考研數(shù)學(xué)2025年概率論常考題型試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每小題4分，共20分）1.設(shè)事件A，B滿(mǎn)足P(A|B)=P(A)，且P(A)>0，P(B)>0，則事件A與B的關(guān)系是__________。2.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則兩個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)_________。3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=（k+1）/15，k=1,2,3，則E(X)=__________。4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=__________。5.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，且X～N(0,1)，則P(X>0,Y>0)=__________。二、選擇題（每小題5分，共25分）6.設(shè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，且P(A)=P(B)=P(C)=1/2，若P(A∪B∪C)=2/3，則P(A∩B∩C)=?A.1/4B.3/8C.1/2D.5/87.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={aex,x>0;0,x≤0}，則a=?A.-1B.1C.-eD.e8.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，Y=aX+b，則Y的期望E(Y)和方差D(Y)分別為？A.E(Y)=aμ,D(Y)=a2σ2B.E(Y)=μ+a,D(Y)=σ2C.E(Y)=aμ+b,D(Y)=a2σ2D.E(Y)=μ+b,D(Y)=σ29.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=4，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=?A.1/2B.1/4C.-1/2D.-1/410.下列關(guān)于隨機(jī)變量X的說(shuō)法正確的是？A.若X是離散型，則其分布函數(shù)必為階梯函數(shù)。B.若X是連續(xù)型，則其分布函數(shù)必為連續(xù)函數(shù)。C.若E(X2)存在，則D(X)必存在。D.若D(X)=0，則X是常數(shù)。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.甲、乙兩人獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.8。求目標(biāo)被擊中的概率。12.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0<x<1;0,其他}。求隨機(jī)變量Y=X2的期望E(Y)。13.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X～N(1,4)，Y～N(0,9)。求隨機(jī)變量Z=2X-3Y的分布，并求P(Z<5)。四、證明題（每小題10分，共20分）14.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)。證明：隨機(jī)變量X-Y仍然服從正態(tài)分布，并求其期望和方差。15.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，且對(duì)于任意ε>0，有P(|X-E(X)|≥ε)≤C/ε2，其中C是常數(shù)。證明：Var(X)≤C。---試卷答案一、填空題（每小題4分，共20分）1.A與B獨(dú)立2.15/283.11/154.15.1/4二、選擇題（每小題5分，共25分）6.B7.B8.C9.A10.B三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.解析思路：設(shè)A為甲擊中目標(biāo)事件，B為乙擊中目標(biāo)事件。目標(biāo)被擊中即為A或B發(fā)生。利用對(duì)立事件概率計(jì)算。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98-0.72=0.26或P(目標(biāo)被擊中)=1-P(甲未擊中且乙未擊中)=1-(1-0.9)(1-0.8)=1-0.1*0.2=1-0.02=0.98答案：0.9812.解析思路：利用函數(shù)期望公式E(g(X))=∫g(x)f(x)dx，其中g(shù)(x)=x2，f(x)為X的密度函數(shù)。E(Y)=E(X2)=∫?1x2*2xdx=2∫?1x3dx=2*[x?/4]?1=2*(1/4-0)=1/2答案：1/213.解析思路：利用正態(tài)分布性質(zhì)，獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。先求Z的期望和方差。E(Z)=E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=2*1-3*0=2D(Z)=D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=4*4+9*9=16+81=97因此Z～N(2,97)。求P(Z<5)即求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中對(duì)應(yīng)值的概率。Z=(Z-2)/√97~N(0,1)P(Z<5)=P((Z-2)/√97<(5-2)/√97)=P((Z-2)/√97<3/√97)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算工具可得結(jié)果。答案：P(Z<5)=Φ((5-2)/√97)=Φ(3/√97)（其中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）四、證明題（每小題10分，共20分）14.證明思路：利用正態(tài)分布性質(zhì)和獨(dú)立隨機(jī)變量線性組合的分布。首先寫(xiě)出X-Y的期望和方差。E(X-Y)=E(X)-E(Y)=μ?-μ?D(X-Y)=D(X)+D(Y)=σ?2+σ?2（因?yàn)閄與Y獨(dú)立）因?yàn)閄～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，且X與Y獨(dú)立，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)，X-Y也服從正態(tài)分布。所以Z=X-Y～N(μ?-μ?,σ?2+σ?2)。答案：見(jiàn)解析思路所述，已證明。15.證明思路：利用切比雪夫不等式的逆命題或直接從方差定義出發(fā)。方法一（切比雪夫不等式逆）：切比雪夫不等式P(|X-E(X)|≥ε)≤D(X)/ε2。題中條件P(|X-E(X)|≥ε)≤C/ε2表明D(X)≤C。方法二（直接證明）：Var(X)=E[(X-E(X))2]。利用題中條件，對(duì)任意ε>0，0≤E[(X-E(X))2]=E[|X-E(X)|2]≤E[|X-E(X)|2/ε2]*ε2（因?yàn)閨X-E(X)|2/ε2≥0）=ε2*E[(X-E(X)/ε)2]（因?yàn)閄-