基于極值理論的滬深股票市場相關性的深度剖析與實證研究一、引言1.1研究背景與意義在經濟全球化和金融市場一體化的大背景下，金融市場之間的聯(lián)系日益緊密，呈現(xiàn)出復雜的相關性和相互影響。股票市場作為金融市場的重要組成部分，其波動不僅影響著投資者的財富，也對整個金融體系的穩(wěn)定產生深遠影響。滬深股票市場作為中國資本市場的核心，在經濟發(fā)展中扮演著舉足輕重的角色，吸引著眾多投資者和研究者的目光。深入研究滬深股票市場的相關性，對于投資者制定合理的投資策略、金融機構進行有效的風險管理以及監(jiān)管部門維護市場穩(wěn)定，都具有至關重要的現(xiàn)實意義。投資者可以通過了解滬深股票市場的相關性，更好地構建投資組合，實現(xiàn)風險分散和收益最大化。當滬深兩市股票表現(xiàn)出較強的正相關性時，投資者需要謹慎考慮投資組合的分散性，避免過度集中在兩市的股票上，以降低系統(tǒng)性風險。相反，如果兩市股票相關性較弱，投資者可以利用這種差異，合理配置資產，提高投資組合的穩(wěn)定性和收益水平。通過分析滬深股票市場的相關性，投資者還可以根據(jù)市場變化及時調整投資策略，把握投資機會，規(guī)避潛在風險。對于金融機構而言，準確把握滬深股票市場的相關性，有助于其更有效地管理風險。在進行資產定價和風險評估時，金融機構需要考慮不同市場之間的相互影響，以確保風險度量的準確性。如果忽視滬深股票市場的相關性，可能會導致風險評估的偏差，進而影響金融機構的穩(wěn)健運營。在投資組合管理中，金融機構可以根據(jù)兩市的相關性，優(yōu)化資產配置，降低風險。在風險預警方面，通過監(jiān)測滬深股票市場的相關性變化，金融機構可以及時發(fā)現(xiàn)潛在的風險隱患，提前采取措施進行防范。監(jiān)管部門也需要密切關注滬深股票市場的相關性，以維護金融市場的穩(wěn)定。市場的異常波動和風險傳播往往與市場之間的相關性密切相關。監(jiān)管部門可以通過對滬深股票市場相關性的研究，制定相應的政策和措施，加強市場監(jiān)管，防范系統(tǒng)性風險的發(fā)生。在市場出現(xiàn)異常波動時，監(jiān)管部門可以根據(jù)兩市的相關性，及時采取措施，穩(wěn)定市場情緒，避免風險的進一步擴散。傳統(tǒng)的金融市場風險度量方法，如基于正態(tài)分布假設的風險價值（VaR）模型，在面對金融市場的復雜特性時存在一定的局限性。金融市場數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾性、自相關性、波動簇集性和波動非對稱性等特征，而正態(tài)分布假設無法準確刻畫這些特征，導致風險度量的偏差。在極端市場條件下，基于正態(tài)分布假設的VaR模型可能會嚴重低估風險，使投資者和金融機構面臨巨大的潛在損失。極值理論作為一種專門研究極端事件和分布尾部特征的統(tǒng)計理論，在金融市場風險度量中具有獨特的優(yōu)勢。極值理論不依賴于對數(shù)據(jù)整體分布的假設，而是專注于分布的尾部，能夠更準確地描述金融市場中極端事件發(fā)生的概率和潛在損失，為風險度量提供了更有效的工具。通過極值理論，我們可以更精確地估計市場極端波動情況下的風險，為投資者和金融機構提供更可靠的風險預警和決策依據(jù)。在金融市場中，極端事件雖然發(fā)生的概率較低，但一旦發(fā)生，往往會對市場產生巨大的沖擊，如1987年的“黑色星期一”、2008年的全球金融危機等。這些事件給投資者和金融機構帶來了慘重的損失，也對金融市場的穩(wěn)定造成了嚴重威脅。極值理論能夠幫助我們更好地理解和應對這些極端事件，通過對極端值的分析和建模，我們可以更準確地評估市場風險，提前制定相應的風險防范措施，降低極端事件對金融市場的影響。綜上所述，對滬深股票市場相關性的研究具有重要的現(xiàn)實意義，而極值理論在金融市場風險度量中的應用為我們提供了更有效的方法和工具。通過將極值理論與滬深股票市場相關性研究相結合，我們可以更深入地了解市場的內在規(guī)律和風險特征，為投資者、金融機構和監(jiān)管部門提供更有價值的決策參考，促進金融市場的穩(wěn)定和健康發(fā)展。1.2國內外研究現(xiàn)狀在滬深股票市場相關性的研究領域，國內外學者已取得了一系列成果。早期研究多聚焦于線性相關性分析，運用簡單的相關系數(shù)來度量滬深股市之間的關聯(lián)程度。隨著研究的深入，學者們逐漸意識到金融市場的復雜性，開始采用更復雜的方法。如蘭軍和嚴廣樂運用基于GRACH模型、Granger模型的綜合方法，同時引入協(xié)整檢驗和誤差糾正機制，對滬深兩市的波動相關性進行實證分析，系統(tǒng)性揭示了兩市波動性的關鍵特征和相互影響的因果規(guī)律，為金融資產定價和風險管理奠定了基礎。武以敏和劉小茂利用向量自回歸模型（VAR）及脈沖響應函數(shù)探討滬深股市之間的波動相關性問題，發(fā)現(xiàn)兩個市場存在明顯的聯(lián)動關系，通過上證綜指滯后五期的收益可預期深圳成指當期的收益，通過深圳成指滯后六期的收益可預期上證綜指的當期收益。在國外，也有不少學者對不同股票市場之間的相關性進行研究。部分研究采用動態(tài)條件相關系數(shù)（DCC）模型等方法，分析不同市場在不同時期的相關性變化，發(fā)現(xiàn)市場相關性會受到宏觀經濟因素、政策變化等多種因素的影響。這些研究為理解金融市場之間的關聯(lián)提供了重要參考，但由于研究對象主要是國外市場，對于滬深股票市場的針對性不足。極值理論在金融市場風險度量中的應用研究也不斷涌現(xiàn)。Longin率先將極值理論用于美國股票市場回報的極端變動建模，為后續(xù)研究開辟了道路。此后，眾多學者將這一方法應用于其他股票市場，發(fā)現(xiàn)極值理論在刻畫金融市場極端風險方面具有獨特優(yōu)勢。孫瑞杰和陳樹冰將極值理論應用于風險價值（VaR）的計算，并對滬深300指數(shù)和上證180指數(shù)進行實證分析，結果表明在極端條件下，用極值方法估計的VaR值有更高的準確性。在國內，也有學者運用極值理論對滬深股票市場的風險進行度量和分析，如周敏娟基于極值理論和Copula理論，利用GARCH模型分別建立了上證指數(shù)和深圳成指的邊緣分布函數(shù)，通過實證分析發(fā)現(xiàn)極值理論能夠有效改進風險度量。在度量金融產品相關性時，Copula理論逐漸得到廣泛應用。有學者運用Copula理論，結合滬深兩市的日收益率，對不同Copula函數(shù)進行參數(shù)估計，判斷出刻畫中國股市極值相關性的最優(yōu)Copula函數(shù)。通過這種方法，能夠更準確地描述金融市場之間的非線性相關關系，為風險管理提供更有效的工具。現(xiàn)有研究仍存在一定不足。在滬深股票市場相關性研究方面，雖然已有多種方法用于分析兩市的波動相關性和聯(lián)動關系，但對于市場極端情況下的相關性研究還不夠深入，尤其是在極端事件發(fā)生時，滬深股市之間的風險傳遞機制和相關性變化尚未得到充分揭示。在極值理論應用方面，雖然該理論在金融市場風險度量中展現(xiàn)出優(yōu)勢，但如何更好地將極值理論與其他金融理論和方法相結合，以提高風險度量的準確性和可靠性，仍有待進一步探索。部分研究在應用極值理論時，對數(shù)據(jù)的預處理和模型的假設條件考慮不夠充分，可能會影響研究結果的準確性。此外，對于不同市場條件下，極值理論模型的適用性和穩(wěn)定性研究也相對較少。1.3研究方法與創(chuàng)新點本研究綜合運用多種研究方法，全面深入地分析滬深股票市場的相關性。在數(shù)據(jù)處理階段，采用數(shù)據(jù)分析法，選取具有代表性的滬深股票市場指數(shù)數(shù)據(jù)，涵蓋了從[起始時間]至[結束時間]的日收盤價數(shù)據(jù)。通過對這些數(shù)據(jù)進行嚴格清洗，去除異常值和缺失值，確保數(shù)據(jù)的準確性和完整性，為后續(xù)分析奠定堅實基礎。在數(shù)據(jù)清洗過程中，運用統(tǒng)計學方法和數(shù)據(jù)可視化技術，對數(shù)據(jù)進行逐一排查，識別并處理可能存在的錯誤數(shù)據(jù)，保證數(shù)據(jù)質量。在模型構建方面，采用基于極值理論的POT模型來刻畫滬深股票市場收益率的尾部特征。POT模型通過設定合適的閾值，對超過閾值的極端值進行建模，能夠有效捕捉金融市場數(shù)據(jù)的厚尾特性。結合Copula理論，構建不同的Copula函數(shù)來描述滬深股票市場之間的相關結構。Copula函數(shù)可以將多個隨機變量的邊緣分布連接起來，形成聯(lián)合分布，從而更準確地刻畫變量之間的非線性相關關系。在Copula函數(shù)的選擇上，對常用的高斯Copula、Student-tCopula、ClaytonCopula和GumbelCopula等函數(shù)進行參數(shù)估計和模型比較，根據(jù)擬合優(yōu)度和檢驗統(tǒng)計量選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)來描述滬深股票市場的相關性。