2025年數(shù)字信號(hào)處理教程題庫及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.以下離散時(shí)間序列中，屬于因果序列的是（）。A.x[n]=(0.8)^nu[n-1]B.x[n]=2^nu[-n]C.x[n]=cos(0.3πn)D.x[n]=δ[n+2]答案：A（因果序列要求n<0時(shí)x[n]=0，A中n<1時(shí)x[n]=0，n≥1時(shí)非零，符合因果性；B為反因果序列，C為無限長非因果，D在n=-2時(shí)有值，非因果）2.已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[n]=(0.6)^nu[n]，則該系統(tǒng)（）。A.穩(wěn)定且因果B.穩(wěn)定但非因果C.不穩(wěn)定但因果D.不穩(wěn)定且非因果答案：A（h[n]在n<0時(shí)為0，因果；∑|h[n]|=1/(1-0.6)=2.5<∞，穩(wěn)定）3.序列x[n]=δ[n]+δ[n-1]的Z變換X(z)為（）。A.1+zB.1+z?1C.1+z2D.1+z?2答案：B（Z變換定義X(z)=∑x[n]z??，n=0時(shí)z?=1，n=1時(shí)z?1，故X(z)=1+z?1）4.離散傅里葉變換（DFT）的頻域分辨率Δf與采樣點(diǎn)數(shù)N和采樣頻率f_s的關(guān)系為（）。A.Δf=f_s/NB.Δf=N/f_sC.Δf=2πf_s/ND.Δf=f_s/(2N)答案：A（頻率分辨率定義為相鄰兩個(gè)DFT譜線的頻率間隔，Δf=f_s/N）5.設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，若要求阻帶衰減為50dB，最適合的窗函數(shù)是（）。A.矩形窗（阻帶衰減約-21dB）B.漢寧窗（阻帶衰減約-44dB）C.海明窗（阻帶衰減約-53dB）D.布萊克曼窗（阻帶衰減約-74dB）答案：C（海明窗阻帶衰減約-53dB，滿足50dB要求，且主瓣寬度較窄）6.雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)，模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω的映射關(guān)系為（）。A.Ω=(2/T)tan(ω/2)B.Ω=(T/2)tan(ω/2)C.ω=(2/T)tan(Ω/2)D.ω=(T/2)tan(Ω/2)答案：A（雙線性變換的預(yù)畸變公式為Ω=(2/T)tan(ω/2)，T為采樣周期）7.以下關(guān)于FFT算法的描述中，錯(cuò)誤的是（）。A.FFT利用了DFT的對(duì)稱性和周期性B.基2-FFT要求N為2的整數(shù)次冪C.FFT的運(yùn)算量為O(Nlog?N)D.FFT只能計(jì)算實(shí)數(shù)序列的DFT答案：D（FFT可處理復(fù)數(shù)序列，實(shí)數(shù)序列是其特例）8.若x[n]的DTFT為X(e^jω)，則x[n-2]的DTFT為（）。A.e^j2ωX(e^jω)B.e^-j2ωX(e^jω)C.X(e^j(ω-2))D.X(e^j(ω+2))答案：B（時(shí)移性質(zhì)：x[n-n?]?e^-jn?ωX(e^jω)，n?=2時(shí)為e^-j2ωX(e^jω)）9.某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=(z-0.5)/(z2-0.8z+0.15)，其極點(diǎn)位置為（）。A.z=0.3,z=0.5B.z=0.5,z=0.3C.z=0.5,z=0.3（重根）D.z=0.5,z=0.6答案：A（分母因式分解：z2-0.8z+0.15=(z-0.3)(z-0.5)，極點(diǎn)為z=0.3和z=0.5）10.數(shù)字信號(hào)處理中，混疊現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因是（）。A.采樣頻率過高B.采樣頻率低于信號(hào)最高頻率的2倍C.量化位數(shù)不足D.信號(hào)動(dòng)態(tài)范圍過大答案：B（根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣頻率需≥2倍信號(hào)最高頻率，否則發(fā)生混疊）二、填空題（每題2分，共20分）1.離散時(shí)間信號(hào)x[n]=cos(0.4πn+π/3)的周期為______。（0.4π=2πk/N→N=5k，最小N=5）答案：52.Z變換的收斂域是指滿足______的z值的集合。（|∑x[n]z??|<∞）答案：∑|x[n]z??|絕對(duì)收斂3.線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)域充要條件是______。（單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和）答案：∑|h[n]|<∞4.離散傅里葉變換（DFT）的共軛對(duì)稱性是指，若x[n]為實(shí)序列，則X[k]滿足______。