13.2.2三角形的中線、角平分線、高（解析版）目錄TOC\o"1-3"\h\u類型一、三角形的中線 1類型二、三角形的角平分線 2類型三、三角形的高 3類型四、面積問(wèn)題 4類型五、作圖問(wèn)題 9TOC\o"1-3"\h\u類型一、三角形的中線1．一個(gè)三角形中的三條中線（

）A．都在這個(gè)三角形內(nèi)B．都在這個(gè)三角形外C．可能在這個(gè)三角形內(nèi)，也可能在這個(gè)三角形外D．可能和這個(gè)三角形的一邊重合【答案】A【分析】本題考查了三角形的中線，熟記概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線的概念即可解答．【詳解】解：三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部，故答案為：A．2．如圖，的周長(zhǎng)是，是邊上的中線，，，則與的周長(zhǎng)之差為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】本題考查了三角形中線的有關(guān)計(jì)算，掌握三角形中線的定義是關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線，周長(zhǎng)的計(jì)算得到，，根據(jù)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，得到與的周長(zhǎng)之差為，由此即可求解．【詳解】解：的周長(zhǎng)為，∴，∵是邊上的中線，∴，則，∴，∵的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，∴，∴與的周長(zhǎng)之差為，故選：A．3．小時(shí)和小穎要分一塊均勻的三角形餅干，怎樣才能把它分成大小相等的兩塊？．【答案】沿三角形的一條中線分成大小相等的兩塊．【分析】本題考查三角形的中線性質(zhì)，掌握課本的定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線性質(zhì)解答即可．【詳解】解：三角形的一條中線把原三角形分成面積相等的兩部分，所以沿三角形的一條中線分成大小相等的兩塊．故答案為：沿三角形的一條中線分成大小相等的兩塊．類型二、三角形的角平分線4．下列結(jié)論正確的是（

）A．鈍角三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的外部B．銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部C．三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)D．直角三角形的三條中線的交點(diǎn)在斜邊的中點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查了三角形角平分線、高、中線、重心等概念，根據(jù)三角形角平分線、高、中線、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、鈍角三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，原選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；、銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，原選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；、三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，原選項(xiàng)結(jié)論正確，符合題意；、直角三角形的三條中線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，原選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．類型三、三角形的高5．如圖，分別是的高線和中線．若的面積為12，，則的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查三角形的中線性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求得，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵是的中線，的面積為12，∴，∵分別是的高線，，∴，則，故選：B．6．畫的邊上的高，下列畫法中，正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了畫三角形的高，根據(jù)三角形的高的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)與垂足形成的線段即為三角形的高，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)三角形高的定義可知，邊上的高是從點(diǎn)C向作垂線，頂點(diǎn)C與垂足形成的線段，即如下所示：故選：D．類型四、面積問(wèn)題7．如圖，是的中線，是的中線，若的面積為12，則的面積為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)．利用中線的性質(zhì)“三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形”即可求解．【詳解】解：∵是的的中線，且的面積為12，∴，又∵是的的中線，∴，故選：A．8．如圖，在中，D，E分別是的中點(diǎn)．若的面積是1，則的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中線平分三角形面積，據(jù)此可求出的面積，進(jìn)而可得的面積．【詳解】解：∵E為的中點(diǎn)，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，故選；B．9．已知是邊上的中線，是的中點(diǎn)，若的面積為2，則的面積為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)—中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由于是的中點(diǎn)，，那么和可看作等底同高的兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式，得出和的面積相等，進(jìn)而得出的面積等于的面積的倍；同理，由于是的中點(diǎn)，得出的面積等于的面積的倍，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積為2，，，是邊上的中線，，，故選：B．10．如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的面積為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．利用三角形的中線的性質(zhì)，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可知，中線能把一個(gè)三角形分成面積相等的兩部分，即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故選：B．11．如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查三角形的面積、中線，根據(jù)三角形面積公式列關(guān)于的方程并求解，再由中點(diǎn)的定義計(jì)算的長(zhǎng)即可．掌握三角形面積計(jì)算公式和中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵是中線，∴故答案為：6．12．如圖，是的邊上任意一點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積是．【答案】【分析】本題考查了三角形中線平分面積的計(jì)算，掌握中線的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)，得到，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，由即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故答案為：．13．已知：如圖所示，在中，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，且陰影部分的面積為，則．【答案】【分析】本題考查三角形的中線，解題關(guān)鍵是正確理解三角形中線的性質(zhì)，熟練利用中線性質(zhì)推出三角形面積．【詳解】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，故答案為：．14．如圖，的兩條中線，相交于點(diǎn)，已知的面積為4，則四邊形的面積為．【答案】4【分析】本題考查了三角形的面積．解答該題時(shí)，需要利用“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)思想．根據(jù)“三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形”得到，，然后結(jié)合圖形來(lái)求四邊形的面積．【詳解】解：∵的兩條中線、相交于點(diǎn)，∴，即．∵，∴．故答案為：4．15．如圖，的邊上的高為，中線為，邊上的高為，已知，，．(1)求的面積；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)60(2)24【分析】本題考查三角形的中線和高，熟練掌握高線和中線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用面積公式進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）解：∵的邊上的高為，中線為，，，∴，的面積；（2）解：∵的面積，∵，∴．