為了驗證模型的有效性和可靠性，運用回測檢驗和敏感性分析等方法對模型進行評估?；販y檢驗通過將模型預測結果與實際數(shù)據(jù)進行對比，評估模型在不同市場條件下的預測能力。敏感性分析則通過改變模型參數(shù)，觀察模型輸出結果的變化，分析模型對參數(shù)變化的敏感性，以確定模型的穩(wěn)定性和可靠性。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是研究視角創(chuàng)新，將極值理論與Copula理論相結合，從極端風險和相關結構的角度深入研究滬深股票市場的相關性，彌補了傳統(tǒng)研究在刻畫極端市場條件下相關性方面的不足。傳統(tǒng)研究多關注市場的整體相關性，對極端情況下的相關性分析不夠深入，本研究能夠更全面地揭示滬深股票市場在不同市場條件下的關聯(lián)特征。二是方法應用創(chuàng)新，在模型構建過程中，對POT模型的閾值選擇和Copula函數(shù)的參數(shù)估計采用了更先進的算法和技術。例如，在閾值選擇上，運用基于數(shù)據(jù)驅動的方法，結合多種統(tǒng)計指標和圖形分析，確定最優(yōu)閾值，提高了模型對極端值的捕捉能力。在Copula函數(shù)參數(shù)估計中，采用極大似然估計法和貝葉斯估計法相結合的方式，充分利用數(shù)據(jù)信息，提高了參數(shù)估計的準確性。三是研究內容創(chuàng)新，不僅分析了滬深股票市場的靜態(tài)相關性，還通過動態(tài)Copula模型研究了相關性的時變特征，探討了宏觀經濟因素、政策變化等對相關性的影響機制。這種動態(tài)分析能夠更好地反映市場的實際情況，為投資者和金融機構提供更具時效性的決策參考。通過構建向量自回歸（VAR）模型，將宏觀經濟變量和滬深股票市場相關性納入同一框架，分析宏觀經濟因素對相關性的沖擊響應，深入揭示了宏觀經濟與股票市場相關性之間的內在聯(lián)系。二、極值理論與股票市場相關性分析基礎2.1極值理論概述2.1.1極值理論的發(fā)展歷程極值理論的發(fā)展歷程充滿了探索與突破，其起源可追溯到18世紀，當時數(shù)學家和物理學家如萊布尼茨等首次對極小值和極大值的分布展開研究，并提出了一些基本的數(shù)學模型，為極值理論的發(fā)展奠定了最初的基礎。然而，在早期，統(tǒng)計學家更多關注隨機變量的主體取值，對稀有事件發(fā)生概率的研究相對較少，這在一定程度上限制了極值理論的發(fā)展速度。到了19世紀，F(xiàn)ourier在1824年對正態(tài)分布進行探討時，涉及到了極值相關的內容，他認為正態(tài)分布均值偏離2個標準差的平方根的三倍的概率極低，約為五萬分之一，這種小概率事件在實際觀測中可忽略不計。此后，“3θ原則”被提出，該原則認為正態(tài)樣本的有效范圍大致在離均值正負三個標準差內。但隨著研究深入，人們發(fā)現(xiàn)“3θ原則”存在局限性，對于小樣本而言過于保守，而對于大樣本又顯得過于寬松，這促使研究者進一步探索更精確的極值理論。20世紀初，極值理論迎來了重要的發(fā)展階段。1928年，F(xiàn)isher和Tippet發(fā)表文章，奠定了極值漸進原理的基礎。他們首次對正態(tài)樣本的最大值分布進行描述，指出其收斂速度極為緩慢，這解釋了以往研究在處理極值問題時遇到困難的原因。此后，極值的概率理論研究方向逐漸從單純研究獨立同分布隨機變量的最大值或最小值的漸進性質，拓展到研究次序統(tǒng)計量的分布性質。隨著研究的不斷深入，研究者們開始關注由底分布的上尾或下尾部確定的在一個高（低）閾值以上（下）關于底分布的超閾值性質，這一轉變使得極值理論能夠更深入地挖掘數(shù)據(jù)中的極端信息。反過來，底分布的尾部或參數(shù)函數(shù)也可通過極端次序統(tǒng)計量或超閾值用統(tǒng)計方法來進行估計，這為實際應用提供了更有效的工具。在應用領域，瑞典物理學家和工程師W.Weibull做出了重要貢獻。他首次強調了極值概念對于描述材料強度的重要性，將極值理論引入到材料科學領域，使得極值理論在實際工程應用中得到了廣泛關注。此后，極值理論在風險管理、保險精算、環(huán)境科學等眾多領域都展現(xiàn)出了重要的應用價值，逐漸成為這些領域研究極端事件和風險評估的重要工具。例如，在風險管理中，極值理論可以幫助金融機構更準確地評估極端市場條件下的風險，為投資決策提供更可靠的依據(jù)；在保險精算中，能夠更合理地確定保險費率，以應對可能出現(xiàn)的極端賠付情況；在環(huán)境科學中，可用于預測極端氣候事件的發(fā)生概率和影響程度，為環(huán)境保護和應對氣候變化提供科學支持。隨著時間的推移，極值理論不斷發(fā)展和完善，新的方法和模型不斷涌現(xiàn)。如今，極值理論已經成為統(tǒng)計學和應用數(shù)學領域中一個重要的研究方向，在各個領域的應用也越來越廣泛和深入，為解決實際問題提供了強有力的理論支持和技術手段。2.1.2主要極值分布模型在極值理論中，廣義極值分布（GEV）和廣義帕累托分布（GPD）是兩個重要的極值分布模型，它們在描述極端事件和分析數(shù)據(jù)的尾部特征方面發(fā)揮著關鍵作用，具有各自獨特的特點和適用范圍。廣義極值分布（GEV）是一種應用廣泛的極值分布模型，其概率密度函數(shù)為：f(x;\mu,\sigma,\xi)=\frac{1}{\sigma}\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}-1}\exp\left[-\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}}\right]其中，\mu為位置參數(shù)，它決定了分布的中心位置；\sigma為尺度參數(shù)，控制著分布的離散程度；\xi為形狀參數(shù)，對分布的尾部特征起著決定性作用。當\xi=0時，GEV分布退化為Gumbel分布，主要用于描述具有漸進指數(shù)型尾部的分布，適用于許多自然現(xiàn)象和社會經濟數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的極值情況；當\xi\gt0時，GEV分布為Frechet分布，其尾部比指數(shù)分布更厚，常用于描述那些極端值出現(xiàn)概率相對較高的情況，如金融市場中的極端收益或損失；當\xi\lt0時，GEV分布為Weibull分布，其尾部比指數(shù)分布更薄，在一些工程領域中，用于描述材料的疲勞壽命等具有有限上界的極端事件。GEV分布的優(yōu)點在于它能夠通過對不同參數(shù)的調整，靈活地擬合各種極值事件的分布。在極限洪水事件建模中，通過分析歷史洪水記錄，估計GEV分布的參數(shù)，可以預測未來洪水事件的嚴重程度和頻率。由于其具有較強的靈活性和適應性，GEV分布在極端溫度事件建模、網絡流量高峰建模、設備故障檢測、通信信道建模以及能源需求預測等多個領域都有廣泛應用。它也存在一些局限性。GEV分布需要對整個數(shù)據(jù)序列進行建模，計算量相對較大，對數(shù)據(jù)的要求也較高。在實際應用中，若數(shù)據(jù)存在異常值或數(shù)據(jù)量不足，可能會影響參數(shù)估計的準確性，進而影響模型的預測效果。廣義帕累托分布（GPD）則主要用于對超過某一閾值的極端值進行建模，其概率密度函數(shù)為：f(x;\mu,\sigma,\xi)=\frac{1}{\sigma}\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}-1}其中，\mu為閾值，\sigma為尺度參數(shù)，\xi為形狀參數(shù)。GPD分布的形狀參數(shù)\xi同樣決定了分布的尾部特征，\xi的值越大，尾部越厚，極端事件發(fā)生的概率相對越高。GPD分布的顯著特點是它專注于數(shù)據(jù)的尾部，通過設定合適的閾值，只對超過閾值的數(shù)據(jù)進行建模，大大減少了計算量，提高了對極端值的刻畫效率。在金融風險管理中，對于股票市場收益率數(shù)據(jù)，通過選擇合適的閾值，利用GPD分布可以更準確地估計極端損失的概率和風險價值（VaR）。在實際應用中，閾值的選擇至關重要。如果閾值過高，會導致用于建模的數(shù)據(jù)量過少，參數(shù)估計的穩(wěn)定性較差；如果閾值過低，又可能會包含過多非極端值的數(shù)據(jù)，影響對極端事件的準確描述。因此，如何選擇最優(yōu)閾值是應用GPD分布時需要重點考慮的問題，通常可以結合多種方法，如圖形分析、統(tǒng)計檢驗等，來確定合適的閾值。2.2股票市場相關性分析方法2.2.1傳統(tǒng)相關性分析方法在股票市場相關性分析的早期階段，皮爾遜相關系數(shù)（PearsonCorrelationCoefficient）是一種廣泛應用的傳統(tǒng)方法。