（X[k]=X[N-k]）答案：X[k]=X[N-k]（表示共軛）5.用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，主瓣寬度主要影響濾波器的______。（過渡帶寬度）答案：過渡帶寬度6.IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)通常為______（有理/無理）函數(shù)。（分子分母均為z的多項(xiàng)式）答案：有理7.快速傅里葉變換（FFT）的核心思想是______。（將大點(diǎn)數(shù)DFT分解為小點(diǎn)數(shù)DFT，減少運(yùn)算量）答案：分而治之（或“將大N的DFT分解為小N的DFT”）8.數(shù)字角頻率ω與模擬角頻率Ω的關(guān)系為ω=______（T為采樣周期）。（ω=ΩT）答案：ΩT9.若x[n]是長度為N的有限長序列，其DFT的點(diǎn)數(shù)為M≥N，則補(bǔ)零后DFT的作用是______。（提高頻率分辨率的可視化，不改變實(shí)際分辨率）答案：細(xì)化頻譜（或“提高頻率采樣點(diǎn)密度”）10.系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)______（穩(wěn)定/不穩(wěn)定）。（極點(diǎn)在單位圓內(nèi)則絕對(duì)可和）答案：穩(wěn)定三、簡(jiǎn)答題（每題8分，共40分）1.簡(jiǎn)述線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的兩個(gè)主要性質(zhì)，并舉例說明。答案：LTI系統(tǒng)具有線性和時(shí)不變性。線性指滿足疊加性和齊次性，即若x?[n]→y?[n]，x?[n]→y?[n]，則ax?[n]+bx?[n]→ay?[n]+by?[n]（a、b為常數(shù)）；時(shí)不變性指輸入時(shí)移n?，輸出也時(shí)移n?，即x[n-n?]→y[n-n?]。例如，系統(tǒng)y[n]=x[n]+0.5x[n-1]是LTI系統(tǒng)，滿足線性（ax?[n]+bx?[n]對(duì)應(yīng)輸出ay?[n]+by?[n]）和時(shí)不變性（x[n-n?]對(duì)應(yīng)輸出y[n-n?]）。2.比較Z變換與拉普拉斯變換的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：Z變換是拉普拉斯變換的離散化形式，通過s=ln(z)/T（T為采樣周期）將s平面映射到z平面；當(dāng)連續(xù)信號(hào)經(jīng)理想采樣后，其拉普拉斯變換與離散信號(hào)的Z變換滿足X(z)=X_s(s)|_{s=(lnz)/T}。區(qū)別：拉普拉斯變換用于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，變量為s=σ+jΩ；Z變換用于離散時(shí)間信號(hào)，變量為z=re^jω（r=e^σT，ω=ΩT）；拉普拉斯變換的收斂域?yàn)閟平面的帶狀區(qū)域，Z變換的收斂域?yàn)閦平面的環(huán)狀區(qū)域（或圓內(nèi)外）。3.說明FFT算法相比直接計(jì)算DFT的優(yōu)勢(shì)，并推導(dǎo)基2-FFT的運(yùn)算量。答案：直接計(jì)算N點(diǎn)DFT的運(yùn)算量為O(N2)（乘法次數(shù)約N2），而基2-FFT利用分治思想將N=2^M分解為2點(diǎn)DFT的組合，運(yùn)算量為O(Nlog?N)。具體推導(dǎo)：每級(jí)分解有N/2個(gè)蝶形運(yùn)算，每蝶形需1次乘法和2次加法，共M=log?N級(jí)，總乘法次數(shù)約(N/2)log?N，加法次數(shù)約Nlog?N。例如，N=8時(shí)，直接DFT需64次乘法，F(xiàn)FT僅需12次乘法（(8/2)×3=12），顯著降低計(jì)算量。4.設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，為什么通常要求單位脈沖響應(yīng)h[n]滿足對(duì)稱性？答案：FIR濾波器的線性相位特性要求h[n]滿足偶對(duì)稱或奇對(duì)稱。若h[n]=h[N-1-n]（偶對(duì)稱），則相位響應(yīng)θ(ω)=-ω(N-1)/2（嚴(yán)格線性）；若h[n]=-h[N-1-n]（奇對(duì)稱），則相位響應(yīng)θ(ω)=-ω(N-1)/2+π/2（線性相位加固定偏移）。線性相位可避免信號(hào)各頻率分量的時(shí)移失真，在語音、圖像等需要保真性的場(chǎng)景中至關(guān)重要。5.簡(jiǎn)述雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器的步驟，并說明其如何避免混疊。