí)每小時(shí)耗電

10+工千瓦時(shí)，輪胎磨損費(fèi)為W元/千米，道路通行費(fèi)為。?2元/千米.

⑴求這次行車總費(fèi)用），關(guān)于X的表達(dá)式；

（2）當(dāng)行車速度x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.

例12.（2023?上海市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計(jì)劃利用學(xué)校

空地建造一間室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相

鄰矩形區(qū)域之間間隔1m,三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與

相鄰的左、右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖，設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x（m）,三塊種植植物的姓形區(qū)域的總

（1）寫出與x之間的關(guān)系式月（力，并寫出x的取值范圍：

（2）若要求矩形區(qū)域總面積不少于656m2,求室內(nèi)長大的取值范圍.

變式5.（2023?寧夏?石嘴山市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大

程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，寧夏政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在國慶期

間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)赜企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)提供

A（XG[0,20]）（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼.A企業(yè)在收到政府x（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到/=（x+2）（萬件）.

同時(shí)A企業(yè)生產(chǎn)，（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（"+?+2x）（萬元），并以每件（6+,）元的價(jià)格將其生

產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本

（1）求A企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益R（x）（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，A企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？

題型五：對數(shù)函數(shù)模型

例13,（2023?全國?高一單元測試）某同學(xué)對航天知識(shí)有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣

動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是H前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入

宇宙空間的運(yùn)載工具.早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：v=生，被稱

叫

為齊奧爾科夫斯基公式，其中。為噴流相對火箭的速度，，〃。和〃”分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火

（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，四被稱為火箭的質(zhì)量比.

叫

（1）某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求

該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；

（2）根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通?；鸺馁|(zhì)量比不超過10.如果噴流相對火箭的速度為2千米/秒，請判斷該

火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：In2?0.69）

例14.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間

有9。分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評分制度，建立一個(gè)每天得分＞與當(dāng)天鍛煉時(shí)間工：單位：分）

的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間［。，90］上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天

得分為。分；（3）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個(gè)

函數(shù)模型①y=依+6（攵＞。），

②"“心"公＞0）,③），"密代+，+〃（*＞。）供選報(bào)

（1）請你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；

（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：VI?1.414,結(jié)果保留整數(shù)）

例15.（2023?云南玉溪?高一期末）某集團(tuán)公司為鼓勵(lì)下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的

新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金）'（單位：萬元）隨年產(chǎn)值匯（單位：萬元）的增

加而增加，但獎(jiǎng)金不低于7萬元，且不超過年產(chǎn)值的15%.

⑴若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎(jiǎng)金.試分析函數(shù)模型），=/（x）=g+h+5（k為常

數(shù)）是否為符合集團(tuán)的獎(jiǎng)勵(lì)原則，并說明原因；

（2）設(shè)〃>0,若函數(shù)模型g（x）=—二符合獎(jiǎng)勵(lì)原則，試求〃的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：1g2H03

X+o

變式6.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火

箭技術(shù).據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式u=%ln竺計(jì)算火箭的最大速

m

度（單位：m/s）.其中％（單位m/s）是噴流相對速度，〃？（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，

M〔單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，竺稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為

m

20C0m/s.

參考數(shù)據(jù)：In230=5.4,1.648<e°5<1.649.

（1）當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火筋的最大速度；

（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，4型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼膅,

若要使火箭的最大速度增加500m/s,記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T,求不小于丁的最小整

數(shù)？

變式7.（2023?吉林?長春市第二中學(xué)高一期末）某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年

利潤低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考思轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤），（百萬元）與年投資成本x

（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù):

年份2015201620172018

投資成本X35917

年利潤*'1234...

給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①尸一A+匕；②），="'（〃W0,〃>0,且/?工1）；③y=log“（x+A）（A>0,且

a*1）.

（1）選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，），之間的關(guān)系，并求出其解析式；

（2）試判斷該企業(yè)年利潤不低于6百萬元時(shí)，該企'也是否要考慮轉(zhuǎn)型.