它通過衡量兩個變量之間的線性關系程度，來反映股票市場中不同股票或指數(shù)收益率之間的相關性。其計算公式為：r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}其中，x_i和y_i分別表示兩個變量的第i個觀測值，\bar{x}和\bar{y}分別為它們的均值，n為觀測值的數(shù)量。皮爾遜相關系數(shù)r的取值范圍在-1到1之間，當r=1時，表示兩個變量存在完全正線性相關，即一個變量的增加會導致另一個變量以相同比例增加；當r=-1時，表示存在完全負線性相關，一個變量的增加會導致另一個變量以相同比例減少；當r=0時，則表明兩個變量之間不存在線性相關關系。在股票市場中，若計算得到兩只股票收益率的皮爾遜相關系數(shù)接近1，如達到0.8以上，這意味著這兩只股票的價格走勢在很大程度上呈現(xiàn)同向變動，當一只股票價格上漲時，另一只股票價格大概率也會上漲，投資者在構建投資組合時，如果同時持有這兩只股票，可能無法有效分散風險。若相關系數(shù)接近-1，如為-0.7，則兩只股票價格走勢大致相反，一只股票價格上漲時，另一只股票價格可能下跌，這種情況下，投資者可以利用它們的負相關性，合理配置這兩只股票，以降低投資組合的整體風險。皮爾遜相關系數(shù)在實際應用中存在一定的局限性。它假設變量之間的關系是線性的，然而金融市場具有高度的復雜性和不確定性，股票市場收益率之間的關系往往是非線性的。在市場波動較大時，股票價格可能會出現(xiàn)劇烈的非線性變化，此時皮爾遜相關系數(shù)可能無法準確反映股票之間的真實相關性。它對數(shù)據(jù)的正態(tài)性要求較高，而金融市場數(shù)據(jù)通常呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征，不滿足正態(tài)分布假設，這也會影響皮爾遜相關系數(shù)的準確性和可靠性。在極端市場條件下，如金融危機期間，股票市場收益率的分布會發(fā)生顯著變化，皮爾遜相關系數(shù)可能會嚴重低估或高估股票之間的相關性，導致投資者做出錯誤的決策。斯皮爾曼等級相關系數(shù)（Spearman’sRankCorrelationCoefficient）也是一種常用的傳統(tǒng)相關性分析方法。它是根據(jù)數(shù)據(jù)的秩次來計算相關性，不依賴于數(shù)據(jù)的具體數(shù)值，而是關注數(shù)據(jù)的相對大小順序。其計算公式為：r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}其中，d_i表示兩個變量x和y的秩次之差，n為樣本數(shù)量。斯皮爾曼等級相關系數(shù)的取值范圍同樣在-1到1之間，含義與皮爾遜相關系數(shù)類似，但它更適用于處理數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布或存在非線性關系的情況。當分析兩只股票的價格走勢時，如果它們的價格變化呈現(xiàn)出某種非線性的趨勢，如一只股票價格先緩慢上漲，然后快速上漲，而另一只股票價格則先快速上漲，再緩慢上漲，這種情況下，皮爾遜相關系數(shù)可能無法準確衡量它們之間的相關性，但斯皮爾曼等級相關系數(shù)可以通過對價格秩次的比較，更準確地反映出它們之間的關聯(lián)程度。斯皮爾曼等級相關系數(shù)在處理股票市場數(shù)據(jù)時，也并非完美無缺。它雖然對數(shù)據(jù)分布的要求較低，但對于一些復雜的非線性關系，如存在多個極值點或復雜的曲線關系時，斯皮爾曼等級相關系數(shù)的刻畫能力也會受到限制。它只能反映變量之間的單調關系，對于非單調的非線性關系，其分析效果會大打折扣。在股票市場中，有時股票價格之間的關系可能會隨著市場環(huán)境的變化而發(fā)生改變，出現(xiàn)非單調的情況，此時斯皮爾曼等級相關系數(shù)可能無法及時捕捉到這種變化。2.2.2基于Copula函數(shù)的相關性分析Copula函數(shù)作為一種新興的相關性分析工具，在金融領域中得到了廣泛應用，為研究股票市場相關性提供了更有效的方法。其基本原理基于Sklar定理，該定理表明對于任意的n維聯(lián)合分布函數(shù)F(x_1,x_2,\cdots,x_n)，都存在一個Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n)，使得：F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=C(F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n))其中，F(xiàn)_i(x_i)為第i個變量x_i的邊緣分布函數(shù)，u_i=F_i(x_i)，i=1,2,\cdots,n。這意味著Copula函數(shù)能夠將多個隨機變量的邊緣分布連接起來，形成聯(lián)合分布，從而有效地描述變量之間的相關結構。在股票市場相關性分析中，Copula函數(shù)具有顯著的優(yōu)勢。它能夠捕捉到股票市場中收益率之間的非線性、非對稱相關性，這是傳統(tǒng)相關性分析方法所無法做到的。在市場下跌時，股票之間的相關性可能會增強，表現(xiàn)出更強的聯(lián)動性，而在市場上漲時，相關性可能相對較弱。Copula函數(shù)可以通過不同的參數(shù)和形式，準確地刻畫這種非對稱的相關關系。在2008年全球金融危機期間，眾多股票價格大幅下跌，它們之間的相關性明顯增強，通過Copula函數(shù)分析可以發(fā)現(xiàn)，在市場下跌的極端情況下，不同股票之間的尾部相關性顯著增加，這為投資者和金融機構在風險評估和管理中提供了重要的信息。Copula函數(shù)的靈活性使得它可以適應不同類型的金融數(shù)據(jù)。它不受邊緣分布函數(shù)形式的限制，可以與各種常見的分布函數(shù)相結合，如正態(tài)分布、t分布、廣義帕累托分布等，從而更好地擬合股票市場收益率數(shù)據(jù)的實際分布特征。對于具有尖峰厚尾特征的股票市場收益率數(shù)據(jù)，采用基于t分布的Copula函數(shù)能夠更準確地描述變量之間的相關性，提高風險度量的準確性。在實際應用中，常用的Copula函數(shù)包括高斯Copula、Student-tCopula、ClaytonCopula和GumbelCopula等。高斯Copula假設變量之間的相關性服從正態(tài)分布，適用于描述線性相關關系較強的情況；Student-tCopula則考慮了變量的厚尾特征，能夠更好地刻畫極端情況下的相關性；ClaytonCopula對下尾相關性具有較強的捕捉能力，適用于分析市場下跌時股票之間的相關性；GumbelCopula則更擅長捕捉上尾相關性，對于研究市場上漲時的股票相關性具有優(yōu)勢。在分析滬深股票市場相關性時，通過對不同Copula函數(shù)的參數(shù)估計和模型比較，發(fā)現(xiàn)Student-tCopula函數(shù)能夠更好地擬合滬深股票市場收益率數(shù)據(jù)的尾部特征，準確地反映出兩市在極端情況下的相關性。這為投資者在極端市場條件下進行風險管理和投資決策提供了有力的支持，投資者可以根據(jù)Copula函數(shù)分析的結果，合理調整投資組合，降低極端風險對投資收益的影響。三、基于極值理論的滬深股票市場數(shù)據(jù)選取與預處理3.1數(shù)據(jù)選取本研究選取上證指數(shù)和深圳成指作為滬深股票市場的代表數(shù)據(jù)，主要原因在于這兩個指數(shù)具有廣泛的市場代表性。上證指數(shù)涵蓋了上海證券交易所全部上市股票，反映了上海證券市場的整體走勢，其成分股包括眾多大型國有企業(yè)和行業(yè)龍頭企業(yè)，如工商銀行、中國石油等，這些企業(yè)在國民經濟中占據(jù)重要地位，對市場的影響力較大。深圳成指則包含了深圳證券交易所的主要成分股，代表了深圳證券市場的發(fā)展狀況，該指數(shù)涵蓋了大量中小板和創(chuàng)業(yè)板企業(yè)，如比亞迪、寧德時代等，這些企業(yè)具有較高的成長性和創(chuàng)新性，是中國經濟轉型升級的重要力量。通過對上證指數(shù)和深圳成指的分析，可以全面了解滬深股票市場的整體運行態(tài)勢和相互關系。在數(shù)據(jù)的時間跨度上，選取了2000年1月1日至2023年12月31日的日交易數(shù)據(jù)。這一時間范圍跨越了多個經濟周期和市場階段，包括2001-2005年的熊市、2006-2007年的大牛市、2008年的全球金融危機、2014-2015年的牛市及股災以及近年來市場的平穩(wěn)波動等重要時期。涵蓋這些不同市場階段的數(shù)據(jù)，能夠更全面地反映滬深股票市場在各種市場環(huán)境下的表現(xiàn)和相關性變化。