專題3.5函數(shù)性質(zhì)及其應用大題專項訓練【六大題型】

【人教A版(2019)]

姓名：班級：考號：

題型一利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式OI

I.(2023春?甘肅白銀?高二?？计谀?若定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足/(2—幻=/(幻，當xe[0用時，fM=

X2-2X.

⑴求/(2021)的值；

(2)當工￡[3,4]時，求函數(shù)f(x)的表達式.

2.(2023春?浙江寧波?高二?？计谥?設f。)是定義在R上的偶函數(shù)，且當xZ0時，/(x)=x2-2-x.

⑴求/(%)的解析式；

(2)若'=3”是"/(2x-t)>(的充分條件，求實數(shù)￡的取值范圍.

3.(2023?高一課時練習)已知/(%)=或惠n(―1WXW1)為奇函數(shù).

⑴求。的值；

(2)試判斷〃%)的單調(diào)性；

(3)試求/(%)的值域.

4.(2023?高一課時練習)己知/Xx)是定義在R上的奇函數(shù)，當k二0時，f(x)=x2-x.

(1)求八%)的解析式:

(2)若方程/(%)=k有3個不同的解，求k的取值范圍.

5.(2023?全國?高三對口高考)設/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)%,恒有/(》+2)=-/(%).當

%W［0,2］時，/(x)=2x—x2.

⑴求證：/(用是周期函數(shù);

(2)當％W［2,4］時,求/(%)的解析式;

(3)計算f(0)+/⑴+”2)+…+/Q011).

題型二「I」用函數(shù)的性質(zhì)求最值O|

6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/。)對于任意％yWR,總有/a)+/(y)=f(%+y),且X>0時,

/W<S

⑴求證:/(%)在R上是奇函數(shù);

⑵求證：/(%)在R上是減函數(shù)；

(3)若〃1)=-p求f(x)在區(qū)間［-3,3］上的最大值和最小值.

7.(2023?全國?高一假期作業(yè))已知函數(shù)、=ax?-2ax+1+Z?(a>0).

(1)若a=b=l,求y在［￡,t+1］上的最大值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［2,4］上的最大值為9,最小值為1,求實數(shù)a,力的值.

8.(2023春?安徽合肥?高一?？茧A段練習)已知函數(shù)y=fW(xeR)是偶函數(shù).當》＞0時，f(x)=x2-2x.

⑴求函數(shù)外幻的解析式；

(2)設g(x)=-/(幻+1,求g(幻在區(qū)間［a,2］上的最大值，其中a＞一1.

9.(2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學業(yè)考試〉已知函數(shù)〃切=x2+a|x十1|.

(1)當a＞2時，判斷/(%)在R上的單調(diào)性；

(2)記/(%)在R上的最小值為g(a)，寫出g(a)的表達式并求g(a)的最大值.

10.(2023春?江蘇南京?高二校考階段練習)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5,函數(shù)

y=f(x)(-14x41)是奇函數(shù)，又知y=/?(%)在［0,1］上是一次函數(shù)，在［1,4］上是二次函數(shù)，且在％=2時

函數(shù)取得最小值-5,

(1)求f(l)+f(4)的值；

(2)求y=/(x),xe［1,4］上的解析式；

⑶求y=/(幻在［4,9］上的解析式，并求函數(shù)y=/(x)的最大值與最小值.

題型三利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小

11.(2023?高一課時練習)己知函數(shù)/(x)在口,+8)上為增函數(shù)，對任意xeR均滿足：①/'(1+x)=/(I一x),

②為<0,%2>。且與+x2<-2.試比較/(一必)與f(一犯)的大小關系.

12.(2022.全國?高一專題練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%)滿足/(nm)=/(m)+/(九)(w，n>0),且當

x>1時，/(%)>0.

(1)求證：/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(2)若/(2)=1,解不等式f(%+2)-/(2x)>2：

⑶比較f(等)與y儂的大小.

13.(2022秋?海南?？?高一校考期中)函數(shù)/(x)=/+：(%>0).

⑴判斷并用定義證明函數(shù)/(、)在(0,1)上的單調(diào)性：

(2)若%2>X1>0,+%2=2,求證：/(%1)>/(%2)；

(3)若f(%i)=f(%2)，且叼HX2?求證:%]+/2>2.

14.(2022秋?福建福州?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=/+：.

⑴求川)，貝2)的值;

(2)設試比較/(a),f(b)的大小，并說明理由：

(3)若關于x的不等式/(x-1)>2(x-1)4-^-+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

15.(2022?高一課時練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%),滿足/Xmn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且當％>1

時，/(x)>0.

(1)求”1)的值.

⑵求證：f=/(m)-f(n).

(3)求證：/(%)在(0,+8)上是增函數(shù).

(4)若f(2)=1,解不等式/'(%+2)-f(2x)>2.

(5)比較/(等)與塔儂的大小.

題型四利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式

16.(2022秋?重慶?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(切是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，當0cxM3時,/(幻=,/+

X.

⑴求

(2)求函數(shù)f(x)的解析式.