題型六：募函數(shù)模型

例16.（2023?全國?高一專題練習(xí)）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對中國游客（含港、澳、臺(tái)

同胞、海外僑胞）施行門票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大

壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)》與年份

代碼x（記2017年的年份代碼為人=1,2018年年份代碼為x=2,依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型

y=ka'（k>0,a>1）與），=p4x^qip>0）可供選擇.

（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（不需計(jì)算，簡述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式：

（2）問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：五*1.41，右。1.73,

1g2a0.30,Ig3?0.48）

例17.（2023?廣東珠海?高一期末）果園4占地約3000畝，擬選用果樹8進(jìn)行種植，在相同種植條件下,

果樹3每畝最多可種植40棵，種植成本?。ㄈf元）與果樹數(shù)量x（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.

X14916

y14.47.811.2

（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：了=?+〃與丁=。五+”哪一個(gè)更適合作為y與1的函數(shù)模型；

（2）己知該果園的年利潤z（萬元）與K），的關(guān)系為z=2y-O.Ix,則果樹數(shù)量匯為多少時(shí)年利潤最大？

例18.（2023?全國?高一專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)A,3兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤）'

（萬元）與投資額%（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；B產(chǎn)品的利潤》（萬元）與投資額x（萬

元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示.

（1）分別將A,8兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；

（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A,"兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能

使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利澗約為多少萬元（精確到1萬元）？

變式8.（2023?福建漳州?高一期末）2021年10月26口下午，習(xí)近平總書記參觀國家“十三五'’科技成就展

強(qiáng)調(diào)，堅(jiān)定創(chuàng)新自信緊抓創(chuàng)新機(jī)遇，加快實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng).面向人民生命健康，重點(diǎn)展示一體化全

身正電子發(fā)射磁共振成像裝備，在紅色“健康中國''四個(gè)大字襯托下，更顯科技創(chuàng)新為人民健康“保駕護(hù)航”

的意義.為促進(jìn)科技創(chuàng)新，某醫(yī)學(xué)影像設(shè)備設(shè)計(jì)公司決定將在2022年對研發(fā)新產(chǎn)品團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方

案如下：獎(jiǎng)金）'（單位：萬元）隨收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過90萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金

不超過收益的20%,預(yù)計(jì)收益xe[36,9（X）].

（1）分別判斷以下三個(gè)函數(shù)模型：F=L006、），=31n.r+4,），=6,能否符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求，并說明理

由；（參考數(shù)據(jù)：1.OO6750?88.81.1.OO6760?94.29,In36?3.58,ln900?6.80）

（2）已知函數(shù)模型y=10符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題

例19.（2023?浙江省衢州第三中學(xué)高一階段練習(xí)）今年的新冠肺炎疫情是21世紀(jì)以來規(guī)模最大的突發(fā)公共

衛(wèi)生事件，疫情早期，武漢成為疫情重災(zāi)區(qū)，據(jù)了解，為了最大限度保障人民群眾的生命安全，現(xiàn)需要按

照要求建造隔離病房和藥物倉庫.已知建造隔離病房的所有費(fèi)用川（萬元）和病房與藥物倉庫的距離x（千

米）的關(guān)系為：卬=/7（0<%48）.若距離為1千米時(shí)，隔離病房建造費(fèi)用為100萬元.為了方便，隔離病

房與藥物倉庫之間還需修建一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路面每公里成本為6萬元，設(shè)

/（無）為建造病房與修路費(fèi)用之和，

⑴求/"）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)隔離病房與藥物倉庫距離多遠(yuǎn)時(shí)，可使得總費(fèi)用/（x）最??？并求出最小值.

例20.（2023?遼寧?沈陽市遼中區(qū)第二高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8

萬件.

（1）據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商

品每件定價(jià)最多為多少元？

（2）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并

提高定價(jià)到x元，公司擬投入;（f-400）萬元作為技改費(fèi)用，投入60+：x萬元作為宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該

JJ

商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求

出此時(shí)每件商品的定價(jià).