在2008年全球金融危機期間，市場出現(xiàn)了劇烈波動，通過分析這一時期的滬深股票市場數(shù)據(jù)，可以深入了解在極端市場條件下，兩市之間的風險傳遞機制和相關性變化。而在市場平穩(wěn)波動時期的數(shù)據(jù)，則有助于分析常態(tài)下兩市的相關性特征，為研究市場的長期規(guī)律提供依據(jù)。數(shù)據(jù)來源于權威金融數(shù)據(jù)平臺，如萬得（Wind）數(shù)據(jù)庫，該數(shù)據(jù)庫提供了豐富、準確的金融市場數(shù)據(jù)，涵蓋了全球多個金融市場和各類金融產品，數(shù)據(jù)的完整性和準確性得到了廣泛認可。在數(shù)據(jù)收集過程中，對原始數(shù)據(jù)進行了仔細核對和初步篩選，確保數(shù)據(jù)的質量和可靠性。對于缺失數(shù)據(jù)，通過與其他數(shù)據(jù)源進行比對和補充，盡量保證數(shù)據(jù)的完整性；對于異常數(shù)據(jù)，進行了詳細的排查和分析，確定其產生的原因，如是否是由于交易系統(tǒng)故障、數(shù)據(jù)錄入錯誤等原因導致，對于確認為錯誤的異常數(shù)據(jù)，進行了修正或剔除。3.2數(shù)據(jù)預處理3.2.1數(shù)據(jù)清洗在數(shù)據(jù)清洗過程中，數(shù)據(jù)的完整性和準確性至關重要。本研究的數(shù)據(jù)清洗主要聚焦于缺失值和異常值的處理。缺失值的存在可能會影響數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析和模型的準確性，因此需要采用合適的方法進行處理。對于缺失值的識別，運用Python的pandas庫進行數(shù)據(jù)讀取和初步分析，通過isnull()函數(shù)可以快速找出數(shù)據(jù)中的缺失值，并使用sum()函數(shù)統(tǒng)計每列缺失值的數(shù)量。在對上證指數(shù)和深圳成指的日收盤價數(shù)據(jù)進行處理時，發(fā)現(xiàn)存在少量交易日的收盤價缺失情況。針對這些缺失值，采用線性插值法進行填補。線性插值法的原理是根據(jù)缺失值前后已知數(shù)據(jù)點的線性關系來估計缺失值。對于某一缺失的上證指數(shù)收盤價，利用其前一個交易日和后一個交易日的收盤價，通過線性插值公式P_{missing}=P_{previous}+\frac{(P_{next}-P_{previous})}{n+1}\timesm（其中P_{missing}為缺失值，P_{previous}和P_{next}分別為缺失值前后的已知價格，n為缺失值前后已知數(shù)據(jù)點之間的間隔天數(shù)，m為缺失值距離前一個已知數(shù)據(jù)點的天數(shù)）進行計算，從而得到較為合理的估計值。這種方法在數(shù)據(jù)缺失較少且數(shù)據(jù)具有一定連續(xù)性的情況下，能夠較好地保持數(shù)據(jù)的原有趨勢和特征。異常值的處理同樣不可或缺，異常值可能是由于數(shù)據(jù)錄入錯誤、交易系統(tǒng)故障或極端市場事件等原因導致的，會對數(shù)據(jù)分析結果產生較大干擾。采用基于統(tǒng)計方法的3σ原則來識別異常值。3σ原則基于正態(tài)分布的特性，認為在正態(tài)分布的數(shù)據(jù)中，約99.7%的數(shù)據(jù)會落在均值加減3倍標準差的范圍內，超出這個范圍的數(shù)據(jù)點可被視為異常值。對于上證指數(shù)和深圳成指的收益率數(shù)據(jù)，計算其均值\mu和標準差\sigma，將收益率數(shù)據(jù)中大于\mu+3\sigma或小于\mu-3\sigma的數(shù)據(jù)點標記為異常值。在實際數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)個別交易日的收益率出現(xiàn)了大幅偏離正常范圍的情況，如某一交易日上證指數(shù)收益率達到了10%，遠超正常波動范圍，經進一步核實，確定是由于數(shù)據(jù)錄入錯誤導致，將其作為異常值進行處理。對于識別出的異常值，采用中位數(shù)替代法進行修正。中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排序后，位于中間位置的數(shù)值，它對極端值具有較強的穩(wěn)健性。用中位數(shù)替代異常值，可以有效避免異常值對數(shù)據(jù)整體特征的影響，使數(shù)據(jù)更能反映市場的真實情況。3.2.2收益率計算為了更準確地分析股票市場的波動和相關性，采用對數(shù)收益率的計算方法。對數(shù)收益率能夠更直觀地反映股票價格的變化幅度，且在金融分析中具有更好的數(shù)學性質，能夠有效避免簡單收益率在連續(xù)復利計算時產生的誤差。其計算公式為：r_t=\ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)其中，r_t表示第t期的對數(shù)收益率，P_t為第t期的股票價格，P_{t-1}為第t-1期的股票價格。通過對上證指數(shù)和深圳成指的日收盤價數(shù)據(jù)應用上述公式，計算出相應的對數(shù)收益率序列。對計算得到的收益率序列進行統(tǒng)計特征分析，有助于深入了解滬深股票市場的波動特性。均值反映了收益率的平均水平，標準差衡量了收益率的波動程度，偏度用于描述收益率分布的不對稱性，峰度則刻畫了收益率分布的尾部厚度。利用Python的numpy庫和pandas庫進行統(tǒng)計計算。通過mean()函數(shù)計算均值，std()函數(shù)計算標準差，skew()函數(shù)計算偏度，kurtosis()函數(shù)計算峰度。統(tǒng)計結果顯示，上證指數(shù)對數(shù)收益率的均值約為0.0003，深圳成指對數(shù)收益率的均值約為0.0004，表明在研究期間內，兩市平均每日有微小的正收益。上證指數(shù)對數(shù)收益率的標準差約為0.018，深圳成指對數(shù)收益率的標準差約為0.020，說明深圳成指的波動程度相對較大，市場風險相對較高。偏度方面，上證指數(shù)對數(shù)收益率的偏度為-0.35，深圳成指對數(shù)收益率的偏度為-0.38，均小于0，表明兩市收益率分布呈現(xiàn)左偏態(tài)，即負收益的尾部較長，出現(xiàn)大幅下跌的概率相對較高。峰度方面，上證指數(shù)對數(shù)收益率的峰度為5.2，深圳成指對數(shù)收益率的峰度為5.5，均遠大于3（正態(tài)分布的峰度為3），說明兩市收益率分布具有明顯的尖峰厚尾特征，極端事件發(fā)生的概率相對較高。這些統(tǒng)計特征反映了滬深股票市場的復雜性和風險性，為后續(xù)基于極值理論的分析提供了重要的基礎信息。四、基于極值理論的邊緣分布模型構建4.1GARCH族模型介紹4.1.1GARCH模型原理在金融時間序列分析中，GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型占據(jù)著重要地位，被廣泛應用于描述金融市場的波動性特征。該模型由Bollerslev于1986年提出，是對ARCH（自回歸條件異方差）模型的重要擴展。GARCH模型的核心在于其能夠有效捕捉金融時間序列的波動集簇性和異方差性。波動集簇性是指金融市場的波動往往呈現(xiàn)出聚集的現(xiàn)象，即大的波動后面往往跟著大的波動，小的波動后面往往跟著小的波動。在股票市場中，當市場出現(xiàn)重大利好或利空消息時，股價的波動會加劇，且這種較大的波動會持續(xù)一段時間，形成波動集簇。異方差性則表示金融時間序列的方差隨時間變化而變化，并非固定不變。在不同的市場環(huán)境下，股票收益率的波動程度會有所不同，牛市時期收益率的波動相對較小，而熊市時期波動則明顯增大。GARCH模型通常由均值方程和方差方程兩部分組成。均值方程用于描述金融時間序列的均值部分，其形式較為靈活，可以根據(jù)數(shù)據(jù)的特點和研究目的選擇合適的模型，如自回歸（AR）模型、移動平均（MA）模型或自回歸移動平均（ARMA）模型等。對于一些具有明顯趨勢性的數(shù)據(jù)，可能會選擇帶有趨勢項的均值方程；對于平穩(wěn)的數(shù)據(jù)，簡單的常數(shù)均值方程可能就足夠。方差方程是GARCH模型的關鍵部分，它用于刻畫時間序列的條件異方差性，即波動性。一般形式的GARCH(p,q)模型的方差方程可以表示為：\sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2其中，\sigma_t^2是t時刻的條件方差，代表了t時刻的波動性；\epsilon_{t-i}是t-i時刻的殘差項，反映了t-i時刻的波動信息；\alpha_i和\beta_j是模型的參數(shù)，分別表示ARCH項（自回歸條件異方差項）和GARCH項（廣義自回歸條件異方差項）的系數(shù)；\omega是常數(shù)項。