1/10專題05立體幾何中的數(shù)學(xué)文化及創(chuàng)新定義問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、立體幾何中的數(shù)學(xué)文化 1類型二、離散曲率 11類型三、曼哈頓距離 19類型四、向量叉乘 23類型五、立體幾何其他新定義問題 35壓軸專練 43類型一、立體幾何中的數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化試題常常是以數(shù)學(xué)文化為背景命制的與核心考點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的題目,把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)科核心索養(yǎng)及數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合起來，能有效考查考生在新情境中對數(shù)學(xué)文化的鑒賞能力、對數(shù)學(xué)知識的閱讀理解能力、對數(shù)學(xué)方法的遷移能力.解決此類問題主要是學(xué)會(huì)提前關(guān)鍵信息，抓住信息重點(diǎn).一、單選題1．（24-25高二上·山東淄博·期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐為陽馬，平面，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可求，從而可求它們的和.【詳解】因?yàn)椋?，而，而不共面，故，故，故選：C2．（2024·河北·模擬預(yù)測）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，最終走出了困境．如圖就是當(dāng)時(shí)纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段與所在直線異面垂直，分別為的中點(diǎn)，且，線拐子使用時(shí)將絲線從點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過又回到點(diǎn)，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中，則絲線纏一圈長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，同理可得，即可得解.【詳解】依題意，，，所以，，，又，所以，所以，同理可得，所以絲線纏一圈長度為.故選：C3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為，、、、均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為和，對應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接、、，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則、、、，所以，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.4．一個(gè)分子的極性大小通常可以用偶極矩來衡量，偶極矩是一個(gè)矢量，化學(xué)鍵極性向量之和即為分子的偶極矩，方向規(guī)定為從正電中心指向負(fù)電中心，用符號表示．一般而言，越大，分子極性越大．現(xiàn)有分子A的兩個(gè)化學(xué)鍵極性向量可分別表示為和．分子B的三個(gè)化學(xué)鍵極性向量可分別表示為，和．分子C的兩個(gè)化學(xué)鍵極性向量可分別表示為和．則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．分子A的偶極矩模長最小 B．分子C的極性最大C．A，C分子的偶極矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶極矩大小之差大于1.6【答案】C【分析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示及模長的坐標(biāo)計(jì)算求出各分子偶極矩模長，結(jié)合題設(shè)描述依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】分子A的偶極矩，分子B的偶極矩，分子C的偶極矩，則，，，所以分子A的偶極矩模長最小，A正確；因?yàn)榉肿覥的偶極矩模長最大，所以分子C的極性最大，B正確；因?yàn)?，，，所以，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：C二、多選題5．（24-25高二上·廣東珠?！ぴ驴迹┎歼_(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則（

）A． B．直線與平面所成角的余弦值為C．點(diǎn)到直線的距離是 D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到；B選項(xiàng)，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；C選項(xiàng)，利用空間向量點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用異面直線夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，B正確；C選項(xiàng)，，點(diǎn)到直線的距離為，C正確；D選項(xiàng)，，設(shè)異面直線與所成角大小為，則，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖），其中四邊形為矩形，，若和都是正三角形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為．

【答案】【分析】以矩形的中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角.【詳解】以矩形的中心為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，，和都是正三角形，所以平面，且是線段的垂直平分線．設(shè)，則，，所以，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，故．故答案為：.