例21.（2023?黑龍江?哈師大附中高一階段練習(xí)）前一階段，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市

陸續(xù)發(fā)出“十?期間非必要不返鄉(xiāng)”的倡議.為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府

積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在十一期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn).為此，該地政府決

定為當(dāng)?shù)厝似髽I(yè)十一期間加班追產(chǎn)提供10D（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼.人企業(yè)在收到政府'（萬元）補(bǔ)

貼后，產(chǎn)量將增加到，=（x+2）（萬件）.同時(shí)A企業(yè)生產(chǎn),（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（力+，+2.（

（萬元），并以每件（6+邛）元的，介格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注；收益=銷售金額?政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本

⑴求A企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益R（x）（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼》（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，A企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？

變式9.（2023?山東省青島第五十八中學(xué)而一期中）2022年第12號(hào)強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“梅花”9月8日自在西北太平洋

洋而生成，至9月16日減弱為溫帶氣旋停止編號(hào)，共歷時(shí)8天：期間4次登錄我國東部沿海。9月14口

20時(shí)30分前后，在我國浙江省舟山普陀沿海首次登陸，登陸時(shí)中心附近最大風(fēng)力14級(jí)，9月16日0時(shí)

左右在山東省青島市嶗山區(qū)沿海第三次登陸，臺(tái)風(fēng)過境時(shí)帶來的狂風(fēng)暴雨天氣，造成了人民生命、財(cái)產(chǎn)的

巨大損失，受災(zāi)民眾不懼困難，眾志成城，積極開展抗災(zāi)、救災(zāi)，守護(hù)自己的美麗家園。某地受其影響普

降暴雨，一大型堤壩發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有300m2的壩面滲水，經(jīng)測算，壩面每平方米發(fā)生滲水

現(xiàn)象的直接經(jīng)濟(jì)損失約為30（）元，且滲水面積以每天6m2的速度擴(kuò)散.當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門在發(fā)現(xiàn)的同時(shí)立即組

織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積3m2,該部門需支出服裝補(bǔ)貼費(fèi)為每人

600元，勞務(wù)費(fèi)及耗材費(fèi)為每人每天300元.若安排x名人員參與搶修，需要k天完成搶修工作.

（1）寫出2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）應(yīng)安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小.（總損失=因滲水造成的直接損失+部門的各項(xiàng)支出

費(fèi)用）

變式10.（2023?寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量工件

（XGN-）與貨價(jià)〃元/件之間的關(guān)系為〃=160-2X,生產(chǎn)x件所需成本為C=5（X）+30x元.

（1）若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？

（2）若該廠口獲利不少于1300元，求該廠口產(chǎn)量的取值范圍.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染

數(shù).當(dāng)基本傳染數(shù)高于I時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長.當(dāng)基

本傳染數(shù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散.而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑.假設(shè)某種傳染

病的基本傳染數(shù)為凡，I個(gè)感染者平均會(huì)接觸到N個(gè)新人（M.凡），這N人中有V個(gè)人接種過疫苗（（稱

為接種率），那么1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)為2（N-V）.已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)

凡=log*（4忘）,為了使1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)不超過1.該地疫苗的接種率至少為（）

A.60%B.70%C.80%D.90%

2.（2023?云南?高一階段練習(xí)）某農(nóng)家院有客房20間，R常每間客房FI租金為100元，每天都客滿.該農(nóng)

家院欲重新裝修提高檔次，并提高租金，經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加107匕，每天客房的出租間

數(shù)就會(huì)減少1,則該農(nóng)家院重新裝修后，每天客房的租金總收入最高為（）

A.2250元B.2300元C.2350元D.2400元

3.（2023?甘肅?天水市第一中學(xué)高一開學(xué)考試）一件工藝品的進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)135元出售，每天可售出

100件，根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)，一件工藝品每降價(jià)1元，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，則每件

需降價(jià)（）

A.3.6元B.5元C.10元D.12元

4.（2023?四川省德陽中學(xué)校高一階段練習(xí)）我們通常以分貝（dB）為單位來表示聲音大小的等級(jí)，30~40

分貝為安靜環(huán)境，超過50分貝將對人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會(huì)嚴(yán)重影響聽力且會(huì)引起神經(jīng)衰弱等

