高二數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.A所求三角形的面積S

—→

2.C因為n●AB=(—1,—2,2)●(k十6,—2k—3,—3)=—k—6十4k十6—6=0,所以k=2.

3.B由題意知

—→—→—→—

因為MN=父OA十yOB十ZO,所以父則5父十y十Z=—3.

4.D因為該圓經(jīng)過原點O和點A(2,—4),所以圓心在線段OA的中垂線上,易知線段OA的

中垂線方程為父—2y—5=0,由解得圓心坐標(biāo)為(7,1),圓的半徑為\,所

以該圓的方程為(父—7)2十(y—1)2=50.

——→22

5.D因為BA=(—2,4,20),所以BC=\4十3=5,點A到BC的距離為

A

6.B以O(shè)為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)OA=

1,則A(0,1,0),B(0,—1,0),S(0,0,2),C

B

所以異面直線AC與SB所成角y

C

的余弦值為

7.C設(shè)區(qū)域邊界上任意點M(父,y),則所以(父—20)2十y2=300.

設(shè)直線l的方程為y=k父,則,所以k>\或k<—\,

所以直線l傾斜角的取值范圍為,).

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第1頁(共6頁)】26-70B

A

8.A以A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=2,

→

則A(0,0,0),C(0,2,0),F(0,0,2),EFE=,,2),AC

—

A=(0,2,0).設(shè)平面ACP的法向量為n=(父,y,義),E

—→B1

(

—F

則令父=4,得n=(4,0,\).

y十2義=0,P

取平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),A

CY

則cOsB

所以平面ACP與平面ABC夾角的余弦值為.

9.AB因為l1Ⅱl2,所以2a(a—1)=—a,解得a=0或a

當(dāng)a=0時,直線l1,l2的方程分別為父=1和父=—1,則l1,l2之間的距離為2;

當(dāng)a時,直線l1,l2的方程分別為父十y—1=0和父十y十2=0,則l1,l2之間的距離d=

10.AB圓O的圓心為O(0,0),半徑R=3.

對于A,因為|OP|=\/(\2)2十(—\3)2=\<3,可知點P在圓O內(nèi),

可得圓心O到過點P的直線的距離d∈[0,\],

所以|AB|=2\/R2—d2=2\/9—d2∈[4,6],故A正確.

對于B,因為圓心O到直線l:\父—y—2=0的距離d

且圓O的半徑為3,所以圓O上有4個點到直線l:\父—y—2=0的距離為1.9,故B

正確.

對于C,圓C:(父—5)2十(y—12)2=r2的圓心為C(5,12),半徑為r,則|OC|=\/52十122=

13,若圓O與圓C沒有公切線,則兩圓內(nèi)含,所以|OC|<|R—r|,即13<|3—r|,解得r>

16,又r>0,所以r的取值范圍為(16,十∞),故C錯誤.

對于D,設(shè)Q(a,6十a(chǎn)),以O(shè)Q為直徑的圓為父(父—a)十y(y—6—a)=0,

整理得父2十y2—a父—(a十6)y=0,

由題意可知,直線CD為圓Q與圓O的公共弦所在的直線,

可得—9十a(chǎn)父十(6十a(chǎn))y=0,整理得a(父十y)十6y—9=0,

令解得所以直線CD必過定點,故D錯誤.

11.ACD以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第2頁(共6頁)】26-70B

A

C(0,2,0),D1(0,0,2),E(0,2,1).

—→1—→1—→D1C

1=(,,知P(,

由DP=2λDA十2μDDλ0,μ)λ0,μ).AB1

——→——→——→——→

對于A,P(2,0,1),EP=(2,—2,0),DB=(2,2,0),EP.DB=FE

P

(2,—2,0).(2,2,0)=0,所以EP丄BD,A正確.

——→——→DCy

對于B,設(shè)平面BDE的法向量為n=(父,y,義),DB=(2,2,0),DE

=(0,2,1),AB

bN

n.2父十2=0,

則令父=1,得n=(1,—1,2),

{n.2y十義0,

—→—→

因為P(1,0,2),C(0,2,0),所以CP=(1,—2,2),因為CP=(1,—2,2)與n=(1,—1,2)不

是共線向量,所以CP不垂直于平面BDE,所以B錯誤.

2

對于C,作EF丄DD1,垂足為F,連接PF,AP,則PF=\/6—2=\,所以點P(λ,0,μ)在

2

以F(0,0,1)為圓心,\為半徑的圓上.因為BP=\/AP十4,(AP)min=\—\,所以BP

的最小值為\11—2\10=\—1,所以C正確.

對于D,因為△BCB1為等腰直角三角形,所以三棱錐P-BCB1外接球的球心在過CB1的中

點且垂直于平面BCB1的垂線上,設(shè)球心O(1,t,1).因為OP=OB,所以

\/(λ—1)2十t2十(μ—1)2=\/2十(t—2)2=R(R為球O的半徑),所以t=

1=

∈[,,所以Rmax\,故三棱錐P-BCB1外接球表面積的最大

值為12π,D正確.