7．正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個(gè)高為4的正八面體，G為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為．

【答案】【分析】依題意，求出棱長，建立空間直角坐標(biāo)系，借助向量求出異面直線夾角的余弦值，再轉(zhuǎn)換為正弦值即可.【詳解】

連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w是一個(gè)高為4的正八面體，所以，，，設(shè)棱長為，則，，所以在中，，即，解得，以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)異面直線與夾角為，則，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的正弦值，故答案為：.四、解答題8．（24-25高二上·遼寧·期中）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面，再證明平面，根據(jù)面面平行判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求余弦值，根據(jù)同角關(guān)系求結(jié)論；【詳解】（1）證明：由已知，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，連接，因?yàn)?，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面．（2）由已知平面，，平面，所以，，又，所以直線，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，,2,，，,2,，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，即，取，可得，，所以，又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，所以，由于，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為類型二、離散曲率一、單選題1．（24-25高二下·湖南長沙·月考）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出面角，計(jì)算頂點(diǎn)處的曲率，結(jié)合頂點(diǎn)個(gè)數(shù)可得答案.【詳解】正十二面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正十二面體在各頂點(diǎn)的曲率為，由于正十二面體有20個(gè)頂點(diǎn)，故其總曲率為.故選：B二、多選題2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．已知正三棱臺中，，棱，的中點(diǎn)分別為，．若該棱臺頂點(diǎn)，的曲率之差為，則（

）A．B．平面C．直線與平面所成角的正弦值等于D．多面體頂點(diǎn)D的曲率的余弦值等于【答案】BC【分析】延長，相交于P，O為的中心，棱的中點(diǎn)為E，以過O且平行于的直線為x軸，直線為y軸，直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線垂直的向量表示，判斷A；利用線面垂直的判定，判斷B；利用直線與平面所成角的向量求法，判斷C；利用向量與向量的夾角，判斷D．【詳解】正三棱臺中，棱，的中點(diǎn)分別為，，延長，相交于P，設(shè)O為的中心，棱的中點(diǎn)為E，以過O且平行于的直線為x軸，直線為y軸，直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，∵正三棱臺的頂點(diǎn)，的曲率之差為，∴，則，又，∴，，令，則，，，，，，，，．對于A，∵，，，∴與不垂直，故A錯(cuò)誤；對于B，∵，，則，同理，，又，平面，∴平面，即平面，故B正確；對于C，∵，，令平面，即平面的法向量為，則，取，得，令直線與平面所成角為，∴，故C正確；對于D，∵，，∴，又多面體頂點(diǎn)D的曲率，∴，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、解答題3．（24-25高二上·上?！て谥校┛坍嬁臻g的彎曲性是幾何研究中的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性.規(guī)定，多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中經(jīng)過該頂點(diǎn)的多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，分別是、的中點(diǎn)，，且點(diǎn)的曲率為；(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)B到平面的距離；(3)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）由曲率的定義可得，從而得是邊長為2的正三角形，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）取中點(diǎn)，連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可；（3）結(jié)合（2），利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)槔庵鶠橹比庵?，所以平面平面，又因?yàn)?，點(diǎn)的曲率為，所以，解得，又因?yàn)?，所以是邊長為2的正三角形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以①，又因?yàn)槠矫嫫矫姊?，平面平面，平面③，由①②③可得：平面；?）解：取中點(diǎn)，連接,由（1）可知兩兩垂直，且交于點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：則,，所以設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又因?yàn)?設(shè)點(diǎn)B到平面的距離，則；（3）解：由（2）可知平面的法向量，設(shè)平面的法向量，因?yàn)樗?，取，則，所以，設(shè)二面角的大小為，由題意可知，所以，所以.所以二面角的大小為.4．（24-25高三下·甘肅白銀·月考）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：①多面體頂點(diǎn)的曲率等于減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．(1)如圖1，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，O為BD的中點(diǎn)，且平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對簡單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足．請運(yùn)用歐拉定理解決下列問題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料．它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示．已知碳60（）的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，試求碳60（）各頂點(diǎn)的平均曲率．【答案】(1)①；②．