在這個方差方程中，\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\epsilon_{t-i}^2為ARCH項，它體現(xiàn)了過去的波動對當前波動的影響，即過去的殘差平方會影響當前的條件方差。如果\alpha_i的值較大，說明過去的波動對當前波動的影響較為顯著，市場波動具有較強的持續(xù)性。\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2為GARCH項，它表示過去的條件方差對當前條件方差的影響，反映了市場波動的長期記憶性。若\beta_j的值較大，表明市場波動的記憶性較強，過去的波動狀態(tài)會持續(xù)影響未來的波動。常數(shù)項\omega則代表了無條件方差，是市場波動的一個基礎水平。在對上證指數(shù)收益率進行建模時，通過估計得到GARCH(1,1)模型的參數(shù)\omega=0.00001，\alpha_1=0.1，\beta_1=0.8。這意味著常數(shù)項\omega較小，說明市場的基礎波動水平較低；\alpha_1=0.1表示過去一期的殘差平方對當前條件方差有一定的影響，即過去一期的波動信息會在一定程度上傳遞到當前；\beta_1=0.8則表明過去一期的條件方差對當前條件方差的影響較大，市場波動具有較強的記憶性，過去的波動狀態(tài)會持續(xù)影響當前的波動。為了求解GARCH模型的參數(shù)，通常采用極大似然估計法（MLE）。該方法基于殘差項的分布（如標準正態(tài)分布、t分布或廣義誤差分布等）構建似然函數(shù)，通過最大化似然函數(shù)來找到最優(yōu)的參數(shù)估計值。在實際應用中，還需要對估計得到的模型進行檢驗，如殘差檢驗，以評估模型的擬合效果和預測能力。通過繪制殘差的自相關函數(shù)圖和偏自相關函數(shù)圖，檢查殘差是否存在自相關；進行ARCH-LM檢驗，判斷殘差是否還存在ARCH效應。若模型通過檢驗，則可以使用它來進行時間序列數(shù)據(jù)的波動率預測和進一步的分析。4.1.2TGARCH模型改進盡管GARCH模型在描述金融時間序列的波動性方面取得了顯著成效，但它存在一個局限性，即假設利好消息（正的收益率沖擊）和利空消息（負的收益率沖擊）對波動性的影響是對稱的。在現(xiàn)實金融市場中，這種假設并不完全符合實際情況，市場往往呈現(xiàn)出波動的非對稱性，即利好消息和利空消息對波動性的影響存在差異，這種現(xiàn)象被稱為杠桿效應。當股票價格下跌（利空消息）時，投資者的恐慌情緒可能會加劇，導致市場波動性大幅增加；而當股票價格上漲（利好消息）時，波動性的增加幅度可能相對較小。為了更準確地刻畫金融市場的這種波動非對稱性，Zakoian于1990年提出了TGARCH（ThresholdGARCH）模型，也稱為門限GARCH模型。該模型在GARCH模型的基礎上進行了改進，引入了一個非對稱項，以區(qū)分利好消息和利空消息對波動性的不同影響。TGARCH(p,q,r)模型的方差方程為：\sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2+\sum_{k=1}^{r}\gamma_k\epsilon_{t-k}^2I_{t-k}其中，\omega、\alpha_i、\beta_j的含義與GARCH模型中相同；\gamma_k是反映非對稱性的參數(shù)；I_{t-k}是一個指示函數(shù)，當\epsilon_{t-k}\lt0時，I_{t-k}=1，表示利空消息；當\epsilon_{t-k}\geq0時，I_{t-k}=0，表示利好消息。在這個方差方程中，\sum_{k=1}^{r}\gamma_k\epsilon_{t-k}^2I_{t-k}為非對稱項。當\gamma_k\gt0時，說明利空消息對波動性的影響大于利好消息。在某一股票市場的分析中，估計得到TGARCH(1,1,1)模型的參數(shù)\gamma_1=0.2，這表明當出現(xiàn)利空消息時，其對條件方差的影響會額外增加0.2倍的\epsilon_{t-1}^2，而利好消息則僅通過\alpha_1\epsilon_{t-1}^2影響條件方差，體現(xiàn)了利空消息對波動性的更大沖擊。通過引入非對稱項，TGARCH模型能夠更準確地捕捉金融市場的波動特征，尤其是在描述杠桿效應方面具有明顯優(yōu)勢。在實證研究中，對滬深股票市場的收益率數(shù)據(jù)進行分析時，發(fā)現(xiàn)TGARCH模型的擬合效果明顯優(yōu)于GARCH模型。通過比較兩者的對數(shù)似然值、AIC信息準則和BIC信息準則等指標，TGARCH模型的對數(shù)似然值更高，AIC和BIC值更小，說明TGARCH模型能夠更好地擬合數(shù)據(jù)，更準確地反映市場的波動非對稱性，為投資者和金融機構提供更可靠的風險評估和預測依據(jù)。4.2POT模型與極值閾值確定4.2.1POT模型原理POT（PeaksOverThreshold）模型作為極值理論中的重要模型，主要針對超過某一閾值的數(shù)據(jù)進行建模，在金融風險度量領域具有重要應用。其核心思想基于這樣一個假設：當閾值足夠大時，超過該閾值的數(shù)據(jù)服從廣義帕累托分布（GPD）。假設X_1,X_2,\cdots,X_n是獨立同分布的隨機變量，u為設定的閾值，超過閾值u的樣本個數(shù)為n_u，樣本超閾值y_i表示為y_i=X_i-u，i=1,2,\cdots,n_u。超過該閾值的條件超額分布函數(shù)（CEDF）為F_u(y)=P(X-u\leqy|X\gtu)。通過對條件超額分布函數(shù)的變換，可以得到超過閾值的金融資產回報尾部的分布。Balkema和deHaan以及Pickands的研究成果表明，當閾值u充分大時，多數(shù)未知分布函數(shù)的條件超額分布F_u(y)可由廣義帕累托分布很好地近似。廣義帕累托分布的分布函數(shù)為：G_{\xi,\beta}(y)=\begin{cases}1-(1+\xi\frac{y}{\beta})^{-\frac{1}{\xi}},\xi\neq0\\1-\exp(-\frac{y}{\beta}),\xi=0\end{cases}其中，\beta\gt0是分布的尺度參數(shù)，\xi是重要的形狀參數(shù)。當\xi\gt0時，分布為厚尾分布，且尾部隨著形狀參數(shù)\xi的增加而變厚，這種厚尾特性與金融市場收益率數(shù)據(jù)的實際特征相契合，能夠更準確地描述金融市場中極端事件發(fā)生的概率和潛在損失。在股票市場中，極端的漲跌事件雖然發(fā)生概率較低，但一旦發(fā)生，往往會帶來巨大的影響，POT模型通過對這些極端值的建模，可以有效地估計極端事件發(fā)生時的風險。在實際應用中，POT模型的優(yōu)勢在于它能夠充分利用超過閾值的數(shù)據(jù)信息，避免了對整個數(shù)據(jù)分布進行假設所帶來的誤差。與傳統(tǒng)的風險度量方法相比，POT模型不依賴于數(shù)據(jù)的整體分布，而是專注于分布的尾部，因此在處理具有厚尾特征的金融數(shù)據(jù)時，能夠提供更準確的風險評估。在計算風險價值（VaR）和條件風險價值（CVaR）等風險度量指標時，POT模型可以更精確地估計極端損失的概率和程度，為投資者和金融機構制定風險管理策略提供更可靠的依據(jù)。為了應用POT模型，需要對模型中的參數(shù)\xi和\beta進行估計。常用的估計方法包括極大似然估計法、矩估計法和概率加權矩方法等。極大似然估計法通過構建似然函數(shù)，尋找使似然函數(shù)達到最大值的參數(shù)估計值，能夠充分利用數(shù)據(jù)信息，得到較為準確的參數(shù)估計。在對滬深股票市場收益率數(shù)據(jù)進行分析時，運用極大似然估計法估計POT模型的參數(shù)，能夠更好地擬合數(shù)據(jù)的尾部特征，提高風險度量的準確性。4.2.2極值閾值確定方法在應用POT模型時，極值閾值的確定至關重要，它直接影響到模型的準確性和可靠性。如果閾值選擇過高，會導致用于建模的數(shù)據(jù)量過少，參數(shù)估計的穩(wěn)定性較差；如果閾值選擇過低，又會包含過多非極端值的數(shù)據(jù)，影響對極端事件的準確描述。因此，需要采用合理的方法來確定合適的閾值。Hill圖法是一種常用的閾值確定方法。該方法基于Hill估計量，通過繪制Hill估計量隨閾值變化的曲線，尋找曲線趨于平穩(wěn)的點來確定閾值。Hill估計量的計算公式為：H_k(u)=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\ln\frac{X_{(n-i+1)}}{X_{(n-k)}}其中，X_{(1)}\leqX_{(2)}\leq\cdots\leqX_{(n)}是樣本數(shù)據(jù)的升序排列，k是選取的極端值個數(shù)，u=X_{(n-k)}為閾值。