16．如圖，是的中線，是的中線．若，求的面積．【答案】【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線將三角形的面積平分是解題的關(guān)鍵．本題利用中線的性質(zhì)，即中線將三角形分為兩個(gè)面積相等的部分，來(lái)求解的面積．【詳解】解：是的中線，，，是的中線，．類型五、作圖問(wèn)題17．如圖，已知，根據(jù)下列要求作圖并回答問(wèn)題：(1)作邊上的高；(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為；(3)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長(zhǎng)度；(4)線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)_____到直線_______的距離．（不要求寫畫法，只需寫出結(jié)論即可）【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)作圖見(jiàn)解析；(3)；(4)，；【分析】本題主要考查了三角形的高、點(diǎn)到直線的距離．過(guò)點(diǎn)作線段垂足在的延長(zhǎng)線上，線段即為邊上的高；過(guò)點(diǎn)作線段，垂足為點(diǎn)，線段即為所求；點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度；因?yàn)榫€段是點(diǎn)到線段的垂線段，所以線段是點(diǎn)到線段的距離．【詳解】（1）解：如下圖所示，線段即為邊上的高；（2）解：如下圖所示，（3）解：點(diǎn)到直線的距離是線段的長(zhǎng)度，故答案為：；（4）解：線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)到直線的距離，故答案為：，；18．的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)（圖中網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1．請(qǐng)借助網(wǎng)格和無(wú)刻度直尺按要求作圖．(1)在圖①中，作出的中線；(2)在圖②中，作出的重心，記為點(diǎn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖，三角形的中線與三角形的重心的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．（1）根據(jù)三角形中線的定義以及網(wǎng)格的特點(diǎn)找到的中點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)作出上的中線，交點(diǎn)即為所求；【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)為所求作點(diǎn)．（2）如圖，點(diǎn)為所求作點(diǎn)19．在下面的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長(zhǎng)（提示：的長(zhǎng)等于5）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析，【分析】此題考查了作三角形的高線和中線，等面積法求三角形高，（1）取格點(diǎn)D，連接即為邊上的高；取格點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)E，中線即為所求；（2）取格點(diǎn)G，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，高即為所求，然后根據(jù)面積法求解即可．【詳解】（1）如圖所示，高和中線即為所求；（2）如圖所示，邊上的高即為所求；∵的長(zhǎng)等于5∴∴∴．1．如圖是一張鈍角三角形紙片，小明想通過(guò)折紙的方式折出如下線段：①邊上的中線；②的平分線；③邊上的高．上述三條線段中能通過(guò)折紙折出的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，涉及到圖形的翻折變換，三角形的角平分線、中線以及高線，掌握三角形的角平分線、中線以及高線的幾何意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【詳解】解：①折疊使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則：對(duì)折點(diǎn)即為的中點(diǎn)，則即為邊上的中線；②折疊使和重合，則：折痕即為的平分線；③折疊使和重合，則：折痕即為邊上的高；故選D．2．如圖，在中，，，分別是，，的中點(diǎn)．（陰影部分）的面積是4，則的面積為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】本題考查了三角形的面積的求法，關(guān)鍵是找出三角形面積之間的關(guān)系．根據(jù)三角形的面積公式得到，三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵是中點(diǎn)，∴，∵是中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故選：C．3．如圖，將三角形紙片按下面四種方式折疊，則是的高的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：正確理解三角形的角平分線、中線和高的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了折疊的性質(zhì)．為三角形的高，則．所以，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：是的高的是．故選：D．4．如圖，在中，是高，是角平分線，是中線，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了中線、角平分線和中線的定義，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)三角形的中線意義可判斷A和D；根據(jù)三角形高的定義，直角三角形兩銳角互余判斷B；根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可判斷C．【詳解】解：∵是中線，∴，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵是高，∴，∴，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，∵是角平分線，∴，∵，，∴，故C正確，不符合題意；∵是中線，∴與不一定相等，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．5．已知中，為邊上的高，若，，，則的面積為.【答案】28或8【分析】本題考查了與三角形高有關(guān)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題；分兩種情況考慮：分高在三角形內(nèi)與三角形外，根據(jù)題意求得，則由三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)時(shí)，如圖，∵，，∴，∴；當(dāng)高在三角形外時(shí)，如圖，則，∴；綜上，的面積為28或8．故答案為：28或8．6．如圖，在中，，D為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，，E為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，，，則．【答案】【分析】本題考查了與三角形的高有關(guān)的面積計(jì)算，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，根據(jù)題意得出是解此題的關(guān)鍵．連接，，根據(jù)D為中點(diǎn)，得出，從而得出，根據(jù)三角形面積得出，從而得出，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，D為中點(diǎn)，∴，∴，∵，，，∴，∵，，∴，解得：．故答案為：．1．如圖，已知的面積為，分別延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，依次連接，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，連接，可得，即得，進(jìn)而得到，同理可得，，再根據(jù)即可求解，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，同理可得，，，∴，故答案為：．2．如圖，，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，的面積為6，設(shè)的面積為，的面積為，則．【答案】2【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形中線性質(zhì)找出各部分三角形面積之間的關(guān)系．利用三角形中線平分面積性質(zhì)，得出．根據(jù)中點(diǎn)及等底等高三角形面積相等，得到，．分別表示出，，將二者相加構(gòu)建關(guān)于的等式并求解．【詳解】∵，分別是的邊，的中點(diǎn)，的面積為6，∴，．∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，的面積為，的面積為，∴，∴．∴，即，解得．故答案為：2．3．如圖，在中，是邊上的中線，，與交于點(diǎn)F，若的面積等于16．（1）的面積為；（2）設(shè)的面積為m，的面積為n，則