解析幾何解答題

1、橢圓G：的兩個焦點為用、￡,短軸兩端點R、B2,已知

R、￡、Bl、Bz四點共圓，且點〃(0,3)到橢圓上的點最遠距離為5后.

(1)求此時橢圓G的方程；

(2)設(shè)斜率為k(kNO)的直線m及橢圓G相交于不同的兩點氏F,Q為歐的中點，

問反尸兩點能否關(guān)于過點P(0,4)、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍;

若不能，請說明理由.

2、已知雙曲線——/=］的左、右頂點分別為外4,動直線/：)，=版+〃?及圓/+)，2=］相切,

且及雙曲線左、右兩支的交點分別為),6(%,必).

(I)求人的取值范圍，并求馬-司的最小值；

(II)記直線［A的斜率為勺，直線鳥兒的斜率為心,那么，是定值嗎？證明你的結(jié)

論.

3、已知拋物線C:)，2=or的焦點為F,點K(-1,0)為直線/及拋物線C準線的交點，直線/及

拋物線C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D.

(1)求拋物線。的方程。

(2)證明：點F在直線BD上;

(3)設(shè)，求ABDK的面積。.

4、已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上，離心率為工，點p(2,3)、48在該

2

橢圓上，線段A5的中點7在直線OP上，且A、O、8三點不共線.

(I)求橢圓的方程及直線AB的斜率；

(II)求AP/W面積的最大值.

5、設(shè)橢圓的焦點分別為"(TO)、7s(1,0),直線/：x=a2

交x軸于點4,且";=2Ag.

(I)試求橢圓的方程；

(II)過6、入分別作互相垂直的兩直線及橢圓分別交于。、E、M、N四點(如圖

所示)，若四邊形OMEN的面積為上，求。E的

7

程.

6、已知拋物線P：石2py(p>0).

(I)若拋物線上點2)到焦點廠的距離為3.

(i)求拋物線尸的方程；

(ii)設(shè)拋物線P的準線及y軸的交點為E過￡作拋物線P的切線，求此切線方程;

(II)設(shè)過焦點尸的動直線1交拋物線于4H兩點，連接A。，8。并延長分別交拋物

線的準線于G〃兩點，求證：以切為直徑的圓過焦點反

7、在平面直角坐標系xO.v中，設(shè)點P(x,)，),M(x,-4),以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點0.

(I)求動點P的軌跡W的方程；

(II)過點20,-4)的直線/及軌跡卬交于兩點點A關(guān)于〉軸的對稱點為4,試判斷

直線45是否恒過一定點，并證明你的結(jié)論.

8、已知橢圓的離心率為羋，且橢圓上一點及橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角

形周長為6+4、歷.

(I)求橢圓M的方程；

(II)設(shè)直線/及橢圓M交于兩點，且以A8為直徑的圓過橢圓的右頂點C,

求AA8C面積的最大值.

9、過拋物線（：：），2=2*（〃>0）上一點加層〃）作傾斜角互補的兩條直線,分別及拋物線交于

A、B兩點。

（1）求證：直線AB的斜率為定值；

（2）已知兩點均在拋物線C：），2=2*（）￡0）上，若△MAN的面積的最大值為6,求拋

物線的方程。

10、已知橢圓的左焦點R-c,0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點,

過點F且不及y軸垂直的直線/交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為配附

(1)當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4,直線軸時，求KM2的值;

(2)求)：網(wǎng)的值。

11、在平面直角坐標系x"中，已知橢圓(a>8>0)的離心率為*,其焦點在圓V+六1

上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)小B,〃是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角3使

OM=cosOOA+sinOOB.

(i)求證：直線力及如的斜率之積為定值；

(ii)求曲2+組.

12、已知圓M:(x+G)2+)，2二至.的圓心為M,圓N：(X—/)2+),2=J_的圓心為N,一動圓及

1616

圓M內(nèi)切，及圓N外切。

(I)求動圓圓心夕的軌跡方程；

(II)(I)中軌跡上是否存在一點Q,使得NMQN為鈍角？若存在，求出Q點橫坐標的取

值范圍；若不存在，說明理由.

