高二考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B十三棱錐的頂點的個數(shù)為13十1=14.2.A依題意得解得父=3,y=—9,父—y=12.3.C錯誤.a十2b—c=a十c十2,B錯誤.易得2a,c,b十c三個向量不共面,C正確.2a—b—2c=2(a—c)—b,D錯誤.4.C當(dāng)m>5時,f=2m2—10m十17為增函數(shù),所以f(m)>f(5)=17,因為|A—|為整數(shù),所以|A—|的最小值為5.B設(shè)該三棱錐的體積為vcm3,表面積為Scm2,該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為rcm,則所以故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為6.D設(shè)a與b的夾角為θ,由a=b十c,得a—b=c,兩邊同時平方得a2—2a●b十b2=c2,所以17.D如圖,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,連接SO,則SO丄平面ABCD.取BC的中點M,連接OM,SM,則上SMO為側(cè)面與底面所成的角.設(shè)AB=BC=a,則,在Rt△SOM中,tan上所以又所以所以正四棱錐S-ABCD的每個側(cè)面均為正三角形,DDCMCMAB所以頂點S的每個面角均為,故正四棱錐S-ABCD在頂點S處的曲率為因為所以十十因為M,D,E,F四點共面,所以十十即十因為當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以λ十μ的最小值為1.9.AC在長方體ABCD-A1B1C1D1中,因為BC丄平面ABB1A1,所以BC丄A1B,所以A正確,B錯誤.因為BDⅡB1D1,BC丄CD,所以C正確,D錯誤.=(—1,0,1),所以B為線段CD的中點,所以點D在平面BOC內(nèi),A正確.因為OA=OB=OC=AB=AC=BC=\2,所以四面體OABC為正四面體,B正確.因為點B到直線OC的距離為且B為線段CD的中點,所以點D到直線OC的距離為錯誤.設(shè)平面AOC的法向量為m=(父,y,義),則令父=1,得m=(1,1,—1),因為C=(—2,0,2),所以點D到平面AOC的距離為正確.11.BCD此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為錯誤.設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為hcm,則解得正確.因為 ,所以當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加5cm時,需要增加的液體的體積為 正確.當(dāng)容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時,設(shè)容器內(nèi)液體的高度為Hcm,體積十則,正確.12.—2依題意得a●b=m十2lg2十lg2513.4;64π設(shè)球O的半徑為R,由正弦定理得則R=4,則點D到平面ABC的距離的最大值為4,球O的表面積為4πR2=64π.連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為坐標(biāo)原點,O—→C,O—的方向分別為父,y軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(1,0,0),D(0,2,0),D1(0,2,4),E(0,—2,2),C1=(—1,2,4),=(0,—4,2),C=(—1,2,0).設(shè)與C1,都垂直的向量為n=(父,y,義),令義=2,得n=(10,1,2),則線段MN的長度的最小值為15.證明:(1)連接AC,則O為AC的中點.……………………2分因為H為棱PA的中點,所以HOⅡPC,…………………4分因為HO丈平面PCD,PCC平面PCD,…………………5分所以HOⅡ平面PCD.………………………6分(2)因為E,F分別為AH,HO的中點,所以EFⅡAO.…7分因為EF丈平面ABCD,AOC平面ABCD,所以EFⅡ平面ABCD.………8分因為點M在棱PD上,且PM=3MD,所以由題意易得,則EMⅡAD,…10分PHMEMAFAOD因為EM丈平面ABCD,ADC平面ABCD,所以EMⅡ平面BCABCD.……………………11分因為EFC平面EFM,EMC平面EFM,EF∩EM=E,所以平面EFMⅡ平面ABCD.……………13分16.解:(1)設(shè)該正四棱臺的高為分解得………………5分(2)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD與底面A1B1C1D1均為正方形,且對應(yīng)邊互相平行,……………………7分 過A作AE丄A1B1,垂足為,易得所以所以●●A=16.…………14分17.(1)證明:“PA丄底面ABCD,:PA丄BC.………………1分“BC丄AB,PA∩AB=A,:BC丄平面PAB.……………3分“BCⅡ平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,:BCⅡAD,………4分 :AD丄平面PAB.…………5分又ADC平面PAD,:平面PAD丄平面PAB.…………6分(2)解:“BCⅡAD,:直線PD與直線BC所成的角為上PDA.………7分“PA丄底面ABCD,:PA丄AD,:tan上即……………8分設(shè)AD為2個單位長度,以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為父軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D(0,2,0),C(2,3,0),P(0,0,3),:C—=(—2,—1,0),—=(0,—2,3).……10分設(shè)平面PCD的法向量為n=(父,y,z),則ABC取父=—3,則y=6,z=4,得n=(—3,6,4).……………12分易知平面PAB的一個法向量為A—=(0,2,0),…………13分則分故平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值為.……………15分18.(1)解:以DA,DC,DD1所在直線分別為父軸,y軸,z軸建立如圖所示A1的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1).A1…………………1分—=(1,1,—1),A—1=(—1,0,0),……………2分—=A1十λD=(λ—1,λ,—λ),……………3分所以A2=(λ—1)2十2λ2=3λ2—2λ十1,…………4分C1D1C1B1B1PCYPCY/B/y當(dāng)時,A2取得最小值,…………………5分此時因為y所以分,0,1),設(shè)平面A1AP的法向量為m=(父,y,z),則即父十λy—λz=0,…………………8分令父=λ,得m=(λ,1—λ,0).………………9分因為所以分因為所以又0<λ<1,所以分②證明:由①知則十…………………15分所以十十所以存在常數(shù)t=2,使得十為定值,…………16分 且該定值為2.………………17分2212y2)…………2分12212y1)=—a×b,所以—(b×a)=a×b.………………………4分12212y1),y1212=0,……6分y1222122y1=0,…………8分2),則\12.……………10分212212,所以1221,…13