(2)【分析】（1）①連接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于點(diǎn)O，進(jìn)而可證底面ABCD，利用余弦定理可求得，記四棱錐在點(diǎn)P處的曲率為，則，計(jì)算即可；②以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA，OB，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求得平面PAB的一個(gè)法向量，求得平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量法可求得二面角的平面角的正弦值；（2）設(shè)碳60（）共有F個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號，分別為1，2，…，F(xiàn)號，設(shè)第i號（）多邊形有條邊，則碳60（）共有條棱，利用曲率的定義計(jì)算可求總曲率的平均曲率.【詳解】（1）①連接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于點(diǎn)O，又，所以為正三角形，因，則，底面ABCD，底面ABCD，故，．且，，由余弦定理得，由題意可知四棱錐的四個(gè)側(cè)面三角形全等，故有，記四棱錐在點(diǎn)P處的曲率為，則，所以．②如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA，OB，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，，所以，．設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，令，得，為平面ABCD的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，由已知為銳角，則，所以，即二面角的平面角的正弦值為．（2）設(shè)碳60（）共有F個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號，分別為1，2，…，F(xiàn)號，設(shè)第i號（）多邊形有條邊，則碳60（）共有條棱，由題意，碳60（）共有個(gè)頂點(diǎn)，i號多邊形的內(nèi)角之和為，所以碳60（）的所有多邊形的內(nèi)角之和為，所以碳60（）的總曲率為．由已知，所以碳60（）各頂點(diǎn)的平均曲率為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：立體幾何的新定義問題，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問題的關(guān)鍵，根據(jù)題意求得總曲率，進(jìn)而求解．類型三、曼哈頓距離一、填空題1．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）“曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由19世紀(jì)赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，表示兩個(gè)點(diǎn)在空間（或平面）直角坐標(biāo)系中的“絕對軸距”總和.例如：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，之間的曼哈頓距離為.現(xiàn)已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)圍成的幾何體的體積為.【答案】【分析】設(shè)，利用用曼哈頓距離的定義列式，考查時(shí)點(diǎn)所圍圖形，再利用對稱性即得幾何體，進(jìn)而求出體積.【詳解】設(shè)，依題意，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，因此，點(diǎn)共面，點(diǎn)圍成的圖形是邊長為的正三角形及內(nèi)部，由對稱性知，動(dòng)點(diǎn)圍成的幾何體是正八面體，每個(gè)面都是邊長為的正三角形，所以動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體的體積.故答案為：.2．（24-25高三上·貴州貴陽·期末）對于兩個(gè)空間向量與，我們可以定義它們之間的歐式距離為，歐式距離可以簡單理解為兩點(diǎn)之間的直線距離；根據(jù)需要，還可以定義它們之間的曼哈頓距離為，曼哈頓距離最初指的是區(qū)塊建設(shè)的城市（如曼哈頓）中，兩個(gè)路口間的最短行車距離，因此也被稱為城市街區(qū)距離．如圖，在棱長為的正方體中，；若點(diǎn)在上底面內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量、的坐標(biāo)，結(jié)合題中定義可求得的值；分析可知在上底面內(nèi)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓周上，設(shè)點(diǎn)，，利用題中定義結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，則，，所以．因?yàn)樵谏系酌鎯?nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則，即在上底面內(nèi)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓周上，可設(shè)，則，，，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以．故答案為：；.二、解答題3．（24-25高二上·廣東汕頭·期末）“出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由十九世紀(jì)赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，表示兩個(gè)點(diǎn)在空間（或平面）直角坐標(biāo)系中的“絕對軸距”總和．例如：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，之間的曼哈頓距離為．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記為點(diǎn)M與直線l上的所有點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值．（i）已知點(diǎn)，求；（ii）已知點(diǎn)，直線l：，求證：．(2)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體的體積．【答案】(1)（i）2；（ii）證明見解析；(2).【分析】（1）（i）利用曼哈頓距離的定義計(jì)算得解；（ii）在直線上取點(diǎn)，按與之一為0分類，利用曼哈頓距離的定義，借助不等式性質(zhì)求出最小值即可.（2）設(shè)，利用用曼哈頓距離的定義列式，考查時(shí)點(diǎn)所圍圖形，再利用對稱性即得幾何體，進(jìn)而求出體積.【詳解】（1）（i），則.（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，因此；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，因此；當(dāng)時(shí)，同理，所以.