13、已知點/是橢圓的右焦點，點MQn,O)、N(0、〃)分別是工軸、)，軸上的動點，且滿

足加?標=0.若點P滿足麗=2麗+所.

(I)求點P的軌跡。的方程；

(II)設(shè)過點/任作一直線及點尸的軌跡交于A、B兩點,直線。A、。8及直線x=分

別交于點S、T(。為坐標原點)，試判斷空口是否為定值？若是，求出這個定值；若不

是，請說明理由.

14、在平面直角坐標系XO.V中，已知圓B:(x-l)2+y2=]6及點A(-1,0),P為圓B上的動點，

線段PA的垂直平分線交直線PB于點R,點R的軌跡記為曲線Co

(1)求曲線C的方程；

(2)曲線C及x軸正半軸交點記為Q,過原點0且不及X軸重合的直線及曲線C的交點

記為M,N,連結(jié)QM,QN,分別交直線戶”/為常數(shù)，且工工2)于點E,F,設(shè)E,F

的縱坐標分別為y,.yj求y%的值(用，表示)。

答案：

1、解：(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段片￡及線段8氏互相垂直平分，故橢圓中心即為該

四點外接圓的圓心..............1分

故該橢圓中叵b=V2c,即橢圓方程可為x2+2/=2b2......3分

設(shè)〃(x,y)為橢圓上一點,則

|例|2=—+(丫_3)2=-3+3)2+2/+18,其中一6114。..........4分

若0<〃v3,貝I]y=-〃時HN產(chǎn)有最大值〃*+6〃+9.............5分

由〃2+6〃+9=50得〃=-3±5五（舍去）（或b?+3b+9＜27,故無解）6分

若bN3,當(dāng)y=一如寸,|HN\2有最大值2從+18..............7分

由2萬+18=50得/=16,所求橢圓方程為..............8分

＜1）設(shè)E（X1，X）,尸（X2，為），。。0，%），則由兩式相減得

%+2ky（）=0……③又直線7L直線m,直線國方程為

將點0（%,比）代入上式得，……④..............11分

由③④得0（）...............12分

而。點必在橢圓內(nèi)部，

由此得公＜2,又女工0,..._媽＜攵＜0或0＜女＜叵，故當(dāng)

222

人（一券,0）50,孚）

22

時，E、尸兩點關(guān)于點〃、0的直線對稱14分

2、解：（I）???/及圓相切,:.m2=l+k2....①

22

由，得（\-k）x-2mkx-（nr+i）=0y

1-二wo

A=4nrk2+4(1-k2)(m2+1)=4(/n2+1-Z:2)=8>0,

nr+1八

x.-x=---<0

1一7k2-l

我2<I,7<A<1,故人的取值范圍為(-1,1).

r4_，上2mkr------------2拒2拒

由于％+/=—T：.X-X=,(玉+X)--4X,X=-r—=—r:0《&2Vl二.當(dāng)&2=0時,

I—K2112—K1—2K

%2-4取最小值2叵-6分

（H）由己知可得的坐標分別為（-1,（））,（1,0）,

k.k=——

12

X1+1-x2-IU.+Dte-l)

.om2+\,2mk

zk"?—：----ink-^：----Fm

kxyx2+mk{Xy+x2)+m~k?-l公]

nr+\2V2

F-lk2

nrk2+k2-2nrk2+irrk2-nv

m2+1-2a-42+]

-1

由①，得m2-k2=\,=—(3+25/2)為定{fi.12分

3-2V2

3、解：(1)y2=4x

設(shè)A(X1,y),3(/,%)，Q(M，-y),/的方程為工=勿，-1(〃7工0).

(2)將％=度-1代人V=4x并整理得y2-4my+4=0,

從而y+%=4〃z,y%=4.

