2025年專升本理工科專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換測(cè)試試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.已知復(fù)數(shù)z=1-i，則z的模|z|等于（）。(A)1(B)√2(C)√3(D)22.函數(shù)f(z)=z2+2z+5在z=1處（）。(A)不連續(xù)(B)連續(xù)但不可導(dǎo)(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為4(D)解析3.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的各階導(dǎo)數(shù)f^(n)(0)(n≥1)等于（）。(A)0(B)±1(C)(-1)^(n/2)/n!（當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)）,0（當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)）(D)(-1)^(n+1)/(n+1)!（當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)）,0（當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)）4.設(shè)函數(shù)g(z)=e^z，則函數(shù)f(z)=∫_Γg(ζ)dζ（其中Γ是復(fù)平面上一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線），必有（）。(A)f(z)為z的函數(shù)，但不一定為解析函數(shù)(B)f(z)為解析函數(shù)，且f'(z)=g(z)(C)f(z)為解析函數(shù)，但f'(z)≠g(z)(D)f(z)不存在5.函數(shù)h(z)=1/(z-2)在z=1處的留數(shù)等于（）。(A)-1/3(B)1/3(C)-1(D)1二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）6.若復(fù)數(shù)z=√3+i，則argz=。7.滿足方程|z-1|=2的所有復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓。8.根據(jù)柯西積分公式，若函數(shù)f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線Γ內(nèi)及其上解析，且z?為Γ內(nèi)一點(diǎn)，則∫_Γ(ζ-z?)^(n-1)f(ζ)dζ=。（n為正整數(shù)）9.函數(shù)F(s)=1/(s+1)(s+2)的拉普拉斯逆變換f(t)=。10.設(shè)f(x)是以2π為周期的奇函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)，則其傅里葉系數(shù)a_n=。（n=1,2,3,...）三、計(jì)算題（本大題共5小題，共55分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）11.（本小題滿分10分）計(jì)算積分∫_Γ|z|dz，其中Γ為復(fù)平面上一條從點(diǎn)-1-i到點(diǎn)1+i的直線段。12.（本小題滿分10分）設(shè)函數(shù)f(z)=x^2-y^2+2xyi，其中x=Re(z),y=Im(z)。判斷f(z)是否在z=0處解析，并說(shuō)明理由。13.（本小題滿分10分）計(jì)算積分∮_Γ(z^2+2z+5)/(z-1)dz，其中Γ是圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较虻膯挝粓A周。14.（本小題滿分12分）計(jì)算積分∫_Γe^z/(z+1)dz，其中Γ是圓周|z|=2，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。已知該積分的值為2πi，請(qǐng)利用留數(shù)定理解釋這一結(jié)果，并求出當(dāng)Γ為圓周|z-1|=1時(shí)該積分的值。15.（本小題滿分13分）求函數(shù)f(t)=t[u(t)-u(t-1)]的傅里葉變換F(ω)。（其中u(t)為單位階躍函數(shù)）四、證明題（本大題共1小題，共10分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.（本小題滿分10分）設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足f(z)=g(z)+h(z)，其中g(shù)(z)和h(z)均在D內(nèi)解析。證明：若對(duì)于D內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線Γ，都有∮_Γf(z)dz=0，則f(z)必為常數(shù)函數(shù)。試卷答案一、選擇題1.B解析：|z|=√((1)^2+(-1)^2)=√2。2.B解析：f(z)=z2+2z+5。f'(z)=2z+2。在z=1處，f'(1)=2*1+2=4。