(3)若/(3Q+1)4-/(2a-l)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

17.(2023?全國?高三專題練習)己知y=/(x)是定義在區(qū)間［-2,2］上的偶函數(shù)，其部分圖像如圖所示.

y

(i)求/(一1)的值；

(2)補全y=/(幻的圖像，并寫出不等式/(幻>1的解集.

18.(2023秋?黑龍江佳木斯?高一校考期末)已知函數(shù)/(%)=舒是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且/(：)=-|.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷/(%)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

⑶解不等式/。-1)+fQ)V0.

19.(2022秋?黑龍江七臺河?高一校考期中)定義在(一1,1)上的函數(shù)外幻滿足：對任意的4,yw(-1,1),都

有/⑺+/(7)=/(急)，當工€(-1,0)，/(%)>0.

(1)求證：函數(shù)/(均是奇函數(shù)；

(2)求證：/(%)在(一1,1)上是減函數(shù)；

(3)解不等式：Kx+l)+/(^)>0；

20.(2023秋?四川成都?高一?？计谀?定義在區(qū)間。={x\x*0}上的函數(shù)/(無),對G0都有/'(ab)=

/(a)+/(b),且當X>1時,/(x)>0.

⑴判斷/(%)的奇偶性，并證明;

(2)判斷f(%)在(0,+8)上的單調(diào)性，并證明;

(3)若/'(2)=3,求滿足不等式/'(3m+2)+/(m-1)-3<0的實數(shù)m的取值范圍.

題型五、利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題

21.(2023?黑龍江佳木斯??？寄M預測)已知/(外=空券上是定義在［-2,2］上的函數(shù)，若滿足/(無)+

/(-x)=。且/⑴=I

⑴求/(外的解析式；

(2)設函數(shù)g(x)=x2-2mx+4(meR),若對任意卬七e口,2］,都有g(M)<。的)恒成立,求m的取值范

圍.

22.(2023春?貴州黔東南?高一校考階段練習)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當％N0時，/(x)=

ax24-x+a—1.

(1)求函數(shù)/(切的解析式.

(2)若對任意的［0,2］,/(根+￡)+/(2/-3。>0恒成立，求m的取值范圍.

23.(2023秋,江蘇揚州?高一?？茧A段練習)已知函數(shù)y=/'(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當4>0時，/(x)=

-x-4-ax.

(1)當。=-2時，求/'(x)的解析式；

(2)若函數(shù)f(%)在［0,+8)上單調(diào)遞減.

①求4的取值范圍；

(ii)實數(shù)mW/'(m-1)+/(m?+t)<0恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

24.(2023春?湖北宜昌?高一?？茧A段練習)已知函數(shù)/(%)=立二.

(1)若g(%)=/(%)-2,判斷g(x)的奇偶性(不用證明).

(2)當a=：時，先用定義法證明函數(shù)/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞增，再求函數(shù)/"(%)在［1,+8)上的最小值.

(3)若對任意工￡口,+8),/(W〉。恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

25.(2023春?浙江寧波?高二校考期中)已知/(幻="潦上是定義在［-2,2］上的函數(shù)，若滿足/(%)+f(r)=

0且-1)=之

(1)求/(%)的解析式；

⑵判斷函數(shù)/(外在［—2,2］上的單調(diào)性(不用證明)，并求使/(2￡+1)+/(~-1)V0成立的實數(shù)r的取值范

圍；

(3)設函數(shù)g(x)=x2-2mx+4(mGR),若對任意修，上e［1,2］,都有。(國)<f(%i)恒成立,求m的取值范

圍.

題型六k利用函數(shù)的性質(zhì)解決有解問題

26.(2022秋.湖北荊州?高一校聯(lián)考期末)定義域為［-2,2］的奇函數(shù)八%)滿足,當工€(0,2)時，/(%)=

(x2-x,xe(0,1］,

{X—1,XE(1,2］.

(1)求f(x)的值域:

(2)若X6［-2,0］時J(x)>t2-2有解，求實數(shù)t的取值范圍.

27.(2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)y=f(x)的表達式/&)=%+:+2(m為實數(shù)).

(1)函數(shù)y=f(尤)在區(qū)間［2,十8)上是嚴格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)7n的取值范圍;

(2)設m<0,若不等式/(%)<kx在xG區(qū)1］上有解，求k的取值范圍.

28.(2023春?上海寶山?高一?？茧A段練習)已知定義域為R的函數(shù)/。)=裝一是奇函數(shù).

⑴求a的值；

(2)判斷/(%)的單調(diào)性，并證明；

(3)若關于m的不等式/(-2m'2+3m-4)+f(m2-2mt)<0在me［1,3］上有解，求實數(shù)i的取值范圍.

29.(2022秋?山東泰安?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(%)是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，當x<0時，/(x)=/

%+1.

(1)當%>0時，解不等式2/+(3-0%+1-k</(x)<k(x+1)+l(keR)；

(2)不等式/(/+1)-m/+1一mn0在［0,網(wǎng)上有解，求實數(shù)m的取值范圍.

30.(2022秋?山東青島?高一校考期中)已知函數(shù)危)對任意m,n￡R,總有f(m+n)=f(7n)+f(n)成立,

且對任意實數(shù)￥>0,總有/(幻>0.