直線8。的方程為丁_%=三斗心7,),

回]>一必=—-—?(a%令

y2f4

所以點尸(1,0)在直線ND上

2

(3)由①知，xi+x2=(/W1—1)+(wy2—1)=<1w—2

uuuu

芭&=(my_DQ22T)=1?因為胡=(內(nèi)一1，y)，F(xiàn)B=(x2-l,y2),

UUULI

FA?FB=(%)-1)(x2-1)+y]y2=x}x2-(x14-x2)+l+4=8-4〃，

故，解得

所以/的方程為3x+4y+3=0,3x-4y+3=0

又由①知故名=如耳?日弋

4、解：(I)設(shè)橢圓的方程為，

則，得儲=16,從=[2.

所以橢圓的方程為.3分

設(shè)直線AB的方程為>依題意可知直線的斜率存在）,

設(shè)A（x，y）,5（々,必），則由，得

(3+4公卜2十弘江+4/-48=()A>0得b?v12+16k?

，設(shè)?。?％）

與=_劣'%=*'易知此"°,

由0T及0P斜率相等可得，即，

所以橢圓的方程為，直線AB的斜率為-................6分

2

（II）設(shè)直線AB的方程為,lVx+2y-2t=0f

由

得f一比+"-12=0,

A=r-4(r2-12)>0,-4<r<4..............8分

.\AB\=J(l+公)[(u+%)2-4)與]=J京48-3產(chǎn))=孚J16一產(chǎn).

點P到直線AB的距離為.

于是的面積為

|8f|

SgAB=g-J^■孚-V16-Z2=iJ(4-f)3.(12+3r).................10分

設(shè)/⑺=(4-f)3(12+3r),尸⑺=72(，-4)2(1+2),其中-4〈/<4.

在區(qū)間(一2,4)內(nèi)，/⑺<0,/⑺是減函數(shù)；在區(qū)間(-4,一2)內(nèi)，f\t)>0,/⑺是增函數(shù).所

以/⑺的最大值為/(-2)=6,.于是S&PAB的最大值為18.............…12分

5、解：(I)由題意，|的修=2c=2,.?/(/,())-------1分

?/AF}=2Ag名為八月的中點------------2分

a2=3,/?2=2

即：橢圓方程為------------3分

(II)當(dāng)直線力E及x軸垂直時，，此時|MN|=2〃=2VL

四邊形OMEN的面積不符合題意故舍掉；4分

同理當(dāng)MV及x軸垂直時，也有四邊形QA/EN的面積不符合題意故舍

掉;5分

當(dāng)直線，MN均及x軸不垂直時，設(shè)?！辏海?攵（工+1）,

代入消去y得：（2+3公）/+6小工+（3〃2-6）=0.--------------6分

-6k?

X1+%2=

2+3k2

設(shè)￡＞（芭，必）,￡（》2，丁2），則，7分

3公一6

X/2-213k2

所以|2-￡1=g+X2)2_4X“2=4fq"J1

8分

3Ki"乙

2

所以|OE|=yjk+1|x,-x,|=。，—9分

~2+3k2

4V3[(-y)2+l]46(』+1)

同理IMN|=------號----=----%-.------------11分

2+3(-―2+.

kk-

所以四邊形的面積S=網(wǎng)"“M」.46伏2：1)J3(4+1)

222+3廿3

戶

由S=—nk2=2=k=±\^2，—12分

7

所以直線/上:后-y+夜=0或仆:亞x+y+6=0

或(龍:>[2x-2y+>/2=0HKlDE:>/2x4-2y4->/2=013分

6、解：（I）（i）由拋物線定義可知，拋物線上點M（九2）到焦點廠的距離及到準線距

離相等，即相（九2）到的距離為3；

,解得p=2.

???拋物線P的方程為丁=4），.4分

（ii）拋物線焦點”0,1）,拋物線準線及y軸交點為鳳0,-1）,

顯然過點E的拋物線的切線斜率存在，設(shè)為我,切線方程為＞=依-1.

