第3章

函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.1函數(shù)的概念【素養(yǎng)目標(biāo)】通過豐富實(shí)例,學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.(數(shù)學(xué)抽象)了解構(gòu)成函數(shù)的三要素.(數(shù)學(xué)抽象)能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些集合.(直觀想象)理解同一個函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)能判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù).(邏輯推理)【學(xué)法解讀】函數(shù)概念的引入,學(xué)生以熟悉的例子為背景進(jìn)行抽象,從變量之間的依賴關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等角度整體認(rèn)識函數(shù)的概念.例如,學(xué)生可以從已知的、基于變量關(guān)系的函數(shù)定義入手,通過生活或數(shù)學(xué)中的問題,構(gòu)建函數(shù)的一般概念,體會用對應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)的必要性,感悟數(shù)學(xué)抽象的層次.本節(jié)重點(diǎn)是理解函數(shù)的定義,會求簡單函數(shù)的定義域,難點(diǎn)是理解y=f(x)的含義,學(xué)生要加深理解.初中對函數(shù)的定義：

本節(jié)我們將在集合的基礎(chǔ)上，用新的觀點(diǎn)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的概念.問題1：函數(shù)知識回顧與更新問題1:請同學(xué)們根據(jù)如下情境回答問題：某高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).(1)這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程S(單位：km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位：h)的關(guān)系如何表示?這是一個函數(shù)嗎?為什么?(3)你認(rèn)為如何表述S與t的對應(yīng)關(guān)系才能更精確?(2)如果有人說：“根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t,這趟列車加速到350km/h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km."你認(rèn)為這個說法正確嗎?問題1：函數(shù)知識回顧與更新問題2

某電氣維修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么：(3)你能傷照同題1中對S與1的對應(yīng)關(guān)系的精確表示，給出這個間題中w與d的對應(yīng)關(guān)系的精確表示嗎?追問：問題1和2中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，你認(rèn)為它們是同一個函數(shù)嗎?為什么?（2）一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？（1）你認(rèn)為該這樣確定一個工人每周的工資？問題3

圖3.1-1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖．（1）如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？（2）你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？如果是，你能仿照前面的方式描述I與t的對應(yīng)關(guān)系嗎？再問：(1)你能根據(jù)圖3.1-1找到中午12時(shí)的AQI的值嗎?這個值是否唯一存在？(2)對于數(shù)集A3={t|0≤t≤24}中的任意一個值t,你會用什么方法尋我此時(shí)對應(yīng)的I值？表3.1-1我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)r（%）36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（1）你認(rèn)為按表3.1-1給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？（2）如果是，你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)？(3）如果我們引入B4={r|0≤r≤1}，將對應(yīng)關(guān)系表述為“對于任意一個年份y，都有B4中唯一確定的r與之對應(yīng)”，你認(rèn)為有道理嗎?歸納上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？上述問題的共同特征有：（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B表示；（2）都有一個對應(yīng)關(guān)系；（3）盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)．事實(shí)上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對應(yīng)關(guān)系的方法．為了表示方便，我們引進(jìn)符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系．

顯然,值域是集合B的子集,在問題1與問題2中,值域就是B1和B2;在問題3中,值域是數(shù)集B3的真子集;在問題4中,值域C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387.0.2989,0.2935,0.2857},是數(shù)集B={r|0<r≤1}的真子集.問題2：函數(shù)的概念

【說明】通常一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，值域就確定了.所以有

時(shí)候也稱定義域和對應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的二要素.

問題2：函數(shù)的概念

②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③唯一性：每一個自變量都有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng).④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系.但是，從值域到定義域的話，新的對應(yīng)關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.問題3：函數(shù)的四個特征函數(shù)類型定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域一次函數(shù)

二次函數(shù)反比例函數(shù)

問題4：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域應(yīng)用題出題的過程就是構(gòu)建出一個情景，使它和我們已知的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)規(guī)律對應(yīng)上.

函數(shù)的解析式是舍棄問題的實(shí)際背景抽象而來的，它所反映的是兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律.例如，正比例函數(shù)y=kx(k≠0)可以用來刻畫勻速直線運(yùn)動中的路程和時(shí)間之間的規(guī)律、某個均勻物體的質(zhì)量與體積之間的規(guī)律，圓的周長與直徑之間的關(guān)系等.問題5：函數(shù)的應(yīng)用

試構(gòu)建一個問題情景，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x(10-x)來描述。問題5：函數(shù)的應(yīng)用【練習(xí)】一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26秒落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845米，且炮彈距地面的高度h(米)與發(fā)射時(shí)間t(秒)的關(guān)系為：

求上式所表示的函數(shù)的定義域和值域，并用函數(shù)的定義

描述這個函數(shù).

2．2016年11月2日8時(shí)至次日8時(shí)（次日的時(shí)間前加0表示）北京的溫度走勢如圖所示．（1）求對應(yīng)關(guān)系為圖中曲線的函數(shù)的定義域與值域；（2）根據(jù)圖象，求這一天12時(shí)所對應(yīng)的溫度．

其中③和④都可以稱作半開半閉區(qū)間問題6：什么是區(qū)間各個區(qū)間的含義及表示方法如下表所示：

閉區(qū)間開區(qū)間左開右閉區(qū)間左閉右開區(qū)間

問題6：什么是區(qū)間常見區(qū)間的含義及表示方法如下表所示：

問題7：求函數(shù)的定義域和函數(shù)值問題7：求函數(shù)的定義域和函數(shù)值由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.因?yàn)橹涤蚴怯啥x域和對應(yīng)關(guān)系決定