由于f'(1)存在且有限，故f(z)在z=1處連續(xù)且可導(dǎo)。但f(z)在整個(gè)復(fù)平面上都解析（因?yàn)樗嵌囗?xiàng)式函數(shù)），所以在z=1處也解析。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確。根據(jù)分析，正確答案應(yīng)為C。此處按原題設(shè)選項(xiàng)分析，B、C矛盾，通常選擇題應(yīng)有唯一正確選項(xiàng)，題目可能設(shè)置有誤。若必須選，C更符合解析結(jié)果。假設(shè)題目選項(xiàng)有誤，選擇C。3.A解析：sin(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式在z=0處為sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!-...。除z^0=0項(xiàng)外，所有奇數(shù)階項(xiàng)（包括z本身）的系數(shù)均為0。因此，當(dāng)n≥1時(shí)，f^(n)(0)=0。4.B解析：根據(jù)柯西積分定理，如果g(z)在包含閉合曲線Γ及其內(nèi)部區(qū)域D內(nèi)解析，則∫_Γg(z)dz=0。由于Γ不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可以找到包含Γ及其內(nèi)部區(qū)域D的區(qū)域，其中e^z解析。因此，∫_Γe^zdz=0。函數(shù)f(z)=∫_Γg(ζ)dζ=∫_Γe^ζdζ=0。函數(shù)f(z)恒等于0。恒等于0的函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上處處解析，且其導(dǎo)數(shù)f'(z)=0=g(z)。故選B。5.C解析：函數(shù)h(z)=1/(z-2)在z=2處有一個(gè)一階極點(diǎn)。留數(shù)Res(h,2)=lim_(z→2)(z-2)*[1/(z-2)]=lim_(z→2)1=1。題目問(wèn)的是在z=1處的留數(shù)，函數(shù)h(z)在z=1處是解析的，其留數(shù)為0。選項(xiàng)C與解析結(jié)果（留數(shù)為0）不符，可能是題目或選項(xiàng)有誤。若題目意圖是求在z=2處的留數(shù)，則為1。若題目問(wèn)在z=1處，則應(yīng)為0。假設(shè)題目問(wèn)在z=2處，選C。二、填空題6.π/6或5π/6解析：z=√3+i位于復(fù)平面的第一象限。argz=arctan(y/x)=arctan(1/√3)=π/6。由于z在第一象限，argz也可以表示為5π/6。通常取主值π/6。7.(1,0)；2解析：方程|z-1|=2表示復(fù)數(shù)z與點(diǎn)1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)之差的模等于2。這是一個(gè)以點(diǎn)1+0i，即(1,0)為圓心，半徑為2的圓。8.0（n≠1）解析：柯西積分公式∫_Γ(ζ-z?)^(n-1)f(ζ)dζ=2πi*f^(n-1)(z?)（n為正整數(shù)，Γ圍繞z?）。當(dāng)n≠1時(shí)，(ζ-z?)^(n-1)在Γ內(nèi)及其上解析，根據(jù)柯西積分定理，積分值為0。9.e^(-t)-e^(-2t)解析：首先將F(s)進(jìn)行部分分式分解：F(s)=1/(s+1)(s+2)=A/(s+1)+B/(s+2)。解得A=1,B=-1。所以F(s)=1/(s+1)-1/(s+2)。利用拉普拉斯變換表：L^(-1){1/(s+a)}=e^(-at)。因此，f(t)=L^(-1){F(s)}=L^(-1){1/(s+1)}-L^(-1){1/(s+2)}=e^(-t)-e^(-2t)。10.0（n=1,2,3,...）解析：由于f(x)是以2π為周期的奇函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)，即a_n=0(n=0,1,2,...)。根據(jù)傅里葉系數(shù)公式，a_n=(1/π)*∫_(-π)^πf(x)cos(nx)dx。奇函數(shù)與偶函數(shù)（cos(nx)）的積在symmetric區(qū)間上的積分為0。故a_n=0。三、計(jì)算題11.解：設(shè)直線段Γ的參數(shù)方程為z(t)=-1-i+2it，其中t∈[0,1]。則dz=2idt。|z(t)|=|-1-i+2it|=√((-1+2t)^2+(-1+2t)^2)=√(2(-1+2t)^2)=√2*|-1+2t|=√2*(2t-1)（因?yàn)閠∈[0,1]，2t-1≥0）。積分∫_Γ|z|dz=∫_0^1|z(t)|*dz=∫_0^1√2*(2t-1)*2idt=2√2i∫_0^1(2t-1)dt=2√2i[t^2-t]_0^1=2√2i(1-1-0+0)=2√2i*0=0。12.解：f(z)=x^2-y^2+2xyi。令z=x+yi，則x=Re(z),y=Im(z)。f(z)=(Re(z))^2-(Im(z))^2+2Re(z)Im(z)i。根據(jù)柯西-黎曼方程：u_x=v_y,u_y=-v_x。這里u(x,y)=x^2-y^2,v(x,y)=2xy。