疾病.如果強(qiáng)度為妙的聲音對應(yīng)的分貝數(shù)為/（v）dB,那么滿足：/（v）=IOxlg—^―.若在地鐵中多人

1X1U

外放電子設(shè)備加上行車噪音，車廂內(nèi)的聲音的分貝能達(dá)到90dB,則90dB的聲音與50dB的聲音他度之比為

（）

A.40B.10（）C.40000D.10000

5.（2023?全國?高一單元測試）2004年中國探月工程正式立項(xiàng)，從嫦娥一號(hào)升空，到嫦娥五號(hào)攜月壤返

回，中國人一步一步將“上九天攬?jiān)隆钡纳裨捵優(yōu)楝F(xiàn)實(shí).月球距離地球約38萬千米有人說，在理想狀態(tài)下，

若將一張厚度約為01亳米的紙對折〃次，其厚度就可以超過月球距離地球的距離.那么至少對折的次數(shù)〃

是（參考數(shù)據(jù)：lg2Po.3,怛3.8之0.6）（）

A.40B.41C.42D.43

6.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)必=2',%=/，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確

的是（）

A.在［4,內(nèi)）上，隨著x的逐漸增大，兌增長速度越來越快于以

B.在［4,y）上，隨著工的逐漸增大，力增長速度越來越快于X

C.當(dāng)xe（0,*。）時(shí)，M的增長速度一直快于以

D.當(dāng)時(shí),

7.（2023?全國?高一單元測試）春天是一個(gè)美麗、神奇，充滿希望的季節(jié)，我們每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)保持像春天一

樣朝氣蓬勃的生命力，去創(chuàng)造屬于我們自己的美好生活.隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁

葉茂，已知每經(jīng)過一天的生長，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的＜倍，若荷葉2（）天可以完全長滿池塘水

面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面枳一半時(shí)，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)愴2=0.3）（）

A.17天B.15天C.12天D.10天

8.（2023?貢州?遵義四中高一期末）為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，遵義市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，下表是

2021—2022年遵義市每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系表.假設(shè)居住在遵義市的艾世宗一家2021

年共繳納的水費(fèi)為1008元，則艾世宗一家2021年共用水（）

分檔戶年用水量八一綜合用水單價(jià)/（元/m'）

第一階梯0~216（含）2.80

第二階梯216~288（含）4.20

第三階梯288以上8.40

A.299m3B.300m3C.301m3D.302m3

二、多選題

9.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積），（單位：nf）與時(shí)間/（單

B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過30m2

C.浮萍的面積從4m2蔓延到12m?需要經(jīng)過L5個(gè)月

D.浮萍每月增加的面積都相等

10.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）某校學(xué)生在研究折紙?jiān)囼?yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對折后紙張達(dá)到一定的厚度時(shí)，便不

能繼續(xù)對折了.在理想情況下，對折次數(shù)〃與紙的長邊長〃cm）和厚度Mem）滿足：紇根據(jù)以上

3x

信息，下列說法正確的是（參考數(shù)值：愴2。0.3,愴3=0.48）（）

A.當(dāng)對折4次時(shí)，強(qiáng)最小值為64

B.當(dāng)對折4次時(shí)，絲的最小值為32

X

C.一張長邊長為30cm,厚度為0.05cm的矩形紙最多能對折6次

D.一張長邊長為30cm,厚度為0.05cm的矩形紙最多能對折8次

11.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）某打車平臺(tái)欲對收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選

擇，其支付費(fèi)用），（單位：元）與打車?yán)锍坦ぃ▎挝唬簁m）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則（）

A.當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)，乘客選擇甲方案更省錢

B.當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可

C.打車?yán)锍淘?km以上時(shí)，每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多

D.甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，打車?yán)锍檀笥?km時(shí)每增加1km費(fèi)用增加0.7元

三、填空題

12.（2023?江蘇?贛榆智賢中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量x件（單位：件）（x