由，消y得工2_4丘+4=0,6分

△=162?-16=0,解得Z=±l.7分

切線方程為y=±戈-1.8分

（H）直線/的斜率顯然存在，設(shè)/：,

設(shè)A（X[,y），B（x2,y2）,

由消y得x2-2pkx-p2=0.且△>().

x}+x2=lpk,xx-x2=-p~；

A（x，y）,直線04:,

及聯(lián)立可得，同理得.10分

V焦點,

???，，12分

X2

?廠廠「八/P\、,px?、px2,2PX1X.2

??/c/o=（一尸，一〃）?（—一，一〃）=1尸+〃=二]~十〃

2y2必2y}2y24y%

_/』?2=￡2=（）

一））十〃一十〃—2十〃一U

4旦旦咐一/廠

2P2P

J以。。為直徑的圓過焦點F.14分

7、解：（I）由題意可得OPLOM,2分

所以O(shè)POW=0,即（x,y）（x,T）=o4分

gPx2-4y=0,即動點P的軌跡W的方程為f=4y5分

（II）設(shè)直線/的方程為y=履-4,4（%,凹）設(shè)（蒼,必），則4'（-x"i）.

由消y整理得戈J4"+16=0,6分

則A=16公一64>0,即|攵|>2.7分

x

內(nèi)+i=4k,x1x2=16.9分

直線4從），-必=上入（1-工2）

x2+X1

，)，=%一，(Y-X)+%

吃+%

22?

/.y=——(%-占)+—/

-4(X,+X)-4-

212分

x-xx-xx

-2(x—=2-----]--2

)'=44+*

W-Xx?中2

y=

44

即

所以，直線48恒過定點(0,4).13分

8、解：(I)因為橢圓M上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為6+4行,

所以2a+2c=6+4VL1分

又橢圓的離心率為逆，即，所以，2分

3

所以。=3,c=2\[2.4分

所以8=1,橢圓M的方程為.5分

(II)方法一:不妨設(shè)8。的方程y=〃(x-3),(〃>0),則4C的方程為.

由得4+)/-6/?2x+9n2-1=0,6分

設(shè)4區(qū),必),B(x2,y2),因為,所以，7分

同理可得，8分

所以，，10分

2心

一■—

S^BC=^\BC\\AC\=12分

2(〃+4+處

n9

設(shè)，貝心二二^二一^1，13分

產(chǎn)十竺"8

99t

當(dāng)且僅當(dāng),[時取等號,所以⑼北面積的最大值為?

14分

方法二：不妨設(shè)直線AB的方程/=0+〃"

由消去x得(％2+9))/+Ikmy+nr-9=0,6分

設(shè)4（和必），8（々,丁2），

則有，.①7分

因為以A8為直徑的圓過點C,所以C4CB=（）.

由04=（%-3,乂）,6=（蒼一3,），2），

得（$-3）。2-3）+），跖=0?8分

將玉=bl+m，々=縱+m代入上式,

2

得（公+l）yy2+k[m-3）（y+%）+（m-3）=0.

將①代入上式，解得或相=3（舍）.10分

所以（此時直線AA經(jīng)過定點，及橢圓有兩個交點）,

所以幾^=白。5）1-必1

13I---------------------925（F+9）-144

=—X—+%）2-4,％=-（爐-12分

25125“2

設(shè),

則與

JYJ

所以當(dāng)時，sM8c取得最大值3.

uxouvo14分

9、解；（1）不妨設(shè)

kMA=~kMB=y+>2=-2P，：Kb="2=-1......................................................5分