(1)求/(0),并分析判斷人外在R上的單調(diào)性；

(2)若WxE(l,+oo),不等式f(Q—3x)+/?(%F—％)NO總有解，求實數(shù)。的取值范圍.

專題3.5函數(shù)性質(zhì)及其應用大題專項訓練【六大題型】

【人教A版(2019)]

姓名：班級：考號：

題型一利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式。|

I.(2023春?甘肅白銀?高二?？计谀?若定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足/(2—幻=/(幻，當xe[0用時，f(x)=

X2-2X.

⑴求/(2021)的值；

(2)當工￡[3,4]時，求函數(shù)f(x)的表達式.

【解題思路】(1)由題可得/'(4+x)=f(x),再結(jié)合條件可求；

(2)由題可求當％W時，/(%)=-%2-2x,再結(jié)合函數(shù)的周期性即求.

【解答過程】(1)???定義在R上的奇函數(shù)f(%)滿足/'(2-％)=/(%),

???/(r)=f(2+x)=/(-x)=-/(x),

??./(4+x)=/(x),即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又x6[0,1]時/(工)=X2—2x,

/,/(2021)=/(4X505+1)=/(I)=1-2=-1,

(2)???當%￡[0,1]時f(%)=7―2%,

.?.當x6[—1,0]時，-x￡[0,l],

.*./(%)=—/(-%)=—[(—x)2—2(—%)]=—x2—2x,

???當％W[3,4]時，x-4e[-1,0],

/./(x)=/(x—4)=—(x-4)2—2(x—4)=-x2+6x—8.

2.(2023春?浙江寧波?高二?？计谥?設/'(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當xNO時，/(X)=x2-2-x.

⑴求/(%)的解析式;

(2)若'=3”是"/(2x-t)>針的充分條件，求實數(shù)￡的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)求解解析式即可；

(2)根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單i周性解不等式/(2%-￡)然后結(jié)合充分條件列出關自的不等式求解即

可.

【解答過程】(1)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，則/■(%)=/'(-幻，

當天<0時，—%>0,則f(%)=x)=(—*)2-2x=x2-2X,

所以八―建制

(2)因為y=/與y=-2一在0+8)上單調(diào)遞增，所以/?(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又因為/?(%)為偶函數(shù)，所以/'(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

不等式f(2x-t)>f(l)等價于|2z-t|>1,故%>詈或％V號，

由題意3>與^或3<所以t6(—8,5)U(7,4-co).

3.(2023?高一課時練習)已知/(幻=二：：；+1(-1工一41)為奇函數(shù).

⑴求a,b的值;

(2)試判斷/(幻的單調(diào)性;

(3)試求/(%)的值域.

【解題思路】⑴由/'(0)=0求出。的值，/'(-1)=-/■(1)，求出人的值；

(2)八乃在［-1,1］上是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明;

(3)由九%)=品在［-1,1］上是增函數(shù),即可求出/"(X)min=/(-l)，fQ)max=/(l)即可求出/(%)的值域?

【解答過程】(1)因為/■(%)的定義域為所以/■(Ojn/nO,則a=0,

又因為/(一1)=言，/1)二六,所以言=一系,

所以2-6=2+匕，所以b=0,經(jīng)檢驗符合題意

(2)由(1)知：/(x)=^(-l<x<l).

任?。，%2W且％1<則

必(石+1)-必(處+】).(XL2)11-X1X2)/n

1^2)-(好+1)(好+1)-(好+1)仁+1)<u，

XlfX2G［-1,1］,X1-x2<0,1-XxX2>0

14-Xi>0,1+%2>所以/(與)<f(無2)

所以f(均在上是增函數(shù).

(3)由(2)知：f(x)=島在上是增函數(shù)，

所以/(x)min=f(T)=言=一5

/Wmax=fW=W.故求/。)的值域為卜詞.

4.(2023?高一課時練習)已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當xNO時，/(x)=x2-x.

(1)求/。)的解析式:

⑵若方程/(x)=k有3個不同的解，求k的取值范圍.

【解題思路】(1)利用奇函數(shù)定義求出0時的/(x)的解析式即可.

(2)分析函數(shù)/lx)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求出K的范圍作答.

【解答過程】(1)函數(shù)/'(%)是R上的奇函數(shù)，且v20時，fM=x2-x,

則當為<0時,-X>0?/(x)=—/(—x)=-［(-%)2-(-x)］=-x2-x,

所以/(%)的解析式為/'(%)=｛爹.

(2)由(1)知，當x<0時，/-(r)=-(x+1)2+i,函數(shù)/?(%)在(一8,-3上遞增，函數(shù)值集合為(一8,3,

在［-；,0)上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為(0,勺，

當;tN0時，/(x)=(x-1)2-i,函數(shù)/(%)在［0*］上遞減，函數(shù)值集合為［一;,0］,

在E，+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為［一：,+8),

在同一坐標系內(nèi)作出直線y=上和函數(shù)y=/'(%)的圖象，如圖，

觀察圖象知，方程八>)一上有3個不同的解，實數(shù)上的取值范圍是一!<〃<：.