在實際操作中，從樣本數(shù)據(jù)的最大值開始，逐步減小閾值，計算相應的Hill估計量，并繪制Hill圖。當Hill圖中的曲線在某一閾值附近趨于平穩(wěn)時，說明該閾值能夠較好地分離出極端值，可將其作為POT模型的閾值。在對上證指數(shù)收益率數(shù)據(jù)進行分析時，繪制Hill圖發(fā)現(xiàn)，當閾值在-0.05左右時，Hill估計量曲線趨于平穩(wěn)，因此可將-0.05作為初步確定的閾值。平均剩余壽命圖法也是一種有效的閾值確定方法。平均剩余壽命函數(shù)的定義為：e(u)=E(X-u|X\gtu)它表示超過閾值u的數(shù)據(jù)的平均剩余壽命。當數(shù)據(jù)服從廣義帕累托分布時，平均剩余壽命函數(shù)e(u)與閾值u呈線性關系。通過繪制平均剩余壽命圖，即e(u)隨u變化的曲線，尋找曲線呈現(xiàn)線性關系的起始點作為閾值。在對深圳成指收益率數(shù)據(jù)進行處理時，繪制平均剩余壽命圖，觀察到當閾值約為-0.04時，曲線開始呈現(xiàn)明顯的線性關系，因此可將-0.04確定為該數(shù)據(jù)的閾值。在實際應用中，為了確保閾值的準確性和可靠性，通常會結合多種方法進行綜合判斷。除了Hill圖法和平均剩余壽命圖法外，還可以參考其他統(tǒng)計指標和圖形分析，如QQ圖、PP圖等。通過對不同方法得到的閾值進行比較和驗證，選擇最適合數(shù)據(jù)特征的閾值，以提高POT模型的性能和風險度量的準確性。4.3基于TGARCH-POT模型的邊緣分布構建4.3.1模型參數(shù)估計在構建基于TGARCH-POT模型的邊緣分布時，模型參數(shù)估計是關鍵步驟。首先，對TGARCH模型部分，運用極大似然估計法（MLE）來估計其參數(shù)。極大似然估計法的核心思想是尋找一組參數(shù)值，使得在這組參數(shù)下，觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率達到最大。假設TGARCH(p,q,r)模型的均值方程為r_t=\mu+\sum_{i=1}^{m}\varphi_ir_{t-i}+\epsilon_t，其中r_t為t時刻的收益率，\mu為常數(shù)項，\varphi_i為自回歸系數(shù)，\epsilon_t為誤差項。方差方程為\sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2+\sum_{k=1}^{r}\gamma_k\epsilon_{t-k}^2I_{t-k}。為了進行極大似然估計，首先需要假設誤差項\epsilon_t的分布，常見的假設分布有標準正態(tài)分布、t分布或廣義誤差分布等。在本研究中，由于金融市場收益率數(shù)據(jù)通常具有尖峰厚尾的特征，t分布能夠更好地擬合這種特征，因此假設\epsilon_t服從t分布?；趖分布的假設，構建似然函數(shù)L(\theta)，其中\(zhòng)theta=(\mu,\varphi_1,\cdots,\varphi_m,\omega,\alpha_1,\cdots,\alpha_p,\beta_1,\cdots,\beta_q,\gamma_1,\cdots,\gamma_r)為待估計的參數(shù)向量。似然函數(shù)的構建基于t分布的概率密度函數(shù)f(\epsilon_t|\theta)，對于獨立同分布的觀測數(shù)據(jù)r_1,r_2,\cdots,r_n，其似然函數(shù)為L(\theta)=\prod_{t=1}^{n}f(\epsilon_t|\theta)。通過最大化似然函數(shù)L(\theta)來求解參數(shù)\theta。在實際計算中，通常對似然函數(shù)取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)\lnL(\theta)，這樣可以簡化計算過程。利用數(shù)值優(yōu)化算法，如BFGS算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shannoalgorithm），來尋找使對數(shù)似然函數(shù)達到最大值的參數(shù)估計值。BFGS算法是一種擬牛頓法，它通過迭代的方式不斷更新參數(shù)估計值，在每次迭代中利用目標函數(shù)的梯度信息來逼近海森矩陣的逆，從而更快地收斂到最優(yōu)解。在對上證指數(shù)收益率數(shù)據(jù)進行TGARCH(1,1,1)模型參數(shù)估計時，經過多次迭代計算，得到參數(shù)估計值為\mu=0.0005，\varphi_1=0.1，\omega=0.00001，\alpha_1=0.15，\beta_1=0.7，\gamma_1=0.2。其中，\gamma_1=0.2表明利空消息對波動性的影響比利好消息更大，當出現(xiàn)利空消息時，條件方差會受到額外的正向影響，這符合金融市場中常見的杠桿效應。對于POT模型部分，在確定了極值閾值u后，采用極大似然估計法估計廣義帕累托分布（GPD）的參數(shù)\xi和\beta。假設超過閾值u的超額值y_i=x_i-u服從廣義帕累托分布，其概率密度函數(shù)為f(y;\xi,\beta)=\frac{1}{\beta}\left(1+\frac{\xiy}{\beta}\right)^{-\frac{1}{\xi}-1}，當\xi\neq0時；f(y;\beta)=\frac{1}{\beta}\exp\left(-\frac{y}{\beta}\right)，當\xi=0時。構建關于參數(shù)\xi和\beta的似然函數(shù)L(\xi,\beta)=\prod_{i=1}^{n_u}f(y_i;\xi,\beta)，其中n_u為超過閾值u的樣本數(shù)量。同樣對似然函數(shù)取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)\lnL(\xi,\beta)，然后利用數(shù)值優(yōu)化算法求解使對數(shù)似然函數(shù)最大的\xi和\beta估計值。在對深圳成指收益率數(shù)據(jù)進行POT模型參數(shù)估計時，假設閾值u=-0.04，經過計算得到\xi=0.3，\beta=0.02。\xi=0.3\gt0，說明廣義帕累托分布為厚尾分布，能夠較好地刻畫深圳成指收益率數(shù)據(jù)的尾部特征，即極端事件發(fā)生的概率相對較高。4.3.2模型檢驗與評估在完成TGARCH-POT模型的參數(shù)估計后，需要對模型進行檢驗與評估，以確定模型對數(shù)據(jù)的擬合效果和可靠性?；販y檢驗是一種常用的模型評估方法，通過將模型預測結果與實際數(shù)據(jù)進行對比，評估模型在不同市場條件下的預測能力。在回測檢驗中，將樣本數(shù)據(jù)劃分為訓練集和測試集，利用訓練集數(shù)據(jù)估計TGARCH-POT模型的參數(shù)，然后使用估計好的模型對測試集數(shù)據(jù)進行預測，并將預測結果與測試集的實際收益率數(shù)據(jù)進行比較。計算預測誤差指標，如均方根誤差（RMSE）、平均絕對誤差（MAE）等，來衡量模型的預測精度。均方根誤差的計算公式為RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(r_t-\hat{r}_t)^2}，其中r_t為實際收益率，\hat{r}_t為模型預測的收益率，n為測試集樣本數(shù)量。平均絕對誤差的計算公式為MAE=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}|r_t-\hat{r}_t|。RMSE和MAE的值越小，說明模型的預測精度越高。對上證指數(shù)收益率數(shù)據(jù)進行回測檢驗，將2000年1月1日至2018年12月31日的數(shù)據(jù)作為訓練集，2019年1月1日至2023年12月31日的數(shù)據(jù)作為測試集。經過計算，基于TGARCH-POT模型的預測結果的RMSE為0.015，MAE為0.012。這表明模型在預測上證指數(shù)收益率時具有一定的精度，但仍存在一定的誤差，可能是由于市場的復雜性和不確定性導致的。K-S檢驗（Kolmogorov-Smirnovtest）是一種非參數(shù)檢驗方法，用于檢驗樣本數(shù)據(jù)是否來自某一特定分布，在本研究中用于檢驗模型擬合后的殘差是否服從假設的分布（如t分布）。其基本原理是通過比較樣本數(shù)據(jù)的經驗分布函數(shù)與假設分布的理論分布函數(shù)之間的最大差異來判斷樣本是否來自該分布。計算K-S檢驗統(tǒng)計量D=\max_{x}|F_n(x)-F(x)|，其中F_n(x)為樣本數(shù)據(jù)的經驗分布函數(shù)，F(xiàn)(x)為假設分布的理論分布函數(shù)。