22__2L

2P2P

（2）AB的直線方程為:y-y1=-（工-3）,即x+y-y-3=0

2P2P

點M到AB的距離。...............................7分

陷=閨々-止&力-3=奪%+為卜帆-W=2&|p+y|............9分

又由3+y2=-2〃且yvy2<0,yw[—2p,0],令p+y=t,:.te\-p,p\

S.=；2應(yīng)歸+yj,燈筍旬=—|4月..................11分

22V2P2P

設(shè)/(/)=|4p)-3|為偶函數(shù)，改只需考慮/?o,p］,

所以/⑺=4/力_/,/(/)，=4〃2一2/2>0,/⑺在［0,p］上遞增，

1§

當(dāng)，=P時，/(0=3Pl.(SAw)max=~<3〃'=；p"

nwx2P2

o故所求拋物線的方程為/=4A-.................................13分

10、(I)解：由題意橢圓的離心率，加=4,所以。=2,c==百,

故橢圓方程為,------3分

則直線/:x=—1,A(—2,0),B(2,0),

故或,

33

當(dāng)點。在x軸上方時,—2—=——3.匕=-2--=——]?

-1+222-1-22

所以4：&=3,

當(dāng)點。在x軸下方時，同理可求得4=3,

綜上，匕：&=3為所求.------------6分

(II)解：因為，所以〃=2c,b=43c,

橢圓方程為+4己=12c?,A(-2c,0),5(2c,0),直線/:%=切-c,

設(shè)。(％,)，］),。(工2，%)，

由消無得，(4+3m2)y2-6mcy-9c2=0,

6mc-VA6mc+VZ6mc

y.+y=-----------+-----------=---------

1-22(4+3〃/)2(4+3〃/)4+3/n2

所以------8分

6mc-\[X6mc+VA_9c2

'.%―2(4+3〃/)?2(4+3〉)一一4+3加

8c

%+/=3(X=%)_2C=_

3m+4

故,①

2/、24c2-⑵丘2

X?%2="r乂%—〃2c(y+%)+廠=-°、.—

3〃r+4

由，及)，2=3(4/-/)=3(2c-x)(2c+x),____9分

,44

2

znk；y2(x1-2c)~(2c-%)(2c-x2)4c~-2c(xt+x2)+芭”?

w-7=、、=A、=?,

k{y\~(x2+2c)~(2c-Xj)(2c+x2)4c~+2c(%+x2)4-x)x2

16c24c2-12W2C2

4c24-

將①代入上式得“2導(dǎo)3"，+43/〃2+4_36c-_9,

10分

16c24C2-12W2C2，

--7----1------0-----

3nr+43〃r+4

注意至Ijy?%<°，%一2c<0，w+2c>0,得，----11分

所以仁：左2=3為所求.------------12分

11、解：（1）依題意，得c=l.于是，a=6,b=\..................................2分

所以所求橢圓的方程為.........................4分

⑵⑴設(shè)力（X”必），6（而，必），則①，②.

又設(shè)材（必y）,因OM=8s6OA+sin6O5,故...7分

（葉加

因M在橢圓上，故8§"；4§8）+（yCQSe+）\sin。）2=1.

整理得吟+y：）8s26+（］+y；）sin23+2（竽+y%）cos6sin，=1.

將①②代入上式,并注意cQsOsinewO,得^^+兇）”。.

所以，為定值.........................10分

（ii）（y=（-竽>="4=（i-#）（1-￥）=1-3+>；）+）：￡，故#+y；=1?

乙乙乙

又，故^+￥=2.

所以，面+西二片+―+考+￡=3?..........................................16分

12、解：（I）設(shè)動圓P的半徑為r,則1PMi="-〃PN|=r+工

44

兩式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|

由橢圓定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為26,實軸長為4的橢圓

其方程為........6分

（II）假設(shè)存在，設(shè)。（x,y）.則因為NMQV為鈍角，所以。MQNvO

QM-（-V3-x,-y）,QN=（y/3-x,-y）,QM-QN=x24-y2-3<0

又因為Q點在橢圓上，所以

聯(lián)立兩式得：化簡得：,

解得：13、解:（I）?.?橢圓右焦點尸的坐標為（兄0）,...........（1分）

/.NF=（a,-ii）.vMN=（一犯〃）,

...由麗?沛=0,得/+〃加=0.