WN"）與貨價(jià)〃（單位：元/件）之間的關(guān)系為〃=160-2%，生產(chǎn)x件所需成本。=100+30］（單位：

元），當(dāng)工廠日獲利不少于1000元時(shí)，該廠日產(chǎn)量最少生產(chǎn)風(fēng)衣的件數(shù)是

13.（2023.全國?高一單元測試）某校食堂需定期購買大米.已知該食堂每天需用大米0.63每噸大米的價(jià)

格為6000元，大米的保管費(fèi)用z（單位：元）與購買天數(shù)單位：天）的關(guān)系為z=9Mx+l）

（xeN’），每次購買大米需支付其他固定費(fèi)用900元.若要使食堂平均每天所支付的總費(fèi)用最少，則食堂

應(yīng)_____天購買一次大米.

14.（2023?全國?高一單元測試）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的

A,8兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生

產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)A芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）成正比，已知投入

1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)8芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金X（千萬元）的

函數(shù)關(guān)系為y=L/（x＞。），其圖象如圖所示.現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時(shí)生產(chǎn)A,8兩種芯

片,則可以獲得的最大利潤是千萬元.（毛收入=營業(yè)收入一營業(yè)成本）

y/千萬元

四、解答題

15.(2023?四川,成都市新都香城中學(xué)高一階段練習(xí))某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測算，其

生產(chǎn)的總成本)'(萬元)與月產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系式為：)，=/_k+100,已知此生產(chǎn)線月產(chǎn)量最大

為20噸.

(1)求月產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；

(2)經(jīng)過評估，企業(yè)定價(jià)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為32萬元，且最大利潤不超過200萬元，由該生產(chǎn)線月產(chǎn)量的

最大值應(yīng)為多少？

16.(2023?浙江寧波?高一期中)因新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了提高

產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入成本50。萬元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前〃(〃eN')年的材

料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等成本共為201+10〃萬元，每年的銷售收入為26()萬元，設(shè)使用該設(shè)備前〃年

的總盈利額為/(〃)萬元.

(1)寫出/(〃)關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利？(利潤=銷售收入■總成本)

(2)向使用到第幾年末，年平均利潤最大，最大值為多少？

17.(2023?北京?牛欄山一中高一期中)某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作

地的平均時(shí)間，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)S中x%(0<x<100)的成

30,0VV30

員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位：分鐘)，/(A-)=J18001AA.而公交群體的人

2x+-----90,30<r<100

x

均通勤時(shí)間不受X影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:

(1)當(dāng)x=30時(shí)，求該地上班族S的人均通勤時(shí)間；

（2）當(dāng)％在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？

（3）求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g（x）的表達(dá)式；討論g（x）的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義.

18.（2023?江蘇?常州高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）近年來，某企業(yè)每年消耗電費(fèi)24萬元，為了節(jié)能減排，決定

安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入企業(yè)內(nèi)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的費(fèi)用（單位：萬元）與太

陽能電池板的面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.5,為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和

電能互補(bǔ)供電的模式，假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)C（單位：萬元）與安裝的這種太

陽能電池板的面積x（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系是（XN0,4為常數(shù)）.記〃（單位：

萬元）為該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與安裝后該企業(yè)15年內(nèi)共消耗的電費(fèi)之和.

（1）求左的值，并建立/關(guān)于4的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)/何值時(shí)，/取得最小值？最小值是多少萬元？

19.（2023?河南南陽?高一期中）為了激勵(lì)銷售人員的積極性，某企業(yè)根據(jù)業(yè)務(wù)員的銷售額發(fā)放獎(jiǎng)金（獎(jiǎng)金

和銷售額的單位都為十萬元），獎(jiǎng)金發(fā)放方案要求同時(shí)具備F列兩個(gè)條件：①獎(jiǎng)金/（“隨銷售額

x（2KxW8）的增加而增加；②獎(jiǎng)金金額不低于銷售額的5%.經(jīng)測算該企業(yè)決定采用函數(shù)模型

“力弋一三+"（〃"°'〃>°）作為獎(jiǎng)金發(fā)放方案.