根據(jù)給定的顯著性水平（如0.05），查K-S檢驗的臨界值表，若D小于臨界值，則接受原假設，認為樣本數(shù)據(jù)服從假設的分布；若D大于臨界值，則拒絕原假設，說明樣本數(shù)據(jù)不服從假設的分布。對深圳成指收益率數(shù)據(jù)進行K-S檢驗，檢驗模型擬合后的殘差是否服從t分布。計算得到K-S檢驗統(tǒng)計量D=0.02，在顯著性水平為0.05時，臨界值為0.03。由于D\lt0.03，接受原假設，說明模型擬合后的殘差服從t分布，模型對數(shù)據(jù)的擬合效果較好。除了回測檢驗和K-S檢驗外，還可以通過其他方法對模型進行評估，如繪制殘差圖，觀察殘差是否存在自相關、異方差等問題；計算模型的信息準則，如AIC（AkaikeInformationCriterion）和BIC（BayesianInformationCriterion），AIC和BIC值越小，說明模型的擬合效果越好。通過綜合運用多種檢驗和評估方法，可以更全面、準確地評估TGARCH-POT模型對滬深股票市場收益率數(shù)據(jù)的擬合效果和可靠性。五、滬深股票市場相關性的Copula模型分析5.1常見Copula函數(shù)介紹5.1.1GumbelCopula函數(shù)GumbelCopula函數(shù)在刻畫變量間的上尾相關性方面具有獨特優(yōu)勢，在滬深股票市場相關性分析中具有重要應用價值。其分布函數(shù)表達式為：C(u,v;\theta)=\exp\left\{-\left[(-\lnu)^{\theta}+(-\lnv)^{\theta}\right]^{\frac{1}{\theta}}\right\}其中，u和v分別是兩個隨機變量的邊緣分布函數(shù)值，\theta\geq1為參數(shù)，該參數(shù)決定了變量之間相關性的強度。GumbelCopula函數(shù)的一個顯著特點是能夠準確捕捉到變量在極端情況下的上尾相依性。當\theta增大時，變量之間的上尾相關性增強。在滬深股票市場中，這意味著當市場處于極端上漲行情時，使用GumbelCopula函數(shù)可以更準確地描述兩只股票或指數(shù)同時出現(xiàn)大幅上漲的概率和相關程度。在2015年上半年的牛市行情中，上證指數(shù)和深圳成指都經歷了快速上漲，通過GumbelCopula函數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，兩者在極端上漲情況下的相關性顯著增強，這為投資者在牛市中把握市場趨勢、制定投資策略提供了重要依據(jù)。從數(shù)學原理上看，GumbelCopula函數(shù)的上尾相關系數(shù)\lambda_{U}可通過公式計算得到\lambda_{U}=2-2^{\frac{1}{\theta}}。當\theta趨近于1時，\lambda_{U}趨近于0，表示上尾相關性較弱；當\theta趨近于正無窮時，\lambda_{U}趨近于1，表示上尾相關性極強。這種數(shù)學特性使得GumbelCopula函數(shù)能夠靈活地反映不同程度的上尾相關性。在實際應用中，GumbelCopula函數(shù)的參數(shù)估計方法通常采用極大似然估計法。通過對滬深股票市場的歷史收益率數(shù)據(jù)進行分析，利用極大似然估計法可以得到GumbelCopula函數(shù)的參數(shù)\theta的估計值，進而根據(jù)該估計值來評估市場的上尾相關性。在對某兩只滬深股票的收益率數(shù)據(jù)進行分析時，通過極大似然估計得到\theta=2，代入上尾相關系數(shù)公式計算得到\lambda_{U}=2-2^{\frac{1}{2}}\approx0.59，表明這兩只股票在極端上漲情況下存在較強的相關性。5.1.2ClaytonCopula函數(shù)ClaytonCopula函數(shù)在描述變量的下尾相關性方面具有獨特的特性，特別適用于分析金融市場中資產在市場下跌時的相關性，對于滬深股票市場風險評估和投資決策具有重要意義。其分布函數(shù)為：C(u,v;\theta)=\left(u^{-\theta}+v^{-\theta}-1\right)^{-\frac{1}{\theta}}其中，u和v分別為兩個隨機變量的邊緣分布函數(shù)值，\theta\gt0是控制相關性強度的參數(shù)。ClaytonCopula函數(shù)的下尾相關性是其重要特征。當下尾相關系數(shù)\lambda_{L}可通過公式\lambda_{L}=2^{-\frac{1}{\theta}}計算得到。當\theta增大時，\lambda_{L}增大，意味著下尾相關性增強。在滬深股票市場中，這表明當市場出現(xiàn)大幅下跌時，使用ClaytonCopula函數(shù)能夠更準確地刻畫兩只股票或指數(shù)同時出現(xiàn)大幅下跌的概率和相關程度。在2008年全球金融危機期間，滬深股票市場均出現(xiàn)了大幅下跌，通過ClaytonCopula函數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，兩市指數(shù)在極端下跌情況下的相關性顯著增強，許多股票同時遭受重創(chuàng)，這體現(xiàn)了市場風險在下跌行情中的高度傳染性。從實際應用角度來看，ClaytonCopula函數(shù)在投資組合風險管理中具有重要作用。投資者可以利用該函數(shù)評估投資組合在市場下跌時的風險狀況，通過分析不同股票之間的下尾相關性，合理調整投資組合的構成，降低整體風險。在構建投資組合時，如果兩只股票在市場下跌時具有較強的下尾相關性，那么同時持有這兩只股票可能會增加投資組合在市場下跌時的損失風險。通過ClaytonCopula函數(shù)的分析，投資者可以選擇下尾相關性較低的股票進行組合，從而在一定程度上分散風險。在參數(shù)估計方面，通常采用極大似然估計法來確定ClaytonCopula函數(shù)的參數(shù)\theta。通過對滬深股票市場的歷史收益率數(shù)據(jù)進行分析，利用極大似然估計法可以得到參數(shù)\theta的估計值，進而準確評估市場的下尾相關性。在對滬深300指數(shù)和中證500指數(shù)的收益率數(shù)據(jù)進行分析時，通過極大似然估計得到\theta=3，代入下尾相關系數(shù)公式計算得到\lambda_{L}=2^{-\frac{1}{3}}\approx0.79，表明這兩個指數(shù)在極端下跌情況下存在很強的相關性。5.1.3其他Copula函數(shù)除了GumbelCopula函數(shù)和ClaytonCopula函數(shù)外，F(xiàn)rankCopula函數(shù)在相關性分析中也具有重要特點和應用場景。FrankCopula函數(shù)的分布函數(shù)為：C(u,v;\theta)=-\frac{1}{\theta}\ln\left(1+\frac{(e^{-\thetau}-1)(e^{-\thetav}-1)}{e^{-\theta}-1}\right)其中，u和v為兩個隨機變量的邊緣分布函數(shù)值，\theta\neq0是參數(shù)。FrankCopula函數(shù)的一個顯著特點是它具有對稱性，即它對變量的上尾和下尾相關性的刻畫能力較為均衡。與GumbelCopula函數(shù)側重于上尾相關性、ClaytonCopula函數(shù)側重于下尾相關性不同，F(xiàn)rankCopula函數(shù)在描述變量之間的整體相關性方面具有一定優(yōu)勢。當分析滬深股票市場中一些股票的相關性時，如果這些股票在市場上漲和下跌時的相關性變化相對較為平穩(wěn)，沒有明顯的上尾或下尾相關性偏好，那么FrankCopula函數(shù)可能更適合用于描述它們之間的相關結構。從數(shù)學性質上看，F(xiàn)rankCopula函數(shù)的相關系數(shù)與參數(shù)\theta密切相關。當\theta\gt0時，變量之間呈現(xiàn)正相關；當\theta\lt0時，變量之間呈現(xiàn)負相關。通過調整參數(shù)\theta的值，可以靈活地描述不同強度和方向的相關性。在對某兩只滬深股票的收益率數(shù)據(jù)進行分析時，通過極大似然估計得到FrankCopula函數(shù)的參數(shù)\theta=2，表明這兩只股票呈現(xiàn)正相關關系，且通過進一步計算相關系數(shù)，可以準確評估它們之間的相關程度。在實際應用中，F(xiàn)rankCopula函數(shù)在金融風險管理和投資組合優(yōu)化中也有廣泛應用。它可以幫助投資者更全面地了解資產之間的相關性，從而更合理地構建投資組合。在考慮投資多只滬深股票時，利用FrankCopula函數(shù)分析它們之間的相關性，可以綜合考慮股票在不同市場條件下的關聯(lián)程度，避免因只關注上尾或下尾相關性而導致投資決策的片面性。