《線性代數(shù)》模擬題(開卷)

一.單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)A為〃階矩陣，且網(wǎng)=2,則|2A|=(C)o

A.2"B.2'iC.22D.4

2.〃維向量組%，％，…，&(3?s4n)線性無關(guān)的允要條件是(C)。

A.%,%，…，生中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)

B.%,a?…,%中存在一種向量不能用其他向量線性表達(dá)

C.%,2”…，4中任一種向量都不能用其他向量線性表達(dá)

D.%,%，…，%中不含零向量

3.下列命題中對(duì)的的是(D)o

A.任意〃個(gè)〃+1維向量線性有關(guān)B.任意〃個(gè)〃+1維向量線性無關(guān)

C.〃+1個(gè)〃維向量線性無關(guān)D.任意〃+1個(gè)〃維向量線性有關(guān)任意

4.〃無非齊次線性方程組人乂=8有唯一解的充要條件是(B)。

A.r(A)=〃B.r(A)=r(A,B)=nC.r(A)=r(A,8)<〃D.r(A)=r(A,B)

5.矩陣人的特性值為123,則其行列式周為(A).

A.6B.18C.36D.72

6.方陣A與B相似，則下列說法錯(cuò)誤的是(D)

A.方陣A與8有相似的特性向量B.方陣A與B有相似的特性值

C.方陣A與8有相似的行列式D.方陣4與4有相似的跡

7.三元非齊次線性方程組AX=8的解向量囚,4，%滿足

%+%=(1，?！?,。2+%=(2,4,-2)7，則其導(dǎo)出組AX=O的一種解為(C)

A.(1,0,1)7B.(1,2-1/C.(-1-4,3)7D.(3,

二.填空題

Zl14-x2+x3=0

玉+疝2+七=0只有零解，則-應(yīng)滿足_-=-2或2=1_。

X]+工2+芥3=0

3.當(dāng)k=4時(shí),向I量組%=(1,2,1),%=(2,N2)線性有關(guān)。

fl-1},.(I

4.A=\,則A"=_I；-o

(02)10D

5.矩陣A的特性值分別為1,-1,2,則1笛+2/1=54。

6.寫出二次型/(內(nèi),5,當(dāng))=父+4*+2后+5內(nèi)石+4?工3-6々工3對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣

12、

24-3_o

12-32)

三.計(jì)算題

1.問a取何值時(shí)，下列向量組線性無關(guān)？%=—

2

1

a-2

解：當(dāng)一十a(chǎn)—4=(。-1)(。+4■廣工0時(shí)，即4WI且aW-,時(shí),6Z1,%,%線性無關(guān)

22a

,200、

2.求A=030的所有特性值和特性向量。

2V

2-200

解：|4-羽=03-/10=(2-A)(3-A)*12

023-2

因此A的特性值為4=2,4=4=3.

當(dāng)4=2時(shí)，解方程（A-2E）x=0

r000、'ooo]<r

--27、

由（A—2E）=010J010,得基礎(chǔ)解系p,=0

<021,eoJ[o）

因此對(duì)應(yīng)于4=2的所有特性向量為K四伏尸0）.

當(dāng)4一4一3時(shí)，解方程（A—3KA=0

00、

由（人一3七）二000,得基礎(chǔ)解系P2=0

、（）201

因此對(duì)應(yīng)于4=4=3的所有特性向量為心〃2（&￥°）?

a-100

0ci-1a

3.求行列式的值。

00-1

1a+\

a-100

a-100

0

a-1a1+1

解:=〃（T）0-1a-1a

00a-1

1a+\0

1114+1

a-1a-100

-1

0a-1a-1a=。方（。+1）+0+1-a2-0-（-tz）]4-

11a+\0-1

=。（/+。+1）+（1—/）=a4+a+l

解:

（）、

010

001,

I00110100110

匕-3')0-26120八+弓)0-26120

029-3-310015-2-11

Z

()、

x10010、10011

r2<-2)

_1□+3〃、_2±

01-3200101055

2I_J_1

00—00

1"*15*151一言1515?

110、

.?.(43尸__9__61

1075

一2I

151515,

5.求向量組％=(1,2,1,2),%=(17-1,6),。3=(1—20),4=(4,2,5,6)的極大無關(guān)組,

并用極大無關(guān)組表達(dá)其他向量。

rl212、」212、’1212、

17-1605-24e+2%0-100

解:/

1-1200-31-20-31-2

<4256；1。-61-2；、0-300；

I212、

%-3與0-100

0-31-2

、0000;

從而可知%,%是向量組多,%,%,%的一利?極大無關(guān)組

由求解極大無關(guān)組的過程可知%=-6q+3。2+7%

211

6.已知矩陣人=I21,求正交矩陣7使得為對(duì)角矩陣。

I12

2-/111

解：\A-AE\=12-/11=(4—4)(1—2)2

112-2

因此A的特性值為4=4,4=4=1.

'3、

當(dāng)4=4時(shí)，解方程(A-4E)x=0,得基礎(chǔ)解系P1=1

當(dāng)4=4=1時(shí)，解方程(A—E)x=O,得基礎(chǔ)解系〃2

由于基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)都等于對(duì)應(yīng)特性值的重?cái)?shù),

3