44

5.(2023?全國?高三對口高考)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有fa+2)=—/(x).當

%￡［0,2］時，/(%)=2%—%2.

⑴求證:/(%)是周期函數(shù);

(2)當％W[2,4]時，求f(x)的解析式;

(3)計算/(0)+/(I)+/(2)+-??+/(2011).

【解題思路】(1)把％+2看成一個整體證明FG+4)=/(%)即可;

(2)當,W［2,4］時，可得出0工4一2W2,再由/(%)=-/(%-2)可求得函數(shù)/(%)在［2,4］上的解析式；

(3)計算出/?(1)、/(2)、/(3)、/(4)的值，再利用函數(shù)/(%)的周期性可求得“0)+/(1)+/(2)+-+八2011)

的值.

【解答過程】(1)證明：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)”,/(X4-2)=-/?,

則/G+4)=-f(x+2)=/(%),所以函數(shù)“)是周期為4的周期函數(shù).

(2)解：當x€［2,4］時，0<x-2<2,

此時，fM=-f(x-2)=-［2(x-2)-(x-2尸］=x2-6x+8.

(3)解：因為當xW［0,2］時,f(x)=2x-x2；當％W［2,4］時，f(%)=/-6%+8,

所以，/-(1)=2-1=1,/(2)=22-22=0,/(3)=32-6x3+8=-1,/(4)=42-6x4+8=0,

因為2011=4x502+3,

所以，/(I)十/(2)十…十f(2011)=503x［/(I)十/(2)十/(3)十/(4)］-f(4)

=503x(1+0-1+0)-0=0.

題型二，卜利用函數(shù)的性質(zhì)求最值O|

6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)對于任意匕yER,總有/(x)+/(y)=/(x+y),且x>0時，

/W<o.

⑴求證：/(外在R上是奇函數(shù)：

(2)求證：/(%)在1<上是減函數(shù)：

(3)若/(I)=一j求/?(%)在區(qū)間［-3,3］上的最大值和最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)條件，通過賦值得到/(())=0,再令y=-%即可證明結(jié)果；

(2)利用(1)中結(jié)果和條件/(々)一〃%2)=/(打一小)<0,再利用單調(diào)性的定義即可證明結(jié)果;

(3)利用(2)中結(jié)果,得到/(%)在［-3,3］上也是減函數(shù)，再利用單調(diào)性和條件即可求出結(jié)果.

【解答過程】(I)因為函數(shù)/Xx)時于任意匕yWR,總有f(x)十=+y),

令x=y=0,得/(0)=0,

令丁=-x,得f(%)+/(-%)=/(0)=0,即/(一%)=-/(x),

所以/(x)在R上是奇函數(shù).

(2)在R上任取%1>x2,

則均一小>0，又因為fQi)-/(x2)=fM+f(f)=fgf)，

因為％>0時,/-(%)<0,所以/(/一12)<0,得到/(%)</(■)，

所以/(%)在R上是減函數(shù).

(3)因為"%)是R上的減函數(shù),

所以/(%)在［一3,3］上也是減函數(shù)，

所以f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分別為，(-3)和/⑶，

而"3)=3/(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2,

所以f(x)在［-3,3］上的最大值為2,最小值為-2.

7.(2023?全國?高一假期作業(yè))已知函數(shù)、=ax?一2a%+1+趴。>0).

(1)若。=力=1,求y在［t,t+1］上的最大值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［2,4］上的最大值為9,最小值為1,求實數(shù)公力的值.

【解題思路】(1)分tW；、兩種情況討論即可；

22

(2)可得函數(shù)在［2,4］上單調(diào)遞增，然后由條件可建立方程組求解.

【解答過程】(1)當Q=b=l時，函數(shù)化為y=%2一2%+2,其圖像的對稱軸為直線工=1,

而手=￡+%所以，

①當￡+即時，函數(shù)在％=￡時取得最大值/一22+2；

②當t+即時，函數(shù)在x=￡+l時取得最大值(￡+1)2—2?+1)+2=產(chǎn)+i,

綜上，當t號時，最大值為產(chǎn)-2t+2；珠冶時,最大值為嚴+1.

(2)因為函數(shù)的圖像開口向上，且對稱軸方程為x=lW［2,4］,所以函數(shù)在［2,4］上單調(diào)遞增，

所以當％=2時，y取得最小值b+1；當％=4時，y取得最大值16a-8a+l+b=8a+l+b.

由題意，可得bMKL,解得｛；：；,

8.(2023春?安徽合肥?高一?？茧A段練習)已知函數(shù)y=/(x)(xGR)是偶函數(shù).當x>0時，f(x)=x2-2x.

⑴求函數(shù)/(幻的解析式；

⑵設g(x)=-/(x)+1,求g(x)在區(qū)間［a,a+2］上的最大值，其中Q>-1.

【解題思路】(1)利用偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)/(%)在(0,+8)上的解析式，由此可得結(jié)論；

(2)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求g(x)的最值.

