考研數(shù)學(xué)一2025年高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=arcsin(2x)-√(1-4x2)在其定義域內(nèi)是()(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)既奇又偶函數(shù)2.極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x2=()(A)1(B)0(C)1/2(D)-1/23.函數(shù)f(x)=x3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最大值是()(A)2(B)3(C)8(D)104.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)≠0，則當(dāng)x→x?時(shí)，下列說法正確的是()(A)f(x)-f(x?)是比x-x?高階的無窮小(B)f(x)-f(x?)是比x-x?低階的無窮小(C)Δy=f(x)-f(x?)是比Δx=x-x?高階的無窮小(D)Δy/Δx→∞5.若函數(shù)y=x2+ax+b在x=1處取得極小值，且其導(dǎo)函數(shù)的圖形是一條過點(diǎn)(0,-1)的直線，則a,b的值分別為()(A)a=-2,b=-1(B)a=-2,b=0(C)a=2,b=-1(D)a=2,b=0二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。6.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(0)=________，f(x)的最小值是________。7.當(dāng)x→0時(shí)，(sinx-x)/x3的極限是________。8.曲線y=ln(x+√(x2+1))在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為________。9.若反常積分∫[1,+∞)(1/(xln2x))dx收斂，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________。10.設(shè)z=x2-y2+x2yz，則z關(guān)于x的全微分dz=________。三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.(本小題滿分10分)討論函數(shù)f(x)=(x-1)lnx+1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性。12.(本小題滿分12分)計(jì)算不定積分∫x*arctan(x2)dx。13.(本小題滿分12分)求函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。14.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)≥0。證明：對于任意的x?,x?∈[a,b]，若x?<x?，則有f(x?)≤f(x?)。15.(本小題滿分10分)計(jì)算二重積分∫∫[D](x+y)dA，其中D是由拋物線y=x2和直線y=1所圍成的閉區(qū)域。16.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足微分方程xy'+y=xlnx，且y(1)=1。求函數(shù)y(x)的表達(dá)式。試卷答案1.A2.C3.D4.C5.A6.3；37.-1/68.y=x9.k>110.(1-y2+2xyz)dx+(-2x+x2z)dy11.解析：f'(x)=lnx+1-1/x=lnx+(1-1/x)。令f'(x)=0，得x=1。當(dāng)0<x<1時(shí)，lnx<0且1-1/x<0，f'(x)<0。當(dāng)x>1時(shí)，lnx>0且1-1/x>0，f'(x)>0。故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。12.解析：令u=x2，du=2xdx，arctan(u)du=∫arctan(u)du?！襵arctan(x2)dx=1/2∫arctan(u)du。由分部積分法，令v=arctan(u),dv=u/(1+u2)du；du=du。∫arctan(u)du=uarctan(u)-∫[u/(1+u2)]udu=uarctan(u)-1/2∫d(u2)=uarctan(u)-1/2ln(1+u2)+C。代回u=x2，得∫xarctan(x2)dx=1/2[x2arctan(x2)-1/2ln(1+x?)]+C=(x2/2)arctan(x2)-(1/4)ln(1+x?)+C。13.解析：y'=1-2sinx。令y'=0，得x=π/6,5π/6。y(0)=2,y(π/6)=π/6+1,y(5π/6)=5π/6+1,y(π)=π+2。比較y(0)=2,y(π/6)=π/6+1≈2.26,y(5π/6)=5π/6+1≈2.74,y(π)=π+2≈5.14。最大值為y(π)=π+2，最小值為y(0)=2。14.證明：由f'(x)≥0，可知f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。對于任意的x?,x?∈[a,b]，若x?<x?，則由單調(diào)遞增性可得f(x?)≤f(x?)。15.解析：積分區(qū)域D由y=x2和y=1圍成，可表示為D={(x,y)|x2≤y≤1,-1≤x≤1}?！摇襕D](x+y)dA=∫[-1]?∫[x2]1(x+y)dydx。=∫[-1]?[xy+y2/2]_[x2]1dx=∫[-1]?[(x+1/2)-(x3+1/2x?)]dx=∫[-1]?(x-x3)dx+1/2∫[-1]?(1-x?)dx=[(x2/2-x?/4)]_[-1]?+1/2[(x-x?/5)]_[-1]?=[(1/2-1/4)-(1/2-1/4)]+1/2[(-1-(-1/5))-(-1-(-1/5))]=0+1/2[-4/5-(-4/5)]=0+1/2*0=0。16.解析：原方程可化為y'+(1/x)y=lnx。這是一階線性微分方程，其通解為y=e^[-∫(1/x)dx]*[∫lnx*e^[∫(1/x)dx]dx+C]。=e^(-lnx)*[∫lnx*e^(lnx)dx+C]=(1/x)*[∫xlnxdx+C]=(1/x)*[(x2/2)lnx-∫(x2/2)*(1/x)dx+C]=(1/x)