12.父—y—1=0因為反射光線所在直線經(jīng)過點(0,—1)和(3,2),所以反射光線所在直線的方

程為父—y—1=0.

13.4連接CM,CN(圖略).因為MN是圓C的切線,所以MN丄CN.又|CM|

22

=\/(4—1)2十(2十2)=5,所以|MN|=\/5—9=4.

A

14.2以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),D

—→—→

A(0,1,0),C(\3,0,0),設(shè)點D(父,y,義),則AC=(\3,—1,0),BD

=(父,y,義).A

B

因為DC=1,DA=\3,所以

,

所以\3父—y—2=0

—→—→

所以AC.BD=(\3,—1,0).(父,y,義)=\3父—y=2.

15.解:(1)直線l的斜率為……………………3分

直線l的方程為y它的斜截式方程為y父十……………5分

1

(2)因為直線l1平行于直線l,所以直線l1的斜率為—……………分

2.7

1

又直線l1經(jīng)過點C(2,—2),所以直線l1的方程為y十2=—(父—2),它的一般式方程為

2

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第3頁(共6頁)】26-70B

父十2y十2=0.………………9分

(3)因為直線l2垂直于直線l,所以直線l2的斜率為2.………………11分

又直線l2經(jīng)過點D(2,0),所以直線l2的方程為y—0=2(父—2),它的一般式方程為2父—

y—4=0.……………………13分

16.解a十b十c,………………2分

因為a2十b2十c2十2a●b十a(chǎn)●c十b●c=4十4十

,所以………………………6分

……………9分

—→—→—→—→

2

(3)因為BC=b,AC1=a十b十c,所以BC●AC1=b●(a十b十c)=b●a十b十b●c=4十

………………11分

—→—→2222

又|BC|=2,|AC1|=\/(a十b十c)=\/a十b十c十2a●b十2a●c十2b●c=\,……

…………………………13分

所以cos

所以異面直線BC與AC1所成角的余弦值為……15分

17.(1)證明:連接AC1.因為E,F分別是AB,BC1的中點,

所以EFⅡAC1.……………3分

因為EF丈平面AC1A1,AC1C平面AC1A1,

所以EFⅡ平面AC1A1.…………………5分

(2)解:以B為坐標(biāo)原點,BC,BA,BB1所在直線分別為父軸、y軸、z軸,建立如圖所示的

0303000

空間直角坐標(biāo)系,則B(0,,0),A(0,,0),C(4,,0),A1(0,,3),C1(4,,3),E(,,),

F…………………8分

——AZ

—→—→C1

所以,BA1=(0,3,3),BC=(4,0,0).…10分

設(shè)n=(父,y,z)是平面A1BC的法向量,

A1B1

X

則………………12分F

C

取z=1,得n=(0,—1,1).……13分

設(shè)EF與平面A1BC所成的角為θ,

YAEB

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第4頁(共6頁)】26-70B

—

—→

則sinθ=|cos〈EF,n

即EF與平面A1BC所成角的正弦值為.…………15分

18.(1)證明:設(shè)AC與BD交于點O,連接PO(圖略).因為底面ABCD為正方形,所以BD丄

AC.…………………………2分

又△PBD是等邊三角形,O是BD的中點,所以BD丄PO.……………4分

因為AC∩PO=O,所以BD丄平面PAC.………………5分

(2)解:由(1)知BD丄OA,BD丄OP,所以上POA是二面角P-BD-A的平面角,則

cos上POA……………6分

因為AB=AD=2,所以AC=BD=2\,又△PBD是等邊三角形,所以O(shè)A=\,OP=

222

\,所以PA=OA十OP—2OA●OP●cos上POA=4,

所以PA=2.…………………8分

因為PA2十AB2=PB2,PA2十AD2=PD2,所以PA丄AB,PA丄AD,

因為AB∩AD=A,所以PA丄底面ABCD.……………9分

以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為兒,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),

則B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).

設(shè)足條件,

——→

則(0,—2,λ),BD=(—2,2,0).………………11分

—

,—

n1●C02兒1=0,

設(shè)平面CDE的法向量為n1=(兒1,y1,z1),則即—

{2y1十,

{n1●0,λz1=0

取z1=2,則n1=(0,λ,2).………………13分

設(shè)平面BDE的法向量為n2=(兒2,y2,z2),則

取z2=2,則n2=(λ,λ,2).………………15分

2

所以cos化簡得λ=—6,無實

根,所以在線段AP不存在點E,使得平面CDE與平面BDE的夾角為60。.………17分

19.解:(1)依題意,直線l不垂直于兒軸,設(shè)其斜率為k,則其方程為y=k(兒—4),

即k兒—y—4k=0.……………………