【解答過程】(1)因為函數(shù)、=f(x)(xWR)是偶函數(shù)，

所以當xv0時，f(x)=f(—x),-x>0,

又當%>0時，/(x)=x2—2x,

所以當％<0時,/(%)=(―%)2+2x=x2+2x,

所以函數(shù)/(幻的解析式為f(x)=K:，

X—ZX,X>U

(2)因為g(x)=-/"(%)+1,

所以當為<0時，g(x)=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,

當x>U時，g(x)=-x2+2x+1=一(x-I)24-2,

所以當義工一1時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當-lvxV0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當04x41時，函數(shù)g(%)單調(diào)遞增，

當％21時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當一lvaWl時，則。+2>1,

所以函數(shù)g(x)在［a,a+2］上的最大值為2,

當a>1時,函數(shù)gQ)在區(qū)間［a,a+2］上單調(diào)遞減,

所以當X=Q時，g(x)取最大值，最大值為g(a)=-必+2Q+1,

所以當a>一1時，g(x)在區(qū)間［a,a+2］上的最大值為g(a)=(<：與七］.

9.(2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學業(yè)考試)已知函數(shù)/(%)=/+a|x+1|.

(1)當a>2時，判斷f(x)在R上的單調(diào)性；

(2)記/(%)在R上的最小值為g(a)，寫出g(a)的表達式并求g(a)的最大值.

【解題思路】(1)討論分段函數(shù)中二次函數(shù)的對稱軸與-1的大小關系即可得到答案.

(2)分a<-2,-2<a<2和a>2討論即可.

(T)2-92x-~r

工北六二即用)=

【解答過程】(1)/(%)=

(%+丁-9+。，4>T

當a>2時，一￡<—1,>—1

則函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞減,在(一1,+8)上單調(diào)遞增,

x2-ax-a,x<-1

(2)aeR,/(X)=

x2+ax+a,x>-1

,<-1,即aV-2時，-]>1,

函數(shù)fCO在(一8黨)，(一1,一M上單調(diào)遞減,

在6，-1)，(一5，+8)上單調(diào)遞增，

=代)=_3+電/削代)，

???g(a)=/(-7)=_9+Q，

當算—1且.即_2Ma<2時，

函數(shù)/(%)在(-8,上單調(diào)遞減，在(一,+8)上單調(diào)遞增，

g(a)=/(-0=_?+%

當一B4一1,即QN2時，>—1,

函數(shù)/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(a)=f(-l)=J

綜上g(a)=卜:+卬Q<2,

I1a>2

當a<2時，g(a)=一：(a—2)2+1<1,

所以g(a)max=L

10.(2023春?江蘇南京?高二?？茧A段練習)已知函數(shù)y=/(乃是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5,函數(shù)

y=/(%)(一1工工工1)是奇函數(shù)，又知y=/(%)在［0,1］上是一次函數(shù)，在［1,4］上是二次函數(shù)，且在3=2時

函數(shù)取得最小值-5,

⑴求/(1)+/(4)的值；

(2)求y=/(%),x€［1,4］上的解析式;

(3)求y=/(%)在［4,9］上的解析式，并求函數(shù)y=/(x)的最大值與最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意得到f(4)=f(—l),又由y=f(幻是奇函數(shù),得到/(-1)=-f(1),即可求解;

(2)令f(%)=a(x-2)2-5,結(jié)合f(l)+f(4)=0,求得a=2,即可求解；.

(3)根據(jù)題意，令、=kx,(kH0,0W%W1),求得％E［-1,1］時，y=-3%，結(jié)合周期性，求得函數(shù)/(幻的

解析式，進而求得最值.

【解答過程】(1)解：函數(shù)y=/(%)是定義在R上的周期函數(shù)，且T=5,所以f(4)=/(-l),

而函數(shù)y=/(屈在區(qū)間［-1,1］上是奇函數(shù),所以/'(-I)=一/⑴，

所以/(1)+/(4)=0.

(2)解：由y=/(x)在［1,4］上是二次函數(shù)，且在％=2時函數(shù)取得最小值-5,

可設/(無)=。。一2)2-5,

因為/'(1)+/(4)=0,即Q—5+4a—5=0,可得Q=2,

所以/'(%)=2x2—8x4-3,x￡[1,4].

(3)解：函數(shù)y=/(%),工￡是奇函數(shù)，又知y=/(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，

令y=kx,(/c*0,0<x<1),

由(2)得：f(l)=—3,可得上二一3,所以當0WXW1H寸，y=-3x,

因為函數(shù)y=/(幻為奇函數(shù)，可得當[—1,1]時,y=-3x,

當44x46時，可得一14無一5￡1,所以/(第)=/(第一5)=-3x+15；

當6V%W9時，可得1V%-5W4,所以/(%)=/(%-5)=2(x-7)2-5,

所以函數(shù)/(%)=|2(%_7)2_5,%G(6,9]'

當X=4或％=9時，函數(shù)/(%)取得最大值/"COmax=fW=f(9)=3;

當x=7時,函數(shù)fG)取得最小值fCOmin=-5.

