第二章

直線和圓的方程人教A版2019選擇性必修第一冊·高二2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系

章節(jié)導(dǎo)讀確定直線位置的幾何要素：點、方向直線的傾斜角和斜率直線的點斜式方程直線的兩點式方程直線的一般式方程點到直線、兩平行直線間的距離兩條直線間的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系確定圓的幾何要素：圓心、半經(jīng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程兩點間的距離公式兩條直線平行和垂直的判定學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)123掌握圓與圓的位置關(guān)系能根據(jù)給定圓的方程,判斷圓與圓的位置關(guān)系,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題.舊知回顧1.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？代數(shù)法：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實根方程有一個實根方程無實數(shù)根直線l與圓C相交直線l與圓C相切直線l與圓C相離幾何法：③d＞r①d＜r直線l與圓C相交，有兩個公共點；②d＝r直線l與圓C相切，只有一個公共點；直線l與圓C相離，沒有公共點.聯(lián)立直線與圓的方程，消元得px2+qx+t=0的解的個數(shù)(△的正負)圓心到直線的距離

前面我們運用直線的方程、圓的方程，研究了直線與圓的位置關(guān)系．現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關(guān)系．舊知回顧2.回憶一下初中所學(xué)的知識，圓與圓的位置關(guān)系有哪些？圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含隨著兩圓的相對位置變化，公共點個數(shù)又分別是多少？0個1個2個1個0個相離（0個公共點）相切（1個公共點）相交（2個公共點）新知探究判斷圓與圓位置關(guān)系的方法1.代數(shù)法：聯(lián)立求解.(1)由兩個圓的方程聯(lián)立兩者方程看是否有解(2)消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程；(3)求出△；(4)判斷△的符號，得出結(jié)論：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實根方程有一個實根方程無實數(shù)根兩圓相交兩圓相切兩圓相離（外切或內(nèi)切）問題1

類比運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，如何利用圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系?（外離或內(nèi)含）新知探究2.幾何法：判斷圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值的大小關(guān)系.設(shè)圓C1的半徑為r1，圓C2的半徑為r2，圓心距d，則①圓和圓外離②

圓和圓外切③

圓和圓相交④

圓和圓內(nèi)切⑤

圓和圓內(nèi)含(1)把兩圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求出兩圓的圓心坐標(biāo)及半徑r1,r2；(3)求兩圓的圓心距d；(4)比較d與|r1-r2|,r1+r2的大小關(guān)系，得出結(jié)論：典例解析

例5思路1圓C1與圓C2的位置關(guān)系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程組成的方程組有幾組實數(shù)解確定。解法1:將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組①-②，得聯(lián)立①③，消去y，可得∴方程④有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.把x1，x2分別代人方程③，得到y(tǒng)1，y2.

因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)

，這兩個圓相交.典例分析

例5追問1

畫出圓C1與圓C2以及方程③表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說明為什么嗎？當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。追問2

為什么不需要把圓C1與圓C2的兩個公共點A、B的具體坐標(biāo)求出來？

yxABC2C1典例分析

例5思路2借助圖形，可以依據(jù)連心線的長(圓心距)與兩半經(jīng)的和r1+r2的或兩半徑差的絕對值|r1?r2|的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.yxABC2C1解法2:把圓C1與圓C2的方程分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得∴圓C1與圓C2相交.新知探究問題2

如果兩圓方程聯(lián)立消元后得到的方程的?＝0,它說明什么?你能據(jù)此確定兩圓是內(nèi)切還是外切嗎?如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切呢?

當(dāng)?<0時，兩圓是什么位置關(guān)系?還要根據(jù)兩圓的半徑與圓心距作進一步判斷.當(dāng)?＝0時,方程組只有一組解,此時兩圓相切,但不能確定兩圓是內(nèi)切還是外切.若d=r1+r2，則兩圓外切；若d=|r1-r2|

，則兩圓內(nèi)切；當(dāng)?<0時,方程組沒有解,此時兩圓無公共點，但不能確定兩圓是外離還是內(nèi)含.若d>r1+r2

，則兩圓外離；若0≤d<|r1-r2|

，則兩圓內(nèi)含．課后練習(xí)課本練習(xí)課本P98解:把圓C2方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得∴圓C1與圓C2外切.課后練習(xí)課本練習(xí)課本P98解:把圓C1與圓C2的方程分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得∴圓C1與圓C2相交.把圓C1與圓C2的方程相減，得∴圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程為典例分析例6

已知圓O的直徑AB＝4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍.試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系.分析：我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得滿足條件的動點M的軌跡方程,從而得到點M的軌跡;通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個軌跡與圓O的位置關(guān)系。?P?MxyO?AB解:如圖示，以線段AB的中點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系.由AB=4，得A(一2,0)，B(2,

0).所以點M的軌跡是以P(6,0)為圓心，半徑為的一個圓.新知探究

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，由|MA|=k|MB|得

可知點M的軌跡是線段AB的垂直平分線

圓與圓位置關(guān)系的判斷題型一題型探究

(1)相切?(2)相交?(3)外離?(4)內(nèi)含?

圓與圓位置關(guān)系的判斷題型一題型探究提分筆記判斷兩圓位置關(guān)系的兩種方法（1）幾何法:將兩圓半徑的和或差的絕對值與圓心距作比較,得到兩圓的位置關(guān)系;（2）代數(shù)法:把兩圓位置關(guān)系的判斷問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的組數(shù)問題.兩圓相切問題題型二題型探究

兩圓相切問題題型二題型探究

兩圓相切問題題型二題型探究解題感悟處理兩圓相切問題的兩個策略（1）定性,即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切,若只是已知相切,則必須分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論.（2）轉(zhuǎn)化思想,即將兩圓相切轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對