江西省2026屆高三上學(xué)期10月一輪復(fù)習(xí)階段檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意可知，所以，故的真子集個數(shù)為個.故選：C.2.設(shè)命題，，則的真假與否定形式分別為（）A.假命題，， B.真命題，，C.假命題，， D.真命題，，【答案】C【解析】命題是全稱量詞命題，取，得，命題是假命題，命題的否定是，.故選：C.3.記為正數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，解得，即甲：，顯然集合真包含于集合，所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A.4.設(shè)函數(shù)，則在區(qū)間上（）A.單調(diào)遞減 B.單調(diào)遞增C.先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增 D.先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減【答案】B【解析】，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.所以即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.故選：B.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，所以的取值范圍是.故選：D.6.設(shè)定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，且對于任意的，均有，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由上的偶函數(shù)滿足，得，由對于任意的，均有，得當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不等式化為：或，解得或，所以不等式的解集為.故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，，為曲線上一動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】依題意，當(dāng)曲線在處的切線垂直于時，取得最小值，設(shè)，求導(dǎo)得，則，整理得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，因此，點(diǎn)，所以.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足，則下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由，得，則，B錯誤；對于C，取，則，C錯誤；對于D，由，得，則，D正確.故選：AD.10.若存在函數(shù)，使得函數(shù)滿足，則稱是“變量函數(shù)”.已知函數(shù)，若是“變量函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.B.C.的最小值為D.若恒成立，則【答案】ACD【解析】由題意可知在上恒成立，令得，即，故A正確；由可得，代入不等式組中整理得，所以，故B錯誤；由可得，所以，所以的最小值為，故C正確；若恒成立，即恒成立，所以有，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)B.當(dāng)時，曲線關(guān)于點(diǎn)對稱C.當(dāng)時，若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則D.存在使得方程有三個不等的實(shí)根且【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，A錯誤；對于B，當(dāng)時，函數(shù)，則，曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；對于C，當(dāng)時，函數(shù)，曲線為，設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得，于是切線方程為，由切線過點(diǎn)，得，整理得，令，依題意，函數(shù)有3個零點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)只有1個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，由，得或，由，得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，由函數(shù)有3個零點(diǎn)，得，則；當(dāng)時，由，得或，由，得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，由函數(shù)有3個零點(diǎn)，得，則，因此，C正確；對于D，由方程，得，取，則，整理得，于是，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的定義域?yàn)?，則_________.【答案】4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，所以，所以或，又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，定義域?yàn)椴环项}意；當(dāng)時，符合題意；所以，則。故答案為：4.13.設(shè)，則的最小值為__________.【答案】3【解析】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為3.故答案為：3.14.方程根的個數(shù)為__________.【答案】1【解析】方程，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，則存在，使得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，而，因此函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以方程根的個數(shù)為1.故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，且，求的值；（2）當(dāng)時，若，求，的值.【答案】解：（1）當(dāng)時，，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）當(dāng)時，，因?yàn)?，，所以只有一個元素且，所以，所以.16.已知定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的，均有，且當(dāng)時，.（1）求；（2）探究的奇偶性；（3）用定義法證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】（1）解：對于任意的，均有，取，得，即得.（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，對，令，得，，因此，所以函?shù)為奇函數(shù).（3）證明：且，令，則，即,因，則，故，即，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.17.隱含波動率常用于刻畫轉(zhuǎn)債的估值水平，記為轉(zhuǎn)債價格，為剩余期限，為折現(xiàn)利率，進(jìn)行參數(shù)調(diào)整后，，其中為參數(shù)，為轉(zhuǎn)債標(biāo)準(zhǔn)差.（1）若，求的最小值；（2）現(xiàn)將逐步調(diào)小，此時逐漸增大，最終近似得到.（?。┤?，，求；（ⅱ）證明：.【答案】（1）解：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為8.（2）（?。┙猓阂李}意，，即，所以.（ⅱ）證明：令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，即，因此，所以.18.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的極值；（2）證明：存在使曲線在處的切線經(jīng)過原點(diǎn)；（3）若在區(qū)間上恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）解：當(dāng)時，，令，解得或或.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在處取得極小值，當(dāng)時，，所以在不是函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)時，，所以在處取得極大值，綜上所述，.（2）證明：由題意可知，，所以，所以在處的切線方程為，把代入切線方程解得，故存在使得曲線在處的切線過原點(diǎn).（3）解：由（2）可知，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以滿足題意；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)楫?dāng)時，或，，所以必存在，使得，故不合題意；當(dāng)時，，，所以在不恒成立，故不合題意.綜上所述：整數(shù)的最小值為.19.已知函數(shù).（1）證明：曲線在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若存在使得，記的導(dǎo)函數(shù)為.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.【答案】（1）證明：由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所求切線方程為，即，令，解得，所以切線恒過定點(diǎn).（2）構(gòu)建，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以.（i）解：構(gòu)建，則，①若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)趨近于時，趨近于，可知在定義域內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則至多存在兩個實(shí)數(shù)，使得，不合題意；②若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，若，則，即，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；設(shè)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即，若，則，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；可知在和內(nèi)分別存在一個零點(diǎn)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于0時，趨近于，當(dāng)趨近于時，趨近于，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：設(shè)，構(gòu)建，則