題型三>;利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小。I

II.(2023?高一課時練習)已知函數(shù)/(外在[1,+8)上為增函數(shù)，對任意XGR均滿足：①f(l+?=f(l-。

②看<0,x2>0且打+x2<-2.試比較/(一勺)與/(一無2)的大小關系.

【解題思路】由②知，-%1>小+2>2,即—巧,X2+2W[1,4-oo),利用單調(diào)性可得f(-%i)>f(x2+2),

由①得,f(x2+2)=/[I+(x2+1)]=/[I-(x2+1)]=/'(一繪)?從而可解.

【解答過程】由②知，一％I>%2+2>2,即一%I，%2+2E[1,+OO),

又/(%)在[1,+8)上為增函數(shù)，J./(一%1)>/(%2+2)，

又由①得，/(%2+2)=f[l+(x24-1)]=f[l-(x2+1)]=/(-X2)，

所以f(-xD>f(—N2)?

12.(2022?全國?高一專題練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%)滿足/'(nui)=f(m)+/5)(m,n>0),且當

x>I時，/(x)>0.

(I)求證：/(%)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(2)若/(2)=1,解不等式f(%+2)-f(2%)>2；

(3)比較/?(等)與'6)；”8的大小.

【解題思路】(1)抽象函數(shù)單調(diào)性證明，第一步定義域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步結(jié)論.

(2)抽象函數(shù)解不等式，利用定義的運算及函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可.

(3)利用函數(shù)性質(zhì)及基本不等式列式求解即可.

【解答過程】(1)

證明：設則至>1，>0,

必

/te)-fM=f管?不)一fM=崎〉0,即f(M)>/(%】)，

則/。)在(0,+8)為增函數(shù).

(2)

若/(2)=1,則/(2)+f(2)=/(4)=2,

則不等式f(%4-2)-f(2x)>2等價為f(%+2)-/(2x)>/(4)；

即"％+2)>)(2%)+f(4)=/(8x)；

x+2>0x>-2

則滿足｛2x>0,即｛%>?,解得x￡(0j).

x+2>8xx<-

(3)

因為/(噸)=/(m)+f(九)，所以/(等)+/(等)=f((等>)，

2/(等)=/((等>)3/((Vrnn)2)=f(mn)=f(m)+/(n),

I.“m+九)f(m)+f(7i)

,?八2),2?

13.(2022秋?海南?？?高一?？计谥?函數(shù)/(?=/+：(x>0).

⑴判斷并用定義證明函數(shù)/(x)在(0,1)上的單調(diào)性；

(2)若42>Xi>0,/+%2=2，求證：/(%!)>f(%2)：

(3)若/'(%])=f(%2)，且占*乂2,求證：Xi+x2>2.

【解題思路】(1)用定義證明.

(2)由已知尋找右、小、2-右的范圍，并比較2—Q與的大小，再利用(I)的單調(diào)性可得證.

(3)代入函數(shù)表達式整理/(勺)=/(&)，得無1+不=:一，再用基本不等式即可.

x\x2

【解答過程】(1)設0VX1<%2<1，則

/(”])-但)=(…)……2],

XlX2

,?,為1-%2V0，0<xr+x2<2,0<x1x2(^i+x2)<2,

+工2)—2V0,

.。1-%2)[必(2(*1+/2)-2]

>0，fg，

Xl*2

故/(x)在(0,1)上的單調(diào)減.

(2)x2>Xi>0,Xi+x2=2,

，2。V/+上=2,0<X1<1

2X2>%1+x2=2,1<x2<2,0<2—x2<1,

乂(2-x2)-x2=2-Zx2<0,2-x2<x2>

因為/(x)在(0,1)上的單調(diào)減，所以/'(%i)=/(2-&)>/(&)

⑶v/(%1)=/(%2)，

???￡+十一(域+￡)=0，(%-%2)(%1+工2-人)=0X1學％2,

22

'X1+X2

(X!十42尸>8,所以尤1+x2>2.

14.(2022秋?福建福州?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(%)=x2+-.

⑴求川)，42)的值;

(2)設。>方>1,試比較/(〃)，f(b)的大小，并說明理由;

(3)若關于x的不等式/(》-l)>2(x-l)+^+m恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【解題思路】(1)代值即可求解:

(2)采用作差法得/(QA/WuS-mU+b—S),分析正負即可判斷;

(3)將條件化簡得/一4%+3-znNO對一切工恒成立，即dWO恒成立，解不等式即可

【解答過程】(1)因為/(%)=/+3所以"1)=12+：=3,/(2)=22+1=5；

(2)/(a)>f(b),理由如下：.

f(a)-fW-a2+^-(b2一(a-b)(a+b-劫

因為Q>b>1,則Q+b>2,ab>1,所以—ab<2,即Q+匕—a—b>0,a-/)>0,

所以(a—b)(Q+匕一前>0,即f(a)>f(b)；

(3)因為函數(shù)/(%)=/則不等式可化為(％-1)2+六工2(%-1)+六+m,

化簡可得/-4x+3-771>0對一切X恒成立,

所以/=42—4x(3-m)40,解得m<-1

所以m的取值范圍為

15.(2022?高一課時練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%),滿足f(7nn)=f(m)+f(n)0nm>0),且當％>1

時，/(x)>0.

