2025年上學期高三數學壓軸題挑戰(zhàn)訓練（二）一、函數與導數綜合題（20分）題目：已知函數$f(x)=\sinx\cdot\sin5x$，定義域為$[0,\frac{\pi}{4}]$。（1）求函數$f(x)$的所有極值點；（2）若存在$x_0\in[0,\frac{\pi}{4}]$，使得$f(x_0)>k$成立，求實數$k$的取值范圍；（3）證明：對任意$n\in\mathbb{N}^*$，方程$f(x)=\frac{1}{2^n}$在$[0,\frac{\pi}{4}]$內有且僅有$2n$個解。解題思路分析第（1）問：極值點的求解首先利用三角函數積化和差公式化簡$f(x)$：$f(x)=\sinx\sin5x=\frac{1}{2}[\cos4x-\cos6x]$求導得$f'(x)=\frac{1}{2}[-4\sin4x+6\sin6x]=-2\sin4x+3\sin6x$令$f'(x)=0$，利用$\sin6x=\sin(4x+2x)=\sin4x\cos2x+\cos4x\sin2x$展開，化簡得：$-2\sin4x+3[\sin4x(1-2\sin^2x)+\cos4x\cdot2\sinx\cosx]=0$提取公因式后結合$\sin4x=2\sin2x\cos2x$，最終解得$\sin2x=0$或$\tan4x=\frac{3}{2}$，結合定義域$[0,\frac{\pi}{4}]$，可得極值點為$x=0$，$x=\frac{\pi}{12}$，$x=\frac{\pi}{8}$。第（2）問：恒成立問題的參數范圍由（1）知函數在$[0,\frac{\pi}{12}]$單調遞增，$[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{8}]$單調遞減，$[\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4}]$單調遞增，計算極值點函數值：$f(0)=0$，$f(\frac{\pi}{12})=\frac{1}{2}[\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{2}]=\frac{1}{4}$，$f(\frac{\pi}{8})=\frac{1}{2}[\cos\frac{\pi}{2}-\cos\frac{3\pi}{4}]=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}[\cos\pi-\cos\frac{3\pi}{2}]=-\frac{1}{2}$，故函數最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，因此$k<\frac{\sqrt{2}}{4}$。第（3）問：方程解的個數證明構造函數$g(x)=f(x)-\frac{1}{2^n}$，分析其零點個數。由$f(x)=\frac{1}{2}(\cos4x-\cos6x)$，可知其周期為$\frac{\pi}{2}$，但在$[0,\frac{\pi}{4}]$內，$4x\in[0,\pi]$，$6x\in[0,\frac{3\pi}{2}]$，通過求導分析單調性，結合介值定理可證：在每個周期子區(qū)間內，$g(x)$存在2個零點，共$2n$個解。二、概率與數列綜合題（18分）題目：某乒乓球運動員進行發(fā)球訓練，每次發(fā)球成功的概率為$p(0<p<1)$，且各次發(fā)球相互獨立。定義“訓練回合”：連續(xù)發(fā)球直到出現2次成功或2次失敗為止，該回合結束。設某回合發(fā)球次數為$X$。（1）求$X$的分布列及數學期望$E(X)$；（2）若該運動員每天進行3個回合訓練，記3個回合的平均發(fā)球次數為$Y$，求$Y$的方差$D(Y)$；（3）當$p=\frac{1}{2}$時，記前$n$個回合的總發(fā)球次數為$S_n$，證明：對任意$\epsilon>0$，存在$N\in\mathbb{N}^*$，當$n>N$時，$|\frac{S_n}{n}-3|<\epsilon$。解題思路分析第（1）問：分布列與期望計算$X$的可能取值為2，3。$P(X=2)$：前2次全成功或全失敗，概率為$p^2+(1-p)^2$$P(X=3)$：前2次一成功一失敗，第3次無論成敗均結束，概率為$2p(1-p)$期望$E(X)=2[p^2+(1-p)^2]+3\cdot2p(1-p)=2+2p(1-p)$第（2）問：方差計算每個回合的方差$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，計算得$D(X)=4p(1-p)-4p^2(1-p)^2$，因3個回合獨立，$Y=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$，故$D(Y)=\frac{1}{9}[D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)]=\frac{4p(1-p)}{9}[1-p(1-p)]$第（3）問：大數定律應用當$p=\frac{1}{2}$時，$E(X)=2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=2.5$，由辛欽大數定律，$\frac{S_n}{n}\xrightarrow{P}E(X)=2.5$，但題目結論中常數為3，需修正計算：重新計算$E(X)$：當$p=\frac{1}{2}$時，$P(X=2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，$P(X=3)=\frac{1}{2}$，故$E(X)=2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{2}=2.5$，題目結論應為$2.5$，此處假設題目印刷有誤，按$2.5$證明即可。三、立體幾何與新定義綜合題（16分）題目：在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$在底面$ABCD$內運動，定義“擬距離”$d(P,A_1)=|PA|+|PA_1|$。（1）求$d(P,A_1)$的最小值；（2）若點$P$滿足$d(P,A_1)=4$，求點$P$的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，求三棱錐$P-A_1BD$體積的最大值。解題思路分析第（1）問：最小值計算建立空間直角坐標系，設$P(x,y,0)$，$A_1(0,0,2)$，$A(0,0,0)$，則$d(P,A_1)=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2+4}$，令$t=\sqrt{x^2+y^2}\geq0$，則$f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$，求導得$f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}>0$，故$t=0$時取最小值$2$。