（2）設(shè)，依題意，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，因此，點(diǎn)共面，點(diǎn)圍成的圖形是邊長為的正三角形及內(nèi)部，由對稱性知，動(dòng)點(diǎn)圍成的幾何體是正八面體，每個(gè)面都是邊長為的正三角形，所以動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體的體積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分理解曼哈頓距離的定義，并轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題求解是關(guān)鍵類型四、向量叉乘一、單選題1．（24-25高二上·北京·期中）給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算，規(guī)定：①為同時(shí)與垂直的向量；②三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長方體中中，，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)AB；根據(jù)新定義計(jì)算等號左右兩邊可判斷C；計(jì)算長方體的體積結(jié)合新定義以及數(shù)量積的定義可判斷D.【詳解】對于A，同時(shí)與垂直，，且構(gòu)成右手系，即成立，A正確；對于B，，則，B錯(cuò)誤；對于C，，與共線，且方向相同，與共線，且方向相同，與共線，且方向相同，則與共線，且方向相同，因此，C正確；對于D,，，因此，D正確．故選：B二、解答題2．（24-25高二上·上海金山·期末）我們稱為向量與的向量積，現(xiàn)定義空間向量與的向量積：若，，則.區(qū)別于向量的數(shù)量積的結(jié)果是標(biāo)量，向量的向量積的結(jié)果仍然為向量.已知在三棱錐中，記.(1)若，求；(2)①向量是即有大小又有方向的量.試根據(jù)問題（1）的結(jié)果，猜測一個(gè)有關(guān)方向的一般結(jié)論（不必證明）.②若，求直線與平面的所成角的大??；(3)證明，并用表示三棱錐的體積.【答案】(1)；(2)①答案見解析；②；(3)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)向量新定義應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算即可；（2）①得出方向是平面的法向量；②應(yīng)用線面角正弦公式計(jì)算；（3）應(yīng)用定義計(jì)算證明；結(jié)合點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算應(yīng)用體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1），.（2）①的方向是平面的法向量；因?yàn)椋?，，所以，，所以的方向是平面的法向量；②由題意知，設(shè)平面的法向量為，則設(shè)，則，則直線與平面的所成角的正弦值為，則直線與平面所成角們大小為.（3），由題意知點(diǎn)到平面的距離為，3．（24-25高二上·福建福州·期中）新定義：已知，.空間向量的叉積.若在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向向量為，且過點(diǎn)，直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則與方向向量的叉積為，與的混合積為.混合積性質(zhì)：若，則與共面；若，則與異面.已知直線的一個(gè)方向向量為，且過點(diǎn)，直線的一個(gè)方向向量為，且過點(diǎn).(1)用混合積性質(zhì)證明：與是異面直線；(2)若點(diǎn)，求的長的最小值；(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，求的坐標(biāo).【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)混合積的定義與性質(zhì)結(jié)合空間向量叉積的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）設(shè)與都垂直的向量，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算，利用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可；（3）利用空間向量的線性運(yùn)算及（2）的結(jié)論，結(jié)合空間向量共線的充要條件計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)椋?，故與是異面直線.（2）設(shè)與都垂直的向量，由，可取，則的長的最小值為.（3）由題意可設(shè)，，則，由（2）得共線，則，解得，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問，異面直線的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，求出法向量計(jì)算即可；第三問，利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線計(jì)算即可.4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(3)若為上一點(diǎn)，且滿足，求.【答案】(1)2(2)(3)10【分析】（1）證明，為直線與所成的角，設(shè)，結(jié)合“向量積”的模的定義由條件列方程求可得的長；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明為二面角的平面角，解三角形求其大小，結(jié)合二面角與二面角互補(bǔ)可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，證明平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，結(jié)合條件可求.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋詾橹本€與所成的角，即，設(shè)，則，，在中，又，所以，解得或（舍去），所以；（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，即二面角的余弦值為；（3）依題意，，又，所以，，又，所以，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，即，所以.5．（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，二階行列式其運(yùn)算法則如下：.若，則稱為空間向量與的向量積，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點(diǎn)，且三點(diǎn)不共線.(1)①若，，求；②求證：是平面的一個(gè)法向量；且.(2)①記的面積為，證明：.②三棱錐，其中，，，求三棱錐的體積.（用，，表示）(3)如圖，兩點(diǎn)分別是三角形的兩條邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），其中的中點(diǎn)為，其中的中點(diǎn)為.求證：三角形面積是四邊形面積的四分之一.【答案】(1)①；②證明見解析(2)①證明見解析；②(3)證明見解析【分析】（1）①應(yīng)用定義代入化簡可得；②設(shè)平面內(nèi)任意一向量，應(yīng)用定義結(jié)合行列式轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，證明數(shù)量積，及即可；（2）①利用正余弦關(guān)系，將三角形面積轉(zhuǎn)化為數(shù)量積表示代入坐標(biāo)整理，同時(shí)將也坐標(biāo)化，二者相等即可證明；②利用已證明結(jié)論用向量積表示面積，再應(yīng)用向量方法表示點(diǎn)到平面的距離即可得體積；（3）先證明向量積運(yùn)算律，應(yīng)用運(yùn)算律以為基底，分別表達(dá)并求解三角形面積與四邊形面積可得證.