(1)求/'(1)的值.

⑵求證；fQ=/(m)-/(n).

(3)求證：/(乃在(0,+8)上是增函數(shù).

(4)若/'(2)=1,解不等式fa+2)-f(2x)>2.

(5)比較/(等)與塔改的大小.

【解題思路】(1)令m=〃=1,代入可求解；

(由加=巴?幾代入已知條件變形可得：

2)n

(3)由單調(diào)性定義證明；

(4)根據(jù)已知把不等式變?yōu)?。+2)>/(8為，再由單調(diào)性求解；

(5)由/(等)=4,(等)+/(等)]=：/((等))，然后比較/[(等)]與/'(nm)的大小即可.

【解答過程】(1)令巾=九=1,由條件得/(l)=/(l)+f(l)=/(l)=0.

⑵/(zn)=/-n)=

即/(；)=/⑺一"辦

(3)任取.,x2G(0,4-co),且X[V*2，則包>1.

由(2)得.f(%2)-f(%l)=f管)>0,即/(%2)>)(%])?

，/⑺在(0,+8)上是增函數(shù).

⑷V/(2)=l,/.2=/(2)+/(2)=/(4),

/Q+2)-/(2x)>2=/(%+2)>/(2x)+/(4)=f?+2)>/(8z).

又/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，???/：汶8冬

解得0<x<*

故不等式f(%+2)-/(2x)>2的解集為110cxe)

⑸?./(m)+/(n)_1

22/'(nm),

/（等）=汐段）+/（等）1=”（（等））

???（等）2一3二（陰，。,

，（笠9>77171（當且僅當m=九時取等號）.

乂/（X）在（U,+8）上是增函數(shù),

，/（（等）2）>f（E）.

.../(m+n),f(m)+/(n)

題型四用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式

16.（2022秋?重慶?高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)f（%）是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，當0V工33時,/⑴=|x2+

X.

⑴求

⑵求函數(shù)/（%）的解析式.

（3）若/（3Q+1）4-/（2a-1）>0,求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】（1）利用奇函數(shù)定義直接可得；

（2）設一3￡%VO,利用/（元）=一/（一%）=一：/+必可得解析式；

（3）利用函數(shù)的奇偶性，根據(jù)單調(diào)性可去掉符號，尸，再考慮到定義域即可求出。的范圍.

【解答過程】（1）因為/'（均為奇函數(shù)，則/（一1）=一/（1）=一6+1）=-:

（2）因為/（%）為奇函數(shù),/（0）=0,

設一3WxVO,WOO<-x<3,

則/（一切一“一其）2+（-x）-一招因為人>）為奇函數(shù)，則人力=-/（-x）=~^x2+x

^x2+x,0<x<3

0,x=0.

1一/2+%,-3<x<0

（3）當OV%W3時，/（x）=：/+%=1%+i）2一:為單調(diào)遞密函數(shù)，由奇函數(shù)可知/（%）是定義在［-3,

3］上的增函數(shù),

又:/?。+1)+/(2a-1)>0,.??/(3Q4-1)>-/(2a-1)=f(l-2a),

4,J

-3<3a+1<3-3-0-3

故有：一3W2a-1W3,則有-l<a<2f解得。<a<2|>

3a+1>1—2aa>0

所以實數(shù)a取值范圍是：OVQW：.

17.(2023?全國?高三專題練習)已知y=f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù)，其部分圖像如圖所示.

⑴求/(一1)的值；

(2)補全y=/(切的圖像，并寫出不等式/(外>1的解集.

【解題思路】(1)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算；

(2)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像計算.

【解答過程】(1)由圖可知，/(1)=1,

因為/(幻是偶函數(shù)，所以/(-1)=/(1)=1：

y=f(=的圖像如上圖,不等式/(%)>1的解集為U[1,2]；

綜上，r(-l)=1，〃幻之1的解集為「一2,-1]141,2].

18.(2023秋?黑龍江佳木斯?高一校考期末)已知函數(shù)/'(%)=2是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，且fG)=

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)判斷/(%)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論：

⑶解不等式/'Q-1)+/(￡)<0.

【解題思路】(1)由條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)列方程求即可：

(2)利用作差法及單調(diào)性的定義證明/(%)的單調(diào)性；

(3)結(jié)合奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)化簡不等式，解之即可.

【解答過程】(1)因為/'(%)是在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)，

所以/(0)=0,即6=0,則/(與:篇，

因為/(3=一~所以/(3=^；=>=一/解得。=一1,

當。=一1時，/■(%)=xe(-1,1),

所以對任意的％w(-1,1),/'(_%)=苔*=島=一/G),所以/(%)為奇函數(shù)，

故/(%)=一^7'x6(-1,1)；

(2)7?(X)=-島在(一1,1)為減函數(shù)，證明如下:

任取實數(shù)卬必e(-1,1)，且勺氣則/區(qū))-/0)=-器+泰7=溫/

因為-1<%<*2<1，所以％2-％1>。，-1<%62<1，故/不一1<0，

又*+1>0,^2+1>0

所以/(%2)-fGl)V。，即/(%2)</(*1)，

故函數(shù)/(%)=一品在(一1,1)上為減函數(shù)；

⑶因為/"(》)為奇函數(shù),

所以不等式;■(￡-1)+f(t)<0等價為f(t-1)V-/(t)=f(T),

又因為人幻在(-1,1)上是減函數(shù)，

f-1<t-1<1(0<t<2

所以-l<t<l，解得《一1<:<1,故；vt<l,

[t>\

所以原不等式的解集為{tLVtV1}.