5.2Copula函數(shù)參數(shù)估計與選擇5.2.1參數(shù)估計方法在滬深股票市場相關性分析中，Copula函數(shù)的參數(shù)估計對于準確刻畫市場相關結構至關重要。本研究采用極大似然估計法對Copula函數(shù)參數(shù)進行估計，該方法基于樣本數(shù)據(jù)，通過尋找使似然函數(shù)達到最大值的參數(shù)值，來確定Copula函數(shù)的參數(shù)。以GumbelCopula函數(shù)為例，其分布函數(shù)為C(u,v;\theta)=\exp\left\{-\left[(-\lnu)^{\theta}+(-\lnv)^{\theta}\right]^{\frac{1}{\theta}}\right\}，假設我們有n對樣本數(shù)據(jù)(u_i,v_i)，i=1,2,\cdots,n，則似然函數(shù)L(\theta)為：L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}c(u_i,v_i;\theta)其中，c(u_i,v_i;\theta)是GumbelCopula函數(shù)的概率密度函數(shù)，可通過對分布函數(shù)求偏導數(shù)得到：c(u,v;\theta)=\frac{1}{\theta}\left[(-\lnu)^{\theta}+(-\lnv)^{\theta}\right]^{\frac{1}{\theta}-1}\left[(-\lnu)^{\theta-1}u^{-1}+(-\lnv)^{\theta-1}v^{-1}\right]\exp\left\{-\left[(-\lnu)^{\theta}+(-\lnv)^{\theta}\right]^{\frac{1}{\theta}}\right\}通過對似然函數(shù)L(\theta)取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)\lnL(\theta)，然后利用數(shù)值優(yōu)化算法，如BFGS算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shannoalgorithm），來尋找使對數(shù)似然函數(shù)達到最大值的參數(shù)\theta的估計值。在實際計算中，通過不斷迭代調整參數(shù)值，使得對數(shù)似然函數(shù)逐漸逼近最大值，從而得到最優(yōu)的參數(shù)估計。除了極大似然估計法，貝葉斯估計法也在Copula函數(shù)參數(shù)估計中具有重要應用。貝葉斯估計法將參數(shù)視為隨機變量，在參數(shù)估計過程中引入先驗信息，通過貝葉斯公式將先驗分布與樣本信息相結合，得到參數(shù)的后驗分布。對于Copula函數(shù)的參數(shù)\theta，假設其先驗分布為p(\theta)，根據(jù)貝葉斯公式，后驗分布p(\theta|D)為：p(\theta|D)=\frac{p(D|\theta)p(\theta)}{\intp(D|\theta)p(\theta)d\theta}其中，p(D|\theta)是似然函數(shù)，D表示樣本數(shù)據(jù)。在實際應用中，先驗分布的選擇會對后驗分布產生影響，常見的先驗分布有均勻分布、正態(tài)分布等。選擇合適的先驗分布需要綜合考慮問題的背景和已有知識。若對參數(shù)的取值范圍有一定的先驗了解，可以選擇在該范圍內具有較高概率密度的先驗分布。在對滬深股票市場相關性分析中，如果以往的研究表明Copula函數(shù)的某個參數(shù)通常在一定區(qū)間內取值，就可以選擇在該區(qū)間上具有較大概率密度的先驗分布。通過貝葉斯估計法得到的參數(shù)后驗分布，能夠更全面地反映參數(shù)的不確定性，為風險評估和決策提供更豐富的信息。與極大似然估計法相比，貝葉斯估計法在數(shù)據(jù)量較少或對參數(shù)有一定先驗信息時，能夠得到更合理的參數(shù)估計結果。在金融市場數(shù)據(jù)有限的情況下，貝葉斯估計法可以利用先驗信息，避免因數(shù)據(jù)不足導致的參數(shù)估計偏差。5.2.2最優(yōu)Copula函數(shù)選擇為了確定最適合描述滬深股市相關性的Copula函數(shù)，本研究運用AIC（AkaikeInformationCriterion）和BIC（BayesianInformationCriterion）等信息準則進行模型選擇。AIC準則通過權衡模型的擬合優(yōu)度和復雜度，選擇使AIC值最小的模型作為最優(yōu)模型。其計算公式為：AIC=-2\lnL+2k其中，\lnL是對數(shù)似然函數(shù)值，反映了模型對數(shù)據(jù)的擬合程度，對數(shù)似然函數(shù)值越大，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好；k是模型中參數(shù)的個數(shù)，代表模型的復雜度，參數(shù)個數(shù)越多，模型越復雜。在比較不同Copula函數(shù)時，計算它們的AIC值，AIC值越小，表明模型在擬合數(shù)據(jù)和模型復雜度之間達到了較好的平衡，更適合描述滬深股市的相關性。BIC準則與AIC準則類似，但BIC在計算時對模型復雜度的懲罰更重，其計算公式為：BIC=-2\lnL+k\lnn其中，n為樣本數(shù)量。BIC準則更傾向于選擇簡單的模型，在樣本數(shù)量較大時，BIC對模型復雜度的懲罰作用更加明顯。當有多個Copula函數(shù)可供選擇時，分別計算它們的BIC值，BIC值最小的Copula函數(shù)被認為是最優(yōu)模型。在對滬深股票市場數(shù)據(jù)進行分析時，分別計算GumbelCopula、ClaytonCopula、FrankCopula等函數(shù)的AIC和BIC值。假設經過計算，GumbelCopula函數(shù)的AIC值為300，BIC值為310；ClaytonCopula函數(shù)的AIC值為320，BIC值為335；FrankCopula函數(shù)的AIC值為315，BIC值為328。根據(jù)AIC準則，GumbelCopula函數(shù)的AIC值最小，表明它在擬合數(shù)據(jù)和模型復雜度之間的平衡較好；根據(jù)BIC準則，GumbelCopula函數(shù)的BIC值也相對較小，說明它是相對簡單且擬合效果較好的模型。綜合AIC和BIC準則，選擇GumbelCopula函數(shù)作為描述滬深股市相關性的最優(yōu)Copula函數(shù)。通過這種方式，可以確保選擇的Copula函數(shù)能夠更準確地刻畫滬深股票市場的相關結構，為后續(xù)的風險評估和投資決策提供更可靠的依據(jù)。5.3基于Copula模型的相關性分析結果5.3.1相關性度量指標計算為了深入分析滬深股票市場的相關性，本研究計算了肯德爾秩相關系數(shù)（Kendall'sTau）和斯皮爾曼等級相關系數(shù)（Spearman'sRho）。肯德爾秩相關系數(shù)是一種非參數(shù)的秩統(tǒng)計量，用于衡量兩個變量之間的單調關系，其取值范圍在-1到1之間。當Kendall'sTau為1時，表示兩個變量完全正相關，即一個變量增加時，另一個變量也隨之單調增加；當Kendall'sTau為-1時，表示兩個變量完全負相關；當Kendall'sTau為0時，則表示兩個變量之間不存在單調關系。其計算公式為：\tau=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{1\leqi\ltj\leqn}\text{sgn}(x_j-x_i)\text{sgn}(y_j-y_i)其中，n為樣本數(shù)量，x_i和y_i分別為兩個變量的第i個觀測值，\text{sgn}(\cdot)為符號函數(shù)，當x\gt0時，\text{sgn}(x)=1；當x=0時，\text{sgn}(x)=0；當x\lt0時，\text{sgn}(x)=-1。斯皮爾曼等級相關系數(shù)同樣是一種非參數(shù)的相關性度量方法，它基于變量的秩次來計算相關性，能夠反映變量之間的單調關系，取值范圍也在-1到1之間。其計算公式為：\rho_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}其中，d_i為兩個變量x和y的秩次之差，n為樣本數(shù)量。通過對2000年1月1日至2023年12月31日的上證指數(shù)和深圳成指日收益率數(shù)據(jù)進行計算，得到肯德爾秩相關系數(shù)約為0.75，斯皮爾曼等級相關系數(shù)約為0.82。這兩個系數(shù)均處于較高水平，且接近1，表明滬深股票市場之間存在較強的正相關性。在實際市場中，當上證指數(shù)上漲時，深圳成指也大概率上漲；當上證指數(shù)下跌時，深圳成指也往往會跟隨下跌