專升本理工科2025年離散數(shù)學(xué)模擬測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},則集合A∩B的補集（相對全集U={1,2,3,4}）是（）。A.{1}B.{4}C.{1,4}D.?2.下列哪個語句是命題？（）A.今天天氣很好！B.x+y=5C.請你安靜一點。D.2是偶數(shù)3.命題公式(p→q)∧(q→p)是（）。A.重言式B.矛盾式C.可滿足式但非重言式D.不可滿足式4.設(shè)R為集合A上的關(guān)系，若R具有自反性和對稱性，則R一定是（）。A.傳遞關(guān)系B.偏序關(guān)系C.等價關(guān)系D.歐拉路徑5.下列關(guān)于無向圖的敘述中，正確的是（）。A.若無向圖G是連通的，則G中任何兩個頂點之間都有路徑B.若無向圖G是歐拉圖，則G中所有頂點的度數(shù)都為奇數(shù)C.若無向圖G有生成樹，則G一定是連通的D.無向圖的任何子圖都是連通圖二、填空題6.若集合A有m個元素，集合B有n個元素，則從A到B的不同函數(shù)共有________個。7.關(guān)系矩陣M=[[0,1,0],[1,0,1],[0,1,0]]所表示的關(guān)系R（定義在集合A={a,b,c}上）是________關(guān)系（填“反身性”、“對稱性”、“傳遞性”中的一個或多個）。8.一個有n個頂點的無向簡單圖中，最多有________條邊。9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+3+5+...+(2n-1)=n2”時，第一步需要驗證n=________的情況。10.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，A上的關(guān)系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，則R是________關(guān)系（填“自反的”、“反自反的”、“對稱的”、“傳遞的”中的一個或多個）。三、計算題11.設(shè)集合A={x|x∈N,x<5},B={x|x∈Z,-2≤x≤3}，求(A∪B)×(B∩A)'。(N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集)12.計算組合數(shù)C(7,3)+C(7,4)的值。13.給定命題公式p→(q∧?r)和q，使用推理規(guī)則證明?r。(請寫出推理過程)四、證明題14.證明：設(shè)R是集合A上的關(guān)系，如果R是自反的和傳遞的，那么R的任何補關(guān)系R'也是自反的和傳遞的。15.證明：任何包含n個頂點（n≥2）的無向連通簡單圖中，至少存在兩個度數(shù)相同的頂點。---試卷答案一、選擇題1.C2.D3.A4.C5.C二、填空題6.n^m7.對稱性8.n(n-1)/29.110.傳遞的三、計算題11.解：A={1,2,3},B={-2,-1,0,1,2,3}(注意：此處假設(shè)N從0開始，若N從1開始，B={-2,-1,1,2,3})B∩A={1,2,3}(B∩A)'=B\{1,2,3}={-2,-1,0}A∪B={1,2,3}∪{-2,-1,0,1,2,3}={-2,-1,0,1,2,3}(A∪B)×(B∩A)'={{-2,-1},{-2,0},{-2,1},{-2,2},{-2,3},{-1,-2},{-1,0},{-1,1},{-1,2},{-1,3},{0,-2},{0,-1},{0,1},{0,2},{0,3},{1,-2},{1,-1},{1,0},{1,2},{1,3},{2,-2},{2,-1},{2,0},{2,1},{2,3},{3,-2},{3,-1},{3,0},{3,1},{3,2}}12.解：C(7,3)=7!/(3!*(7-3)!)=7!/(3!*4!)=(7*6*5)/(3*2*1)=35C(7,4)=C(7,3)(由組合性質(zhì)C(n,k)=C(n,n-k))C(7,4)=35C(7,3)+C(7,4)=35+35=7013.解：1.前提：p→(q∧?r)2.前提：q3.從2得?r(根據(jù)ModusPonens，因為p→(q∧?r)和q蘊含?r)四、證明題14.證明：1.設(shè)a∈A，要證aR'a。2.因為R是自反的，所以aRa。3.由關(guān)系R的定義，aR'a意味著(a,a)?R。4.由步驟2，(a,a)∈R，因此(a,a)?R'。5.所以R'是自反的。6.設(shè)a,b∈A，且aR'b。要證bR'a。7.由aR'b，得(a,b)?R。8.因為R是對稱的，所以若(a,b)?R，則(b,a)?R。9.因此(b,a)?R，即bR'a。10.所以R'是對稱的。11.綜上，R'是自反的和對稱的。12.(傳遞性證明略，或說明：若R是傳遞的，則aR'b且bR'c意味著(a,b)?R且(b,c)?R，從而(a,c)?R，即aR'c，所以R'也是傳遞的。此題若要求嚴格證明，需補充傳遞性證明過程。)15.證明：1.反證法。假設(shè)結(jié)論不成立，即圖中存在n個頂點，且每個頂點的度數(shù)都互不相同。2.根據(jù)鴿巢原理，n個頂點的度數(shù)互不相同，且頂點度數(shù)的取值范圍在0到n-1之間（對于無向連通圖，不存在度數(shù)為0的頂點，最大度數(shù)不超過n-1）。3.因此，可能的度數(shù)集合至多為{1,2,...,