第（2）問：軌跡方程由$t+\sqrt{t^2+4}=4$，解得$t=\frac{3}{2}$，即$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{3}{2}$，故軌跡方程為$x^2+y^2=\frac{9}{4}$（$z=0$）。第（3）問：體積最大值三棱錐$P-A_1BD$的體積$V=\frac{1}{3}S_{\triangleA_1BD}\cdoth$，其中$h$為$P$到平面$A_1BD$的距離，平面$A_1BD$的方程為$x+y+z=2$，故$h=\frac{|x+y-2|}{\sqrt{3}}$，由（2）知$x^2+y^2=\frac{9}{4}$，利用柯西不等式$x+y\leq\sqrt{2(x^2+y^2)}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故$h_{\text{max}}=\frac{2+\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$，進而$V_{\text{max}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\cdoth_{\text{max}}=\frac{4}{3}h_{\text{max}}$。四、圓錐曲線與導數綜合題（20分）題目：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的方程；（2）過點$P(0,2)$的直線$l$與橢圓交于$A,B$兩點，設$M$為線段$AB$的中點，連接$OM$（$O$為原點）并延長交橢圓于點$N$，證明：$k_{AB}\cdotk_{ON}$為定值；（3）設函數$f(x)=\lnx-\frac{1}{4}x^2$，若存在$x_1,x_2\in(0,+\infty)$且$x_1\neqx_2$，使得$f(x_1)=f(x_2)$，證明：$x_1+x_2>2$。解題思路分析第（1）問：橢圓方程求解由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$，將點$(2,1)$代入橢圓方程：$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，故橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。第（2）問：斜率乘積定值證明設直線$l:y=kx+2$，與橢圓聯(lián)立得$(1+4k^2)x^2+16kx+8=0$，設$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2}$，$x_M=-\frac{8k}{1+4k^2}$，$y_M=kx_M+2=\frac{2}{1+4k^2}$，直線$OM$的方程為$y=-\frac{1}{4k}x$，與橢圓聯(lián)立得$x_N^2=\frac{8(1+4k^2)}{1+4k^2}=8$，故$k_{ON}=-\frac{1}{4k}$，因此$k_{AB}\cdotk_{ON}=k\cdot(-\frac{1}{4k})=-\frac{1}{4}$（定值）。第（3）問：極值點偏移證明由$f(x_1)=f(x_2)$得$\lnx_1-\frac{1}{4}x_1^2=\lnx_2-\frac{1}{4}x_2^2$，整理得$\frac{\lnx_1-\lnx_2}{x_1^2-x_2^2}=\frac{1}{4}$，令$t=\frac{x_1}{x_2}(t>1)$，則$x_1=tx_2$，代入得$\frac{\lnt}{t^2-1}=\frac{1}{4x_2^2}$，需證$tx_2+x_2>2$，即$x_2>\frac{2}{t+1}$，構造函數$g(t)=\lnt-\frac{(t^2-1)}{4(\frac{2}{t+1})^2}$，求導后可證$g(t)>0$，故原不等式成立。五、新定義與數列綜合題（14分）題目：對于數列${a_n}$，定義“$k$-周期和”：若存在正整數$k$，使得對任意$n\in\mathbb{N}^*$，有$a_{n+k}=a_n+S_k$（其中$S_k$為前$k$項和），則稱${a_n}$為“$k$-周期和數列”。（1）若${a_n}$是“1-周期和數列”，且$a_1=1$，求$a_n$；（2）若${a_n}$是“2-周期和數列”，且$a_1=1$，$a_2=2$，求$a_{2025}$；（3）設${a_n}$是“$k$-周期和數列”，且前$k$項和$S_k=c$（常數），證明：當$c\neq0$時，${a_n}$是等差數列。解題思路分析第（1）問：1-周期和數列由定義，$k=1$時，$a_{n+1}=a_n+S_1=a_n+a_1=a_n+1$，故${a_n}$是首項為1，公差為1的等差數列，$a_n=n$。第（2）問：2-周期和數列$k=2$時，$S_2=1+2=3$，則$a_3=a_1+S_2=4$，$a_4=a_2+S_2=5$，$a_5=a_3+S_2=7$，$a_6=a_4+S_2=8$，觀察規(guī)律：奇數項$a_{2m-1}=3m-2$，偶數項$a_{2m}=3m-1$，2025為奇數，$m=1013$，故$a_{2025}=3\times1013-2=3037$。第（3）問：等差數列證明由定義，$a_{n+k}=a_n+c$，則$a_{n+2k}=a_{n+k}+c=a_n+2c$，依此類推，$a_{n+mk}=a_n+mc$，又$S_{n+k}=S_n+S_k+nc$（累加可得），當$c\neq0$時，${a_n}$的通項可表示為$a_n=a_{n\modk}+\frac{n-(n\modk)}{k}c$，因$a_{n\modk}$為周期數列，要使整體為等差數列，需周期項為常數，即公差為$c/k$，故${a_n}$是等差數列。六、選做題：坐標系與參數方程（10分）題目：在極坐標系中，曲線$C$的極坐標方程為$\rho=4\sin\theta$，直線$l$的參數方程為$\begin{cases}x=t\cos\alpha\y=1+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數，$0\leq\alpha<\pi$）。（1）求曲線$C$的直角坐標方程；（2）設直線$l$與曲線$C$交于$A,B$兩點，若$|AB|=2\sqrt{3}$，求$\alpha$的值。解題思路分析第（1）問：直角坐標方程轉化由$\rho=4\sin\theta$得$\rho^2=4\rho\sin\theta$，即$x^2+