第一章

空間向量與立體幾何

人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)·高二1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

章節(jié)導(dǎo)讀空間向量的概念及其運(yùn)算空間向量基本定理與空間向量的坐標(biāo)表示用空間向量解決立體幾何問題空間向量的定義及其表示空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算空間向量運(yùn)算的定義及其幾何意義空間向量運(yùn)算的運(yùn)算律空間向量基本定理空間直角坐標(biāo)系空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面等元素用空間向量研究立體幾何中的直線、平面的位置關(guān)系、距離和夾角問題把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)123掌握空間向量的夾角、數(shù)量積及其運(yùn)算律,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)了解投影向量的概念,培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)新知導(dǎo)入平面向量及其線性運(yùn)算空間向量及線性運(yùn)算推廣類比與轉(zhuǎn)化平面向量數(shù)量積運(yùn)算空間向量數(shù)量積運(yùn)算推廣你能類比平面向量，給出空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義嗎？回憶平面向量的知識(shí)，我們當(dāng)時(shí)是如何研究它的數(shù)量積運(yùn)算？夾角數(shù)量積的定義運(yùn)算律應(yīng)用新知探究問題1什么是平面向量的夾角？你能類比平面向量的夾角得出空間向量的夾角定義？

由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個(gè)空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義.

.OBαA空間向量的夾角新知探究問題2平面向量的數(shù)量積是什么？類比平面向量數(shù)量積

你能給出空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義嗎？空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量

，把數(shù)量

叫做向量

的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

，即特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.①“·”不能省略不寫，也不能寫成“×”.注意:

新知探究問題3

如果空間向量

是兩個(gè)非零向量,它們的數(shù)量積有哪些性質(zhì)呢？設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則求向量的長度(模)的依據(jù).證明兩向量垂直的依據(jù)；求兩向量夾角的依據(jù).新知探究問題4

在平面向量的學(xué)習(xí)中,我們學(xué)習(xí)了向量的投影.類似地,向量

在向量

上的投影有什么意義？向量

向直線l的投影呢？向量

向平面β的投影呢？(1)(2)如圖(1)所示,在空間,向量向向量投影,由于它們是自由向量,因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi),進(jìn)而利用平面上向量的投影,得到與向量共線的向量.且新知探究AB(3)問題5

空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？新知探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律空間向量新知探究問題6.1不能問題6.2不

能向量沒有除法運(yùn)算，向量的除法沒有意義新知探究問題6.3不

能證明:結(jié)論:數(shù)量積①不可約分、②不可作商、③不滿足結(jié)合律。典例分析方法技巧空間向量數(shù)量積的應(yīng)用①求數(shù)量積；②求線段長度：即求向量的模.例1

如圖所示,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,AB=5,AD=3,AA′=7,∠BAD=60°,∠BAA′=∠DAA′=45°.求:

(1)(2)AC'的長(精確到0.1).ABCD解:課后練習(xí)課本練習(xí)方法技巧空間向量數(shù)量積的應(yīng)用:③證線線垂直：證明兩向量的數(shù)量積為01.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若

，則AB1與BC1所成角的大小為().(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°ACBA1C1B1∴AB1與BC1所成角為90°.B課后練習(xí)方法技巧空間向量數(shù)量積的應(yīng)用:④求異面直線所成角：即求兩向量的夾角或其補(bǔ)角(先求數(shù)量積,再除以模之積)變式典例分析例2

如圖所示,已知直線m,n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,如果直線l⊥m,l⊥n，求證：l⊥α.分析：

要證明l?α，就是要證明l垂直于α內(nèi)的任意一條直線g(直線與平面垂直的定義)．如果我們能在g和m，n之間建立某種聯(lián)系，并由l?m，l?n，得到l?g，那么就能解決此問題．lmng典例分析方法技巧空間向量數(shù)量積的應(yīng)用⑤證線面垂直：證兩次線線垂直例2

如圖所示,已知直線m,n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,如果直線l⊥m,l⊥n，求證：l⊥α.證明：在α內(nèi)作任意一條直線g，分別在直線l,m,n,g上取非零向量mn因?yàn)橹本€m與n相交，所以向量不平行，由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使將上式兩邊分別與向量作數(shù)量積運(yùn)算，得g應(yīng)用歸納空間向量數(shù)量積的應(yīng)用①求兩向量的數(shù)量積②求線段長度(即求向量的模)③證線線垂直(即證兩向量數(shù)量積為0)④求異面直線所成角(即求向量的夾角或其補(bǔ)角)⑤證線面垂直(即證兩次線線垂直，同③)【方法】目標(biāo)向量用已知模和夾角的(同起點(diǎn))向量表示課后練習(xí)課本練習(xí)BDAC課后練習(xí)課本練習(xí)3.如圖,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.求:

(1)

(2)AB′的長；(3)AC′的長.ACDBC′D′B′A′課后練習(xí)課本練習(xí)4.如圖，線段AB，BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D兩點(diǎn)間的距離.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算題型一題型探究

空間向量數(shù)量積的運(yùn)算題型一題型探究提分筆記

利用數(shù)量積證明空間中的垂直關(guān)系題型二題型探究

題型二題型探究解題感悟利用數(shù)量積證明空間中的垂直關(guān)系用向量法證明垂直關(guān)系的步驟（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）用已知向量表示直線的方向向量；（3）結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0；（4）將向量問題回歸到幾何問題.利用數(shù)量積解決空間中的夾角問題題型三題型探究

題型探究解題感悟利用數(shù)量積解決空間中的夾角問題題型三求兩條異面直線所成角的步驟（1）根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量（即直線的方向向量）；（2）將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題；（3）利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小；（4）異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值時(shí)應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值