1/10專題02利用空間向量求距離、夾角問題目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、求點到線的距離 1類型二、求點到面的距離 2類型三、求線面距、面面距、異面直線間的距離 4類型四、距離中的最值范圍問題 5類型五、求異面直線所成角 7類型六、求直線與平面所成角 8類型七、已知線面角求其他量 10類型八、求二面角及平面與平面所成角 11類型九、已知二面角求其他量 13壓軸專練 14類型一、求點到線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：一、單選題1．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）已知空間中有，，三點，則點到直線的距離為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·山西晉中·期末）在長方體中，，，點滿足，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）在長方體中，，點E在棱BC上，且，點G為的重心，則點G到直線AE的距離為（

）A． B． C． D．類型二、求點到面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.一、單選題1．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）在棱長為2的正方體中，點，分別為平面，平面的中心，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，有一個三棱柱，其中，，，則點到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．23．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·甘肅慶陽·期中）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，，點E在棱上，且，則點B到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·福建龍巖·期中）如圖，在四棱柱中，底面是菱形，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．類型三、求線面距、面面距、異面直線間的距離1、異面直線的距離（線線距）（1）公垂線：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.（2）兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度.2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．一、單選題1．（23-24高二上·河北滄州·月考）兩平行平面分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）正方體的棱長為2，，，，分別是棱，，，的中點，則平面和平面之間的距離為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·湖南邵陽·月考）在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．4．（24-25高二下·甘肅平?jīng)觥て谥校┱睦忮F中，為頂點在底面內(nèi)的正投影，為側(cè)棱的中點，且，則異面直線與的距離為（

）A． B． C． D．類型四、距離中的最值范圍問題一、單選題1．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點在線段上，點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·云南玉溪·月考）在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動點P在體對角線上，則頂點B到平面距離的最大值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·四川綿陽·月考）已知正方體的棱長為2，點P為線段上的動點，則點P到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·廣東佛山·期末）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架的邊長都是3，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，則MN的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（24-25高二下·江蘇鹽城·月考）已知長方體中，，點為側(cè)面內(nèi)任一點（含邊界），且點到點的距離與到面的距離相等，點分別為的中點，則三棱錐的體積的最大值為．6．（24-25高二上·上?！て谀┤鐖D，長方體中，，，，為底面的中心，點為上的動點（包括端點），則當?shù)拿娣e最小時，線段的長為．類型五、求異面直線所成角1、用向量運算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則①②.2、利用空間向量求異面直線所成角的步驟：（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，（2）求出兩條異面直線的方向向量的坐標，（3）利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角，（4）結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角．3、求兩條異面直線所成角的兩個關(guān)注點（1）余弦值非負：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．（2）范圍：異面直線所成角的范圍是，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負時，應(yīng)取其絕對值．一、單選題1．（24-25高二下·江蘇·開學(xué)考試）直三棱柱中，，，則與所成角為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·陜西西安·期末）如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·河南南陽·期末）已知在直三棱柱中，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2025高二·全國·專題練習(xí)）在正四棱臺中，，，且該正四棱臺的體積為28，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．類型六、求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）一、單選題1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．12．（24-25高二上·山東濟寧·月考）在四棱錐中，底面為正方形，底面分別為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·安徽亳州·月考）將邊長為1的正方形及其內(nèi)部繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與C在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）

A． B． C． D．4．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）在正三棱柱中，，P為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·廣西河池·月考）在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，E為棱的中點，則到平面的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．類型七、已知線面角求其他量一、單選題1．（23-24高二上·廣西·期末）如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動點，，直線PA和底面ABC所成的角為，則P點的坐標滿足（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·廣東廣州·期末）在正四棱柱中，側(cè)棱，直線與平面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·河南洛陽·月考）如圖，在四面體中，平面平面是邊長為6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中點，，若平面，則（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24高二上·遼寧大連·期中）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為棱的中點，且為棱上的一點，若與平面所成角的正弦值為，則.

5．（24-25高二上·遼寧·期中）已知正方體的棱長為1，點，分別是線段，上的兩個動點，若與底面所成角的度數(shù)為，則線段長度的取值范圍是.類型八、求二面角及平面與平面所成角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為鈍二面角（取負），則；一、單選題1．（24-25高二上·山東·月考）已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·廣東湛江·期末）在棱長為2的正方體中，若，則平面與平面夾角的余弦值（

）A． B． C． D．3．（25-26高二·全國·假期作業(yè)）如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點，，則平面與平面夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．4．（24-25高二上·廣東東莞·月考）在正方體中，平面經(jīng)過點B，D，平面經(jīng)過點A，，當平面，分別截正方體所得截面面積最大時，平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇泰州·月考）如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，為BC的中點，.則平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．類型九、已知二面角求其他量一、單選題1．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或1 C．或2 D．2．（23-24高二上·陜西寶雞·月考）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（

）

A． B． C． D．二、填空題3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在四棱錐中，底面是正方形，底面，若二面角的大小為，則的值為．4．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方體中，設(shè)，若二面角的平面角的正弦值為，則實數(shù)的值為．5．（24-25高二上·河南·月考）如圖，將兩個相同的四棱錐與對稱擺放組成一個多面體，已知平面，四邊形是邊長為2的正方形，若平面與平面的夾角為，則該多面體的體積為.6．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，在三棱柱中中，兩兩互相垂直，是線段上的點，平面與平面所成銳二面角為，當最小時，.

一、單選題1．（24-25高二上·遼寧錦州·期中）若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線，所成角的大小為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·廣東湛江·月考）直線的方向向量與共線，平面的一個法向量為，則直線和平面的夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·湖北武漢·期末）在四棱錐中，，，，則此四棱錐的高為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·重慶·月考）在棱長為4的正方體中，分別是棱的中點，過作平面，使得，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·遼寧·期末）如圖，平面ABCD，，，，，點M為BQ的中點，若，則N到平面CPM的距離為（

）A． B． C． D．6．（2025·北京順義·一模）六氟化硫是一種無機化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為，在其分子結(jié)構(gòu)中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看作正八面體，記為，各棱長均相等，則平面與平面夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·重慶·月考）在棱長為1的正方體中，分別是線段的中點，則直線到平面的距離是（

）

A． B． C． D．8．（24-25高二上·河南駐馬店·期末）青銅豆最早見于商代晚期，盛行于春秋戰(zhàn)國時期，它不僅可以作為盛放食物的銅器.還是一件十分重要的禮器，圖①為河南出土的戰(zhàn)國青銅器—方豆，豆盤以上是長方體容器和正四棱臺的斗形蓋.圖②是與主體結(jié)構(gòu)相似的幾何體，其中，，，點為上一點，且，點為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．9．（23-24高二上·河南漯河·期末）如圖，在直三棱柱中，，，點是棱的中點，則平面與平面夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．110．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．11．（2024高二·全國·專題練習(xí)）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．12．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（

）

A． B． C． D．113．（23-24高二上·山東泰安·月考）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點，點P在上，且滿足，當直線PN與平面ABC所成的角最大時的正弦值為（

）

A． B． C． D．14．（24-25高二上·山西·期末）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為矩形，平面平面，，為的中點，，，若點到直線的距離為2，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．15．（23-24高二上·河北邢臺·月考）如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，分別為的中點，是的中點，，則折后平面與平面夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．16．（24-25高二上·四川眉山·月考）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．17．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖，在直三棱柱