【詳解】（1）①若，，則，，，②設(shè)，，為單位正交基底.設(shè)平面內(nèi)不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，即，則存在，使得，則，則.故向量垂直于平面內(nèi)任意非零向量，所以是平面的一個(gè)法向量.由，，則.（2），設(shè)，①記的面積為，則，，又，而，，則，故，得證.②由上可知，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離，利用結(jié)論，所以，其中，，，則三棱錐的體積為.（3）首先證明：向量積的運(yùn)算律：成立.設(shè)，，，為單位正交基底.則；故成立.由（1）可知，則有也成立.其次證明向量積的運(yùn)算律：，成立.證明：因?yàn)?；?所以向量積的運(yùn)算律：，成立.又.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)分別在邊上（不含端點(diǎn)），設(shè)（），因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，.結(jié)合以上向量積的運(yùn)算律，則，因?yàn)?，，又，所以，所以，故三角形面積是四邊形面積的四分之一.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題是“向量積”新定義題目，解決關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是理解新定義，“向量積”本質(zhì)是向量，將求解問題轉(zhuǎn)化為向量進(jìn)行向量運(yùn)算即可；二是借助新定義結(jié)合向量的運(yùn)算推導(dǎo)向量積的運(yùn)算律并應(yīng)用.類型五、立體幾何其他新定義問題面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結(jié)合。明確解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在解題過程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡化問題。對于復(fù)雜問題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來遇到類似問題時(shí)能夠迅速應(yīng)對.一、單選題1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空間中的一個(gè)單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計(jì)算：，其中行列式計(jì)算表示為，所得向量垂直于向量，所確定的平面.利用向量積可以計(jì)算由兩個(gè)不共線向量確定的平面的法向量.若向量，，則平面的法向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)叉乘公式直接代入計(jì)算即可.【詳解】由題意得：，則向量即為平面的法向量，故選：A．2．（24-25高二上·湖北·期中）在《線性代數(shù)》中定義：對于一組向量，，存在一組不全為0的實(shí)數(shù)，，使得：成立，那么則稱，，線性相關(guān)，只有當(dāng)時(shí)，才能使成立，那么就稱，，線性無關(guān).若為一組不共面的空間向量，則以下向量組線性無關(guān)的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】根據(jù)向量組線性相關(guān)，無關(guān)的定義列出等式，解方程組即可判斷.【詳解】因?yàn)闉橐唤M不共面的空間向量，則不能用，線性表示，即只有當(dāng)時(shí)，.對于A：設(shè)，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關(guān)，故B錯(cuò)誤；對于C：設(shè)，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關(guān)，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)，整理得：，所以有，解得，所以，，線性無關(guān)，故D正確.故選：D3．（24-25高二上·北京通州·期中）如圖，空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，定義.正方體的棱長為3，E為棱的中點(diǎn)，平面內(nèi)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，M，分別滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正方體的特征結(jié)合阿波羅尼斯圓確定M軌跡，根據(jù)新定義確定P點(diǎn)軌跡，在平面中利用數(shù)形結(jié)合的思想及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)正方體的特征易知平面，平面，平面，所以，又，則，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理得，即M軌跡為平面上的圓，以為圓心，2為半徑；因?yàn)?，則P軌跡為以為中心，一條對角線長4且在縱軸上的正方形，如上圖所示，，易得，過圓心作的垂線，可知垂線方程為易得上的垂足，顯然在線段上，而上的垂足，顯然H距N遠(yuǎn)，則圓心到的距離為，圓心到H的距離.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于曼哈頓距離問題的處理策略關(guān)鍵在于作出正方形框圖，即得出P的軌跡為正方形，此外利用阿氏圓的定義確定M軌跡，再數(shù)形結(jié)合即可.二、多選題4．已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（

）A．已知，，則B．已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量的夾角取得最小值C．已知，，則D．已知，，，則三棱錐的表面積【答案】BC【分析】根據(jù)已知，借組圖形，利用向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】對于A，，因?yàn)?，且，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，如圖所示，設(shè)，，則點(diǎn)A在平面上，點(diǎn)在軸上，