（1）若機(jī)=3,〃=:，此獎(jiǎng)金發(fā)放方案是否滿足條件？并說明理由.

⑵若〃=；，要使獎(jiǎng)金發(fā)放方案滿足條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

微專題18函數(shù)的應(yīng)用

【方法技巧與總結(jié)】

知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型：y=kx+b（%,b為常數(shù),k/0）

2、二次函數(shù)模型：產(chǎn)爾+法+c為常數(shù)，。工0）

3、指數(shù)函數(shù)模型：y=bax+c（a,力,c為常數(shù)，力工0,a>0且。工1）

4、對數(shù)函數(shù)模型：）,=〃HogaX+〃（孫a,〃為常數(shù)，"?工0,a>0且a/1）

5、哥函數(shù)模型：y=axn-vh（a/為常數(shù)，。工0）

6、分段函數(shù)模型：尸化+寧<機(jī)

ex+d.x>m

知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟

1、解應(yīng)用題的基本思想

明確題意，找出題設(shè)馬

結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系T量

關(guān)系或空間位置關(guān)系

2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟

求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：

第一步：審題

弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

第二步：建模

在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意：列出數(shù)量關(guān)系，建立.函數(shù)模型.這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符

合實(shí)際問題的要求.

第三步：求模

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果.

第四步：還原

把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判,

使其符合實(shí)際背景.

上述四步可概括為以下流程：

實(shí)際問題（文字語言）=數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）=＞建模（數(shù)學(xué)語言）=＞求

模（求解數(shù)學(xué)問題）=＞反饋（還原成實(shí)際問題的解答）.

【題型歸納目錄】

題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型

題型二：二次函數(shù)模型

題型三：分段函數(shù)模型

題型四：分式型函數(shù)模型

題型五：對數(shù)函數(shù)模型

題型六：募函數(shù)模型

題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【典型例題】

題型一：兒類不同增長的函數(shù)模型

例L（2023?峽西?榆林市第十中學(xué)高?期中）某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場

調(diào)查，得到西紅柿種植成本。（單位：元/100kg）與上市時(shí)間/（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間/50120150

種植成本Q26(H)5002600

由表知，體現(xiàn)。與，數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（）

A.Q=at+bB.Q=ar+bt+c

C.Q=atD.Q=Hog/

答案：B

【解析】由提供的數(shù)據(jù)知，描述西紅柿種植成本。與.上市時(shí)間，的變化關(guān)系函數(shù)不可能是

常數(shù)函數(shù)，

也不是單調(diào)函數(shù)；而A,C,D對應(yīng)的函數(shù)，在。工0時(shí)，均為單調(diào)函數(shù)，

這與表格提供的數(shù)據(jù)不吻合，所以，選取B，

故選:B.

例2.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)變量，，力，X隨變量％的變化數(shù)據(jù)如下表：

X12468?..

,241664256???

力14163664???

0122.5853???

則反映X，%，X隨X變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（）

2v2

A.=x,y2=2,y3=log,xB.y（=2',y2=x,y3=log,x

2A2

C..v,=log,x,y2=x,=2D.y】=2',y2=log,x,=x

答案：B

【解析】從題表可以看出，三個(gè)變最凹，力,為都隨1的增大而增大，但是增長速度不

同，其中變最X的增長呈指數(shù)函數(shù)型變化，變最力的增長呈基函數(shù)型變化，變量丹的增長

呈對數(shù)函數(shù)型變化.

此外，也可以使用第五組數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)得到答案.

故選：B.

例3.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，當(dāng)x很大時(shí)，隨x的增大而增大速度最快

的是（）

A.3J=—evB.y=IOOlnxC.y=10（）xD.y=100-2"

100'

答案：A

【解析】由題意，當(dāng)％很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長速度大于一次函數(shù)的增長速度，一次函數(shù)的

增長速度大于對數(shù)函數(shù)的增長速度，又e>2,所以當(dāng)x很大時(shí)，了隨工的增大而增大速度

最快的是），=心。二

故選：A

變式1.（2023?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下面對函數(shù)/（幻=唳廣，g（"）=