計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)：u_x=2x,v_y=2x；u_y=-2y,v_x=2y。比較得：2x=2x,-2y=2y。這兩個(gè)等式只在x=0且y=0時(shí)同時(shí)成立。因此，柯西-黎曼方程僅在z=0處滿足。由于f(z)僅在z=0處滿足柯西-黎曼方程，所以f(z)僅在z=0處可導(dǎo)，且f'(0)=u_x(0,0)+iv_x(0,0)=2*0+2*0*i=0。但在除z=0外的任何點(diǎn)，f(z)都不可導(dǎo)。因此，f(z)不是處處解析的。故f(z)在z=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。選B。（根據(jù)上一題分析，此題應(yīng)選B）13.解：被積函數(shù)f(z)=(z^2+2z+5)/(z-1)在z=1處有一個(gè)一階極點(diǎn)，其余點(diǎn)處解析。積分路徑Γ是圍繞原點(diǎn)的單位圓|ζ|=1，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。根據(jù)留數(shù)定理，若閉合曲線Γ不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的極點(diǎn)，則∮_Γf(z)dz=0。此處Γ圍繞原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)z=1。因此，∮_Γ(z^2+2z+5)/(z-1)dz=0。14.解：被積函數(shù)g(ζ)=e^ζ/(ζ+1)在z=-1處有一個(gè)一階極點(diǎn)。積分路徑Γ是圓周|ζ|=2，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。積分∫_Γe^ζ/(ζ+1)dz的值僅取決于被積函數(shù)在Γ內(nèi)部各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)和2πi。Γ內(nèi)部唯一的奇點(diǎn)是z=-1。計(jì)算留數(shù)：Res(g,-1)=lim_(ζ→-1)(ζ+1)*[e^ζ/(ζ+1)]=e^(-1)=1/e。根據(jù)留數(shù)定理，∫_Γe^ζ/(ζ+1)dz=2πi*Res(g,-1)=2πi*(1/e)=2πi/e。題目中給出該積分值為2πi，與計(jì)算結(jié)果2πi/e不符。這可能意味著題目條件或給定的積分值有誤。如果嚴(yán)格按照留數(shù)定理和給定積分值2πi來(lái)分析，那么內(nèi)部留數(shù)為2πi/2πi=1。如果題目意圖是Γ為|ζ-1|=1，則內(nèi)部留數(shù)為1，積分值為2πi。如果題目意圖是Γ為|ζ|=2，積分值為2πi/e。題目要求解釋結(jié)果并求|ζ-1|=1時(shí)的積分值。解釋：積分值由內(nèi)部留數(shù)決定。若積分為2πi，則內(nèi)部留數(shù)為1。當(dāng)Γ為|ζ-1|=1時(shí)，內(nèi)部只有極點(diǎn)z=1，留數(shù)為Res(g,1)=lim_(ζ→1)(ζ-1)*[e^ζ/(ζ+1)]=e^1/(1+1)=e/2。此時(shí)積分值為2πi*(e/2)=πie。但根據(jù)題目給定的信息，當(dāng)Γ為|ζ|=2時(shí)積分值為2πi，當(dāng)Γ為|ζ-1|=1時(shí)，積分值應(yīng)為πie。此題條件矛盾。15.解：f(t)=t[u(t)-u(t-1)]=tu(t)-tu(t-1)。利用時(shí)移性質(zhì)和頻域微分性質(zhì)：L{f(t)}=F(s)=L{tu(t)}-L{tu(t-1)}。L{tu(t)}=-dF(s)/ds。L{u(t-1)}=e^(-s)/s。L{u(t-1)*t}=L{u(t)*(t-1)+u(t-1)}=L{(t-1)u(t-1)}+L{u(t-1)}=L{(t-1)e^(-t)u(t-1)}+e^(-s)/s=e^(-s)*d/ds(e^(-s)/s)+e^(-s)/s。d/ds(e^(-s)/s)=-e^(-s)/s^2-e^(-s)/s=-e^(-s)/s(s+1)。所以L{tu(t-1)}=e^(-s)*(-e^(-s)/s(s+1))+e^(-s)/s=-e^(-2s)/s(s+1)+e^(-s)/s=e^(-s)[1/s-e^(-s)/s(s+1)]=e^(-s)/s-e^(-2s)/(s(s+1))。因此，F(xiàn)(s)=-dF(s)/ds=-d/ds[e^(-s)/s]=-[-e^(-s)/s-e^(-s)/s^2]=e^(-s)/s+e^(-s)/s^2=e^(-s)/s(1+1/s)=e^(-s)/s^2。四、證明題16.證明：根據(jù)柯西積分定理，如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)于D內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線Γ，都有∮_Γf(z)dz=0。題設(shè)條件f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且對(duì)于D內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線Γ