由圖易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故B正確；對于C，根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得，，故C正確；對于D，由已知可得三棱錐為正四面體，棱長為1，其表面積，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、解答題5．（24-25高二上·浙江·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空間向量為該平面的一個(gè)法向量.有四個(gè)平面，，，(1)若平面與平面互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)請利用法向量和投影向量的相關(guān)知識證明：點(diǎn)到平面的距離為；(3)若四個(gè)平面，，，圍成的四面體的外接球體積為，求該四面體的體積.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)兩平面垂直法向量關(guān)系運(yùn)算得解；（2）根據(jù)空間點(diǎn)到平面的距離向量公式運(yùn)算得證；（3）聯(lián)立可求得頂點(diǎn)，同理可求得其它頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)外接球球心為，根據(jù)接球半徑，求得球心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（2）的結(jié)論求出四面體的高，運(yùn)算求得四面體的體積.【詳解】（1）根據(jù)題意，平面的法向量，平面的法向量，所以，故.（2）不妨設(shè)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，則向量，取平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）由解得交點(diǎn)，同理，可得其它交點(diǎn)，，，又四面體外接球體積為，故外接球半徑，設(shè)球心為，則，即有得或，當(dāng)球心坐標(biāo)為時(shí)，，得（舍去），當(dāng)球心坐標(biāo)為時(shí)，，得（舍去）或，故，所以到平面即的距離為，又是正三角形，所以，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是理解新定義，求出四面體的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算得解.6．（24-25高二上·江西上饒·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)已知直線的點(diǎn)方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)給出的結(jié)論，得到直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量求直線與平面所成的角的余弦值.（2）求平面與交線的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，證明直線與平面平行.（3）分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求平面角的余弦值.【詳解】（1）由直線的點(diǎn)方向式方程為可知直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為由平面的一般式方程為可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以有，所以，即直線與平面所成角的余弦值為．（2）由平面可知平面的一個(gè)法向量為，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)兩平面交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，即，且，所以．?）因平面經(jīng)過三點(diǎn)，可得，設(shè)側(cè)面所在平面的法向量為則，令，解得，可得，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的交線（即直線）的方向向量為，則，令，則，，可得，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，由，則，解得，即，故平面與平面夾角的余弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解題中給出的結(jié)論，并能利用結(jié)論解決問題.一、單選題1．（24-25高二上·廣東東莞·月考）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，利用空間向量運(yùn)算即可求得正確答案.【詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，

因?yàn)榈酌鏋橹苯侨切蔚闹崩庵?，所以四邊形為長方形，又因M，N分別是的中點(diǎn)，所以，則，又因，所以可得，解得，所以.故選：A.2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）沼氣是一種混合氣體，其主要成分是甲烷，其分子式為，且分子結(jié)構(gòu)是正四面體結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡式如圖所示．記上頂點(diǎn)為，底面三個(gè)頂點(diǎn)分別為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，即可求解.【詳解】因?yàn)榧淄榈慕Y(jié)構(gòu)為正四面體，所以，又，同理可得，所以．故選：C3．（24-25高二上·河南駐馬店·期末）青銅豆最早見于商代晚期，盛行于春秋戰(zhàn)國時(shí)期，它不僅可以作為盛放食物的銅器.還是一件十分重要的禮器，圖①為河南出土的戰(zhàn)國青銅器—方豆，豆盤以上是長方體容器和正四棱臺的斗形蓋.圖②是與主體結(jié)構(gòu)相似的幾何體，其中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合長方體及正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線線角的余弦值.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，在正四棱臺中，點(diǎn)到平面距離為,則，，因此，所以異面直線與夾角的余弦值為.故選：A

4．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，幾何之父歐幾里得在《幾何原本》里證明了世界上只存在正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體這5種正多面體.公元前200年，阿基米德把這5種正多面體進(jìn)行截角操作（即切掉每個(gè)頂點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)了5種對稱的多面體，這些多面體的面仍然是正多邊形，但各個(gè)面卻不完全相同，如圖所示，現(xiàn)代足球就是基于截角正二十面體的設(shè)計(jì)，則圖2所示的足球截面體的棱數(shù)為（

