.2基本不等式一、知識梳理1.兩個不等式重要不等式：當a、b是任意實數(shù)時，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．基本不等式：當a>0，b>0時有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立．eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．精準點播“當且僅當a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.精準點播：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．3.幾個重要的不等式①(溝通兩和與兩平方和的不等關系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關系式)③(溝通兩積與兩和的不等關系式)④重要不等式串：即調和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).4.常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立.考點分布考點一：對基本不等式的理解例題練習：1．設,,,則下列說法錯誤的是()A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為變式訓練：2．已知,則()A. B.C. D.方法總結：(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)“當且僅當”的含義：①當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.考點二：直接法求最值例題練習：3．已知正數(shù)滿足,則下列選項正確的是()A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是4．已知，，且，則的最大值為________.變式訓練：5．已知a,,,則()A.ab的最大值為2 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為16考點三：湊配法求最值例題練習：6．(1)已知,求函數(shù)的最小值；(2)已知,求的最大值.變式訓練：7．(1)已知,求的最小值；(2)若,求的最大值；方法總結：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標；(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．考點四：“1”的代換法求最值（常數(shù)的代換）例題練習：8．已知正數(shù)a、b滿足,則的最小值是()A. B. C. D.變式訓練：已知實數(shù)滿足且,則的最小值為方法總結：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．考點五：二次商式求最值例題練習：10．回答下列問題.(1)已知正數(shù)x、y滿足,求的最小值;(2)求函數(shù)的最小值.變式訓練：11．函數(shù)的最小值為________.考點六：基本不等式的實際應用例題練習：12．如圖,某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制的矩形菜園,設菜園的長為,寬為．(1)若菜園面積為,則x,y為何值時,可使所用籬笆總長最??；(2)若使用的籬笆總長度為,求的最小值．變式訓練：13．某商家準備促銷某商品,根據(jù)市場調查,當該商品的售價定為x元時,銷售量可達到萬件.已知該商品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分.其中固定價格為20元/件,浮動價格（單位：元/件）與銷售量（單位：萬件）成反比,比例系數(shù)為10.假設不計其他成本,即銷售每件商品的利潤售價供貨價格.(1)當每件商品的售價定為40元時,求該商家所獲得的總利潤；(2)該商品的售價定為多少元時,單件商品的利潤最大?參考答案1．答案：D解析：因為,,,則,當且僅當時取等號,所以選項A正確；因為,故,當且僅當時取等號,即最小值,所以選項B正確；,當且僅當且即,時取等號,所以選項C正確；,故,當且僅當時取等號,即最大值,所以選項D錯誤.故選：D.2．答案：C解析：對于A,當時,,故A錯誤；對于BD,取,此時,,故BD錯誤；對于C,由基本不等式可得,故C正確.故選：C.3．答案：ABD解析：因為,所以,則,當且僅當時,等號成立,即的最小值是2,故A正確；因為,所以,當且僅當時,等號成立,即的最大值是1,故B正確；,當且僅當時,等號成立,即的最小值是2,故C錯誤；因為,當且僅當,即時等號成立,即的最大值是,故D正確,故選：ABD.4．答案：1解析：由，，且，得，當且僅當取等號，所以的最大值為1.故答案為：15．答案：AD解析：A選項,,解得,當且僅當時等號成立,故A選項正確；B選項,,當且僅當時等號成立,故B選項錯誤；C選項,,當且僅當時等號成立,則,故C選項錯誤；D選項,,故當時,的最小值為16,D選項正確；故選：AD.6．答案：(1)9(2)解析：(1),當且僅當即時等號成立.故的最小值為9.(2),,.當且僅當,即時,.7．答案：(1)9(2)(3)6解析：(1),當且僅當,即時取等號,所以的最小值為9；(2)因為,所以,所以,,當且僅當,當且僅當時等號成立,所以的最大值為；(3)由,得,所以,所以,所以或,又,,所以,當且僅當,即時取等號,所以的最小值為6.8．答案：C解析：已知正數(shù)a、b滿足,則,當且僅當時,等號成立,因此,的最小值是4.故選:C.9．答案：解析：令,,則,,因,則,因,則,則,等號成立時,即,則的最小值為.故答案為：.10．答案：(1)(2)9解析：(1)因為,,,所以,,,所以,當且僅當,且,即,時,等號成立,故的最小值為;(2)因為,所以所以,當且僅當,即時,等號成立,故函數(shù)的最小值.11．答案：9解析：因為，則，所以，當且僅當即時等號成立，已知函數(shù)的最小值為9.故答案為：9.12．答案：(1),(2)．解析：(1)由已知可得,籬笆總長為．又因為,當且僅當,即時等號成立．所以當時,可使所用籬笆總長最小．(2)由已知得,又因為,所以,當且僅當,即,時等號成立．所以的