答案：步驟：（1）根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)（通帶/阻帶截止頻率ω_p、ω_s，衰減），利用預(yù)畸變公式Ω=(2/T)tan(ω/2)將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率；（2）設(shè)計(jì)滿足模擬頻率指標(biāo)的模擬濾波器（如巴特沃斯、切比雪夫）；（3）通過雙線性變換s=(2/T)(z-1)/(z+1)將模擬系統(tǒng)函數(shù)H_a(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)。雙線性變換通過正切函數(shù)的非線性頻率壓縮（Ω→ω），將s平面的整個(gè)虛軸（jΩ）映射到z平面的單位圓（e^jω）一次，避免了沖激響應(yīng)不變法中因周期延拓導(dǎo)致的頻譜混疊。四、綜合題（每題15分，共30分）1.已知某LTI系統(tǒng)的差分方程為y[n]-0.6y[n-1]=x[n]+0.2x[n-1]，要求：（1）求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并畫出零極點(diǎn)圖；（2）判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性；（3）求單位脈沖響應(yīng)h[n]；（4）定性畫出幅頻響應(yīng)|H(e^jω)|的曲線。答案：（1）對(duì)差分方程取Z變換：Y(z)(1-0.6z?1)=X(z)(1+0.2z?1)，故H(z)=Y(z)/X(z)=(1+0.2z?1)/(1-0.6z?1)=(z+0.2)/(z-0.6)。零點(diǎn)z=-0.2，極點(diǎn)z=0.6。零極點(diǎn)圖：z平面上，零點(diǎn)在(-0.2,0)，極點(diǎn)在(0.6,0)，均為實(shí)軸上的點(diǎn)。（2）因果性：系統(tǒng)函數(shù)分母最高次冪為z1，分子為z1，且收斂域?yàn)閨z|>0.6（包含|z|→∞），故系統(tǒng)因果。穩(wěn)定性：極點(diǎn)z=0.6位于單位圓內(nèi)（|0.6|<1），因此系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）將H(z)展開為H(z)=(z+0.2)/(z-0.6)=1+(0.8)/(z-0.6)（分子分母同除z，得H(z)=(1+0.2z?1)/(1-0.6z?1)=1+0.2z?1+0.6×0.2z?2+0.62×0.2z?3+…）?；蛲ㄟ^逆Z變換：H(z)=(z+0.2)/(z-0.6)=z/(z-0.6)+0.2/(z-0.6)=1/(1-0.6z?1)+0.2z?1/(1-0.6z?1)。逆Z變換為h[n]=0.6?u[n]+0.2×0.6??1u[n-1]=0.6?u[n]+(0.2/0.6)×0.6?u[n-1]=0.6?u[n]+(1/3)×0.6?u[n-1]。當(dāng)n=0時(shí)，h[0]=1；n≥1時(shí)，h[n]=0.6?+(1/3)0.6?=(4/3)0.6?。（4）幅頻響應(yīng)|H(e^jω)|=|(e^jω+0.2)/(e^jω-0.6)|=√[(cosω+0.2)2+sin2ω]/√[(cosω-0.6)2+sin2ω]=√(1+0.4cosω+0.04)/√(1-1.2cosω+0.36)=√(1.04+0.4cosω)/√(1.36-1.2cosω)。當(dāng)ω=0時(shí)，|H(e^0)|=(1+0.2)/(1-0.6)=1.2/0.4=3；ω=π時(shí)，|H(e^jπ)|=|(-1+0.2)/(-1-0.6)|=0.8/1.6=0.5；ω=π/2時(shí)，|H(e^jπ/2)|=|j+0.2|/|j-0.6|=√(1+0.04)/√(1+0.36)=√1.04/√1.36≈1.02/1.17≈0.87。曲線大致為：ω=0時(shí)幅值最大（3），隨ω增大逐漸減小，ω=π時(shí)最?。?.5），呈低通特性。2.設(shè)計(jì)一個(gè)低通FIR濾波器，要求通帶截止頻率ω_p=0.3π，阻帶截止頻率ω_s=0.4π，阻帶衰減≥50dB。（1）選擇合適的窗函數(shù)并說明理由；（2）計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N；（3）寫出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h_d[n]；（4）給出實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[n]的表達(dá)式。答案：（1）阻帶衰減≥50dB，可選海明窗（阻帶衰減約-53dB），其主瓣寬度為8π/N（比漢寧窗的8π/N更窄，比矩形窗的4π/N稍寬，但衰減滿足要求）。（2）過渡帶寬度Δω=ω_s-ω_p=0.1π。海明窗的主瓣寬度約為8π/N，過渡帶寬度近似等于主瓣寬度，故Δω≈8π/N→N≈8π/Δω=8π/(0.1π)=80。由于N需為奇數(shù)（保證線性相位），取N=81（階數(shù)為N-1=80）。（3）理想低通濾波器的頻率響應(yīng)H_d(e^jω)=1（|ω|≤ω_p），0（|ω|>ω_p）。其單位脈沖響應(yīng)h_d[n]=(1/2π)∫_{-ω_p}^{ω_p}e^jωndω=(sin(ω_pn))/(πn)（n≠0），