2025年考研數(shù)學(xué)專業(yè)概率論專項(xiàng)訓(xùn)練試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)事件A與B互斥，P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論中正確的是（）（A）P(A|B)=P(A)（B）P(A|B)=0（C）P(B|A)=P(B)（D）P(A∪B)=P(A)+P(B)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/2^k,k=1,2,3,...，則常數(shù)C等于（）（A）1/3（B）1/4（C）2/3（D）2/43.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E[(X+Y)^2]等于（）（A）2λ（B）λ^2（C）λ^2+2λ（D）λ^2+4λ4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={c(x+y),0≤y≤x≤1;0,其他}，則常數(shù)c等于（）（A）1/2（B）1（C）2（D）35.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;(1-p)e^{-px},x≥0}（p>0），則P(X>1/p)等于（）（A）p（B）1-p（C）e^{-1}（D）1-e^{-1}二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分。）6.設(shè)A,B,C為三個事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/8，P(ABC)=1/16，則P(A∪B∪C)=________。7.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=k)=a(k^2+1)/15,k=1,2,3，則常數(shù)a=________。8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={kx^2,0≤x≤1;0,其他}，則其期望E(X)=________。9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望分別為E(X)=2,E(Y)=-1，方差分別為D(X)=1,D(Y)=4，且COV(X,Y)=1，則E(3X-2Y+5)=________。10.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N(1,4)，Y～N(0,9)，則E(XY)=________。三、計算題（本大題共4小題，每小題10分，滿分40分。）11.一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率。12.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={2x,0<x<1;0,其他}，求隨機(jī)變量Y=X^2的概率密度函數(shù)f_Y(y)。13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示（部分）：Y\X|0|1|----|------|------|0|0.1|a|1|b|0.4|已知E(X)=1/2，求a和b的值。14.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，均服從N(0,1)分布，求隨機(jī)變量Z=X^2+Y^2的分布函數(shù)F_Z(z)。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分。）15.設(shè)A,B,C是三個隨機(jī)事件，證明：P(ABC)≤P(A)P(B|A)P(C|AB)。16.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，證明：對于任意ε>0，有P(|X-E(X)|≥ε)≤E(|X-E(X)|)/ε（馬爾可夫不等式）。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.C5.D二、填空題6.3/47.2/58.3/59.1110.0三、計算題11.解：記事件A為“取出的3件產(chǎn)品中至少有一件次品”，則P(A)=1-P(“取出的3件產(chǎn)品全是正品”)。P(“取出的3件產(chǎn)品全是正品”)=C(7,3)/C(10,3)=35/120=7/24。所以P(A)=1-7/24=17/24。12.解：Y=X^2，當(dāng)0<x<1時，y=x^2，故x=√y，0<y<1。f_Y(y)=f_X(√y)|(√y)|/1=2√y,0<y<1。所以f_Y(y)={2√y,0<y<1;0,其他}。13.解：由聯(lián)合分布律性質(zhì)，a+b=1-0.1-0.4=0.5。由邊緣分布P(X=0)=0.1+a，P(X=1)=b+0.4。E(X)=0*(0.1+a)+1*(b+0.4)=b+0.4=1/2。聯(lián)立b+0.4=1/2和a+b=0.5，解得a=1/10,b=3/10。14.解：Z=X^2+Y^2。由于X,Y相互獨(dú)立且N(0,1)，則X^2和Y^2獨(dú)立同分布，均服從χ^2(1)分布。Z=X^2+Y^2服從χ^2(2)分布。分布函數(shù)F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X^2+Y^2≤z)。當(dāng)z<0時，F(xiàn)_Z(z)=0。當(dāng)z≥0時，F(xiàn)_Z(z)=P(X^2≤z,Y^2≤z)=P(|X|≤√z,|Y|≤√z)。由于X,Y獨(dú)立，P(|X|≤√z,|Y|≤√z)=P(|X|≤√z)P(|Y|≤√z)。P(|X|≤√z)=Φ(√z)-Φ(-√z)=2Φ(√z)-1（其中Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）。所以F_Z(z)=[2Φ(√z)-1]^2。四、證明題15.證明：P(ABC)=P(A)P(BC|A)。由于P(BC|A)≤P(C|A)，所以P(ABC)=P(A)P(BC|A)≤P(A)P(C|A)。同理，P(C|A)=P(C|AB)P(B|A)（由條件概率和全概率思想），所以P(ABC)≤P(A)P(C|AB)P(B|A)。即P(ABC)≤P(A)P(B|A)P(C|AB)。16.證明：令g(t)=E(|X-E(X)|^t)，t>0。由期望的性質(zhì)，g