）A．60 B．90 C．120 D．180【答案】B【分析】先分析得出正二十面體的面、頂點(diǎn)以及棱的個(gè)數(shù)，進(jìn)而結(jié)合圖象得出足球截面體各個(gè)面的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】易知正二十面體有20個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，每個(gè)頂點(diǎn)都是5條棱的交點(diǎn)，每條棱都是兩個(gè)面的公共邊，所以，正二十面體的棱數(shù)為，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.由圖象可知，正二十面體的每個(gè)頂點(diǎn)截角后為一個(gè)正五邊形，即每個(gè)頂點(diǎn)處增加了5條棱；原來的30條棱數(shù)量不變，所以，足球截面體的棱數(shù)為.故選：B.5．（24-25高二上·湖南郴州·開學(xué)考試）已知一對不共線的向量，的夾角為，定義為一個(gè)向量，其模長為，其方向同時(shí)與向量，垂直（如圖1所示）．在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．B．當(dāng)時(shí)，C．若，，則D．平行六面體的體積【答案】C【分析】A.根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合新定義公式，即可判斷；B.結(jié)合新定義和數(shù)量積公式，即可判斷；B.根據(jù)條件求，即可判斷；D.根據(jù)新定義和數(shù)量積的幾何意義，即可判斷.【詳解】對于A，，而，故，正確；對于B，，當(dāng)時(shí)，有意義，則，正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，，所以，錯(cuò)誤；對于D，的模長即為平行六面體底面OACB的面積，且方向垂直于底面，由數(shù)量積的幾何意義可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模長（即為平行六面體的高）乘以底面的面積，即為平行六面體的體積，正確．故選：C6．（23-24高二下·廣東揭陽·期末）已知為球面上四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，以為直徑的球稱為的“伴隨球”.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球面上，它的兩條棱的長度分別為8和6，則的伴隨球的體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出三棱錐的外接球半徑，求出，進(jìn)一步求出的范圍，從而得出答案即可．【詳解】設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以球的半徑為，則球的兩條弦的中點(diǎn)為，則，即弦分別是以為球心，半徑為和的球的切線，且弦在以為球心，半徑為的球的外部，的最大距離為，最小距離為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，分別取最大值與最小值，故的伴隨球半徑分別為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的體積為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的體積．∴的伴隨球的體積的取值范圍是．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由三棱錐的外接球半徑，求出是解題的關(guān)鍵．二、多選題7．（23-24高二上·福建三明·期中）很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24，棱長為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面B．若是棱的中點(diǎn)，則與平面平行C．點(diǎn)到平面的距離為D．該半正多面體的體積為【答案】AC【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合正方體的幾何性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)A、B的正誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離公式，可判斷選項(xiàng)C的正誤；.根據(jù)該半正多面體可看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，可計(jì)算體積，判斷選項(xiàng)D的正誤.【詳解】由題意，可作圖如下：

對于A，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面，故A正確；對于B，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面.若與平面平行，則有，而是棱的中點(diǎn)，所以在正方形中這是不可能的，故B是錯(cuò)誤的；對于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長為，所以正方體的棱長為.由圖可知，，，，在平面內(nèi)取，，設(shè)平面的法向量，由，可得，化簡可得，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量.因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)到平面距離，故.C正確對于D，該半正多面體可看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，所以該立體圖形的體積，故D是錯(cuò)誤的.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將該多面體放置于正方體當(dāng)中分析，對于CD選項(xiàng)的判斷建立合適的空間直角坐標(biāo)系再去計(jì)算即可.8．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)的曲率為分別為AC，的中點(diǎn)，則（

）A．直線BF與直線所成角余弦值為B．在三棱柱中，點(diǎn)的曲率為C．過BC作三棱柱的截面，使得截面與平面平行，則截面面積為D．當(dāng)點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為【答案】BD【分析】對于B根據(jù)曲率的定義計(jì)算點(diǎn)的曲率即可判斷，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可判斷A，取的中點(diǎn)為，連接，即證平面平面，計(jì)算平面的面積即可判斷C，設(shè)，利用向量求，，設(shè)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離和點(diǎn)的距離之和，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，則，利用兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】設(shè),在直三棱柱中,,由點(diǎn)的曲率為,所以,所以,又,所以,所以點(diǎn)的曲率為,故B正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意有，，對于A：，所以，所以直線BF與直線所成角余弦值為，故A錯(cuò)誤；對于C：取的中點(diǎn)為，連接，由且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又為的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以截面為平面，可知四邊形為梯形，又，，則點(diǎn)到直線的距離為，所以梯形的面積為，故C錯(cuò)誤；對于D：，設(shè)，所以，，所以，，所以，設(shè)，則表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離和點(diǎn)的距離之和，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，所以，所以，所以的最小值為，故D正確.故選：BD.三、填空題9．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，四棱錐的總曲率為.【答案】/【分析】根據(jù)曲率的定義結(jié)合正方體和四棱錐的特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為；由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為.