專升本理工類2025年高等數(shù)學(xué)B專項訓(xùn)練試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=√(4-x2)的定義域是().(A)(-∞,-2)∪(2,+∞)(B)[-2,2](C)(-2,2)(D)(-∞,-2]∪[2,+∞)2.極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)的值是().(A)-4(B)0(C)4(D)不存在3.函數(shù)f(x)=x3在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)等于().(A)1(B)3(C)6(D)274.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間(1,2)上的平均變化率是().(A)e-1(B)e2-e(C)1/e-1/e2(D)(e2-e)/(2-1)5.若函數(shù)f(x)在點x?處取得極值，且f'(x?)存在，則必有().(A)f''(x?)=0(B)f'(x?)=0(C)f'(x?)不存在(D)f(x)在x?處可導(dǎo)且不可微二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。6.lim(x→0)(sin3x)/(5x)=_______.7.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)，則f'(0)=_______.8.若f'(x)=2x+1，則f(x)=_______(寫出任意一個原函數(shù)).9.計算∫(從0到1)xsin(x2)dx=_______.10.微分方程y'+y=0的通解是_______.三、計算題：本大題共5小題，共60分。11.(本題滿分10分)求極限lim(x→∞)[(2x3+x)/(x2-1)]2.12.(本題滿分12分)求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)區(qū)間、極值點及對應(yīng)的極值。13.(本題滿分12分)計算∫(x2+1)/(x3+x)dx.14.(本題滿分12分)設(shè)y=ln(x+√(x2+1))，求dy/dx.15.(本題滿分12分)求微分方程y''-4y'+3y=e^x的通解。四、綜合題：本大題共2小題，共20分。16.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)。證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f'(ξ)=0.17.(本題滿分10分)求由曲線y=x2和y=√x圍成的平面圖形的面積。試卷答案1.B2.C3.B4.B5.B6.3/57.18.x2+x+C(C為常數(shù))9.1-cos(1)10.Ce^(-x)(C為常數(shù))11.解析：原式=lim(x→∞)[(2+1/x2)/(1-1/x2)]2=[2/1]2=4.答案：412.解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0,x=2。當(dāng)x<0時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)0<x<2時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。當(dāng)x>2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞)。單調(diào)減區(qū)間為(0,2)。在x=0處，f(0)=2，為極大值。在x=2處，f(2)=-2，為極小值。答案：單調(diào)增區(qū)間(-∞,0),(2,+∞)；單調(diào)減區(qū)間(0,2)；極大值點0，極大值2；極小值點2，極小值-2。13.解析：原式=∫[(x3+x)/(x3+x)]dx=∫dx=x+C.答案：x+C(C為常數(shù))*修正：原題分母為(x3+x)=x(x2+1)，需分解積分*解析：原式=∫[x/(x2+1)+1/(x2+1)]dx=∫[x/(x2+1)]dx+∫[1/(x2+1)]dx=1/2∫d(x2+1)+∫[1/(x2+1)]dx=1/2ln|x2+1|+arctan(x)+C.答案：1/2ln(x2+1)+arctan(x)+C(C為常數(shù))14.解析：令u=x+√(x2+1)，則y=ln(u)，dy/du=1/u。需求du/dx。u'=1+(1/(2√(x2+1)))*2x=1+x/√(x2+1)。dy/dx=dy/du*du/dx=1/u*[1+x/√(x2+1)]=1/(x+√(x2+1))*[√(x2+1)+x]/√(x2+1)=1/√(x2+1).答案：1/√(x2+1)15.解析：對應(yīng)齊次方程y''-4y'+3y=0的特征方程為r2-4r+3=0，解得r?=1,r?=3。齊次方程通解為y_h=C?e^x+C?e^3x。非齊次方程的特解，設(shè)y_p=Ae^x，代入原方程得Ae^x-4Ae^x+3Ae^x=e^x，即0=e^x，此法不適用。改設(shè)y_p=Axe^x，代入原方程得(Axe^x)''-4(Axe^x)'+3(Axe^x)=e^x。y_p'=A(e^x+xe^x)=A(1+x)e^xy_p''=A(e^x+(1+x)e^x)=A(1+1+x)e^x=A(2+x)e^x代入方程：A(2+x)e^x-4A(1+x)e^x+3Axe^x=e^xA(2+x-4-4x+3x)e^x=e^xA(2-4)e^x=e^x-2Ae^x=e^xA=-1/2。特解為y_p=(-1/2)xe^x。通解為y=y_h+y_p=C?e^x+C?e^3x-(1/2)xe^x.答案：y=C?e^x+C?e^3x-(1/2)xe^x(C?,C?為常數(shù))16.解析：由羅爾定理的推論可知，若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。答案：見解析17.解析：兩曲線交點為(0,