19.(2022秋.黑龍江七臺河.高一?？计谥?定義在上的函數(shù)/(幻滿足：對任意的匕都

有/(%)+f8)=/■仔3)，當％6(T,0)，/W>0.

⑴求證：函數(shù)/'(幻是奇函數(shù)；

(2)求證：/(外在(一1,1)上是減函數(shù)；

(3)解不等式:f(%+D+f(±)>0;

【解題思路】(1)利用賦值法，結(jié)合奇偶性的定義即可求解,

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解，

(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.

【解答過程】(1)令x=y=O,則/(O)+f(O)=f(O),解得：/(0)=0：

令)，=-X,則/(%)+/(-x)=f(含)=/(0)=0,

???/(%)為定義在(-LD上的奇函數(shù).

(2)設一1V%1V%2<1,則一％2￡(一1，1)，???+/■(一％2)=/(^^)；

-1<<%<1,|無621<1，???1-xx>0,^^<0；

212l-X/2

又言…)=*]-42+1一必42(1+打)(1-必)>Q

lr/2

又當“€(—1,0)，/(幻>0,

1-XiM\1-

/(%1)+/(-X2)>0,即fGi)-/(x2)>0,f(x)在上是減函數(shù).

(3)由f(%+1)+f(士)〉0得：f(x+1)>-/(占)=f(占);

???/(無)定義域為(—1,1)且在(—1,1)上是減函數(shù)，

-1<x+l<1

-1<止7<1，解得：一2<%<-詫，.?.不等式的解集為(一2,-&).

1x+1<—X-1

20.(2023秋?四川成都?高一校考期末)定義在區(qū)間。=口忱H0｝上的函數(shù)/(%),對Va,匕G。都有f(ab)=

/(a)+/(b),且當％>1時,/(%)>0.

(1)判斷/(%)的奇偶性，并證明；

⑵判斷/(外在(0,+8)上的單調(diào)性，并證明；

(3)若/(2)=3,求滿足不等式/(3m+2)+/(7n-l)-3<0的實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(I)根據(jù)賦值,先求出-1),再求出再令Q=-l,b=%代入可得f(x)J(一無)，即可得奇偶性;

(2)先判斷出/(%)單調(diào)性，再根據(jù)單猬性的定義進行證明即可；

(3)先根據(jù)/(x)的定義將/(3m+2)+/(m-1)合并,再根據(jù)/(2)=3及單調(diào)性列出不等式，并注意定義域解出

即可.

【解答過程】(1)由題知/(%)為偶函數(shù)，證明如下：

不妨令a=b=1代入f(ab)=f(d)+/(b)可得/(I)=f(l)+/(I),

???fW=0，

令a=b=-1代入可得/'(1)=/(-I)+f(-1),

：?/(-l)=。，

令a=-l,b=%代入可得/'(-%)=/(-I)+f(x)=/(x),

???D={x|xH0},，外均為偶函數(shù)；

(2)f(幻在(0,+8)單調(diào)遞增，證明如下:

V%i，xW(0,+oo),Xi>X,???—>1,

22x2

???f3)-f(%2)=f(%2.勃一/fe)=/'(&)+f管)-f3)=f修),

噎

???/Ol)-f(X2)>0,

???，(元)在(0,十8)單調(diào)遞增；

(3)由題/'(3m+2)+f(m-1)-3<0,

???/((3m+2)(m-1))<3=f(2),

由⑵知/G)在(o,+8)單調(diào)遞增，

I(3m+2)(m-1)|<2(-2<(3m+2)(m-1)<2

所以3m+2芯0即3m+200,

m—10(m—10

解得me(-l,-|)U(~|,0)UQ,l)U

題型五』利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題

21.(2023?黑龍江佳木斯??？寄M預測)已知/(%)=當管是定義在[-2,2]上的函數(shù)，若滿足/(幻+

/(-X)=0且f⑴=%

⑴求f(x)的解析式；

(2)設函數(shù)g(%)=x2-2mx+4(mGR),若對任意無e[1,2],都有。(次)<恒成立,求心的取值范

圍.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得c=0,進而結(jié)合f(l)=押可求解,

(2)將問題轉(zhuǎn)化為g(%2)maxV/aimin，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可求解最值，或者利用對勾函數(shù)

的單調(diào)性求解.

【解答過程】(1)xe[-2,2],且/?(%)+/(-%)=0,所以/?(%)為奇函數(shù),

將％=0代入/■(%)+/■(-%)=0可得/(0)=0,即(=0,所以c=0,

2