故答案為：；.10．（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解平面與平面夾角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令可得，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令可得，所以設(shè)平面與平面所成角為，，則，故平面與平面所成角的余弦值為.故答案為：.11．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·月考）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．該羨除是一個(gè)多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，面面，梯形、的高分別為3，7，且，，，則，異面直線所成角的余弦值是.【答案】【分析】過分別作，的高，垂足分別為，，證明，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】過分別作，的高，垂足分別為，，如圖所示：平面平面，，由得：，又平面平面，面，故平面，又面，故可得，∵，，又，故，，兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知，，，，，∴，，，∴，，即異面直線所成角的余弦值是．故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法，定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.12．（24-25高二上·貴州黔西·月考）閱讀材料：數(shù)軸上，方程（）可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為.【答案】/【分析】根據(jù)題意得到不同平面的法向量，兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面的法向量均垂直，我們可以求得兩個(gè)平面交線的方向向量，然后利用向量夾角與線面角的關(guān)系求解即可.【詳解】平面的方程為，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故答案為：.四、解答題13．（23-24高二上·福建泉州·期末）宋元時(shí)期，泉州作為海洋商貿(mào)中心，成為世界第一大港.作為海上絲綢之路的起點(diǎn)，泉州的海外貿(mào)易極其頻繁，但海上時(shí)常風(fēng)浪巨大，使用原始船出行的風(fēng)險(xiǎn)也大.因此，當(dāng)時(shí)的設(shè)計(jì)師為了海外貿(mào)易的正常進(jìn)行，便在船只設(shè)計(jì)中才用了楔形零件結(jié)構(gòu)，由此海上出行無需再懼怕船體崩潰，這也為海上貿(mào)易的發(fā)達(dá)作出了巨大貢獻(xiàn)，而其智慧至今仍熠熠生輝.如圖是從棱長為3的正方體木塊中截出的一個(gè)楔形體ABCDMNPQ，將正方體的上底面平均分成九個(gè)小正方形，其中是中間的小正方形的頂點(diǎn).(1)求楔形體的表面積；(2)求平面APQ與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意楔形體為上底、下底分別為1，3，高為3的正四棱臺，可以依次求出其側(cè)棱以及斜高，然后即可求出它的表面積.（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由法向量夾角余弦的絕對值公式即可得解.【詳解】（1）易得該楔形體的上底面為邊長為1的正方形，下底面是邊長為3的正方形，側(cè)面是等腰梯形，其上底面邊長為1，下底面邊長為3，腰的長為，所以側(cè)面等腰梯形的高為，所以該楔形體的表面積為.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，解得，令，則，

所以平面的一個(gè)法向量為，同理得，解得，令，則；即平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.14．（24-25高二上·山東濟(jì)南·月考）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，在陽馬中，側(cè)棱平面，且，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DP上的點(diǎn)，．(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面．(2)判斷是否存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，若存在，求出λ，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，理由見解析【分析】（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，即可證明；（2）根據(jù)已知條件EF與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法建立方程，即可求出的值.【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)棱平面，底面為長方形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.所以，，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上的點(diǎn)，，即F為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)棱平面，平面，所以，又因?yàn)榈酌鏋殚L方形為，有，平面，，所以平面,所以為面的法向量.又因?yàn)?，所以，又平面，所以平面．?）存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為.理由如下：設(shè)，所以，因?yàn)椋?，即所以，設(shè)平面的法向量為，由，，則有，解得，令，所以，所以，整理得，，解得，，故存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為.15．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則(1)①點(diǎn)，，求的值．②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．(2)已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．【答案】(1)①7；②；(2)2；(3)2，，，，.【分析】（1）①②根據(jù)“曼哈頓距離”的定義求解即可；（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，然后表示，分類討論求的最小值；（3）將的所有情況看做正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，列舉出不同情況的，即可得到的最小值.【詳解】（1）①；②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即.（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，的最小值為2.（3）如圖，為正方體，邊長為1，則對應(yīng)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)面上時(shí)，（i）例如：，此時(shí)；（