頤華學校2025級高一年級第一次大練習數(shù)學試卷滿分：150分時量：120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得中的元素，再根據(jù)，，，即可求得結果.【詳解】全集，∴，又∵，∴，，∴集合．故選：C.2.已知命題，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由其否定為真命題，通過求解即可；【詳解】因為命題是假命題，可得：為真命題；可得：，解得：，故選：A3.若，則的值與的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定【答案】C【解析】【分析】利用作差比較法即可判斷兩者大小.【詳解】由，因，故，即得.故選：C.4.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，則A∩B等于（）A.{1，2，3} B.{1，2}C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式，再求交集即可.【詳解】集合A中(2x＋1)(x－3)<0，∴－<x<3，又集合B中x∈N*且x≤5，則x＝1，2.即A∩B={1，2}故選：B.【點睛】本題考查了集合的交集運算，屬于基礎題.5.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接解不等式得到答案.【詳解】，即，即，解得.故選：D.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，再由充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】由，解得或，由，解得或，由于或是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.7.已知命題：“”，命題：“”．若兩個命題中全稱量詞命題是真命題，另一個命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別根據(jù)已知命題的真假求出相應參數(shù)的取值范圍，即可求得答案.【詳解】由題意知命題：“”為全稱量詞命題，是真命題，故，可得；結合題意知命題：“”為假命題，則，即無實數(shù)解，則，解得，綜合上述a需滿足，可知實數(shù)的取值范圍是，故選：A8.若，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式換“1”法，進行計算化簡，可得答案.詳解】∵，，，，，當且僅當時等號成立.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，，，則關于集合A、B、C之間的關系，下列說法正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)子集的定義，結合集合與元素之間的關系逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，，所以有成立，不成立，成立，不成立，故選：AC【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是判斷出集合中的元素是集合.10.已知，且，則（）A.的最大值是B.的最大值是C.的最小值是4D.的最小值是【答案】AC【解析】【分析】利用均值不等式以及其常用變式分別判斷各個選項的正誤即可.【詳解】由均值不等式知：，當且僅當時，等號成立，選項A正確；因為，故，當且僅當時，等號成立，即最小值是，選項B錯誤；，當且僅當且，即時，等號成立，選項C正確；，故，當且僅當時等號成立，即的最大值為，選項D錯誤，故選：AC．11.給定數(shù)集M，若對于任意，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是（）A.集合為閉集合B.正整數(shù)集是閉集合C.集合為閉集合D.若集合，為閉集合，則為閉集合【答案】ABD【解析】【分析】首先判斷信息題型的做法，理解題，進一步利用信息做題，從而得到結果．【詳解】定數(shù)集，若對于任意，，有，且，則稱集合為閉集合，對于A：由于，但是，故集合不為閉集合，故A錯誤；對于B：對于正整數(shù)集，有，但是，故B錯誤；對于C：任取，則，則，所以，故.集合為閉集合，故C正確；對于D：由C可得為閉集合，同理為閉集合，所以，則有，但，則不為閉集合，故D錯誤；故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則符合條件的集合有_____個．【答案】【解析】【分析】由子集及真子集的概念，可轉化為求集合真子集的個數(shù)即可得解．【詳解】因為，所以中含有元素，故符合條件的集合個數(shù)相當于求集合的真子集個數(shù)，故有個．故答案為：.13.某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至少參加一個至多參加兩個小組.已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26、15、13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有_________人.【答案】8【解析】【分析】利用韋恩圖，根據(jù)容斥原理，即可求解.【詳解】設集合分別表示參加數(shù)學、物理、化學課外小組，其中分別表示集合每部分的人數(shù)，其中，化簡為所以所以同時參加數(shù)學和化學小組的有8人.故答案為：814.已知關于的不等式的解集為．若關于的不等式有且僅有6個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】利用三個二次關系計算參數(shù)，再含參解不等式，結合條件計算即可.【詳解】由不等式的解集為，得，且方程的兩實根分別為和3，則，得，所以不等式等價于，即，又，則，解得，因為關于的不等式有且僅有6個整數(shù)解，因此，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合數(shù)軸列式求解；（2）結合數(shù)軸列式求解，注意對空集的討論.【小問1詳解】因為，如圖，所以，解得，所以，即的取值范圍是；【小問2詳解】當時，符合題意，此時有，即；當時，如圖或有①，或②，解①得，解②得，所以此時，綜上，實數(shù)的取值范圍為．16.已知命題：方程有兩個不等的負實根；命題：方程無實根.（1）若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題，中有且僅有一個為真一個為假，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的性質得出命題為真時，實數(shù)的取值范圍，進而由命題為真求解；（2）由判別式得出為真時，實數(shù)的取值范圍，再討論真假或假真，得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】若方程有兩個不等的負根，則，解得；因為命題為真，所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】若方程無實根，則，解得.若真假時，，解得；若假真時，，解得.綜上，得.17.（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）先將變形為，再利用基本不等式求解；（2）先將變形為，再利用基本不等式求解.【詳解】（1），，原式，當且僅當，即時，等號成立，故所求最大值為1．（2），，，當且僅當，即時取等號，的最大值為．18.國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元．（1）寫出鉆石的價值y關于鉆石重量x的關系式；（2）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當時，價值損失的百分率最大．（注：價值損失的百分率100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)鉆石的價值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比，設出關系式，利用克拉時的價值求得的值，由此求得關系式；（2）求得的關系式寫出原有價值和現(xiàn)有價值，通過計算價值損失百分率，利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可設價值與重量的關系式為：，∵3克拉的價值是美元，∴，解得：，∴；【小問2詳解】若兩顆鉆石的重量為克拉，則原有價值是，現(xiàn)有價值是，價值損失的百分率為，當且僅當時取等號，∴當時，價值損失的百分率最大.19.設數(shù)集A由實數(shù)構成，且滿足：若（且），則.（1）若，試證明A中還有另外兩個元素；（2）集合A是否為只含有兩個元素的集合，并說明理由；（3）若A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A.【答案】（1）證明見解析（2）否，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）利用集合與元素之間的關系證明即可；（2）根據(jù)條件求出元素間的規(guī)律即可；（3）先利用求出集合中元素個數(shù)，再根據(jù)所有元素和求解即可【小問1詳解】由題意，若，則，則，若，則，所以集合