吉林省延邊朝鮮族自治州汪清四中2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－192．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的有，若，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.3．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.5．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.57．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.8．若實(shí)數(shù)滿足，則點(diǎn)不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切10．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.12．即空氣質(zhì)量指數(shù)，越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)不大于100時(shí)稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某市3月1日到12日的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).則下列敘述正確的是A.這天的的中位數(shù)是B.天中超過(guò)天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”C.從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.這天的的平均值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，外接圓周長(zhǎng)為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________14．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)__________15．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則______16．已知圓：，：.則這兩圓的連心線方程為_(kāi)________（答案寫成一般式方程）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分別是的中點(diǎn).將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，且，連接，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）過(guò)B，C，M三點(diǎn)的平面與線段A'E相交于點(diǎn)N，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①；②直線與所成角的大小為；③三棱錐的體積是三棱錐體積的注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．（12分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積19．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設(shè)，若橢圓E上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q滿足，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.22．（10分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C2、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用單調(diào)性，對(duì)題干條件變形后得到不等關(guān)系，求出答案.【詳解】令，則恒成立，故單調(diào)遞增，變形為，即，從而，解得：，故k的取值范圍是故選：C3、A【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】的周長(zhǎng)，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A.4、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A5、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點(diǎn)為，由，得到為的中點(diǎn)，得到，代入拋物線方程，求得，進(jìn)而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準(zhǔn)線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，因?yàn)?，可得可得三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以，將點(diǎn)代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.6、D【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D7、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對(duì)于C選項(xiàng)，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對(duì)于D選項(xiàng)，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.8、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過(guò)第二象限，即點(diǎn)不可能落在第二象限.故選：B9、A【解析】由直線恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)圓內(nèi)，從而即可判斷直線與圓相交.【詳解】解：因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，而，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：A.10、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C11、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C12、C【解析】這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是，故A不正確；這12天中，空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正確；；從4日到9日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好，，故C正確；這12天的指數(shù)值的平均值為110，故D不正確.故選C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長(zhǎng)與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問(wèn)題，常見(jiàn)的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.14、【解析】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線的離心率一般是通過(guò)已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來(lái)年需要注意橢圓的長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.15、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則，對(duì)求導(dǎo)，再求即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：16、【解析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線方程，再化成一般式即可【詳解】解：圓，即，兩圓的圓心為：和，這兩圓的連心線方程為：，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證；（2）分別選①，②，③可求得為的中點(diǎn)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量求得所求的線面角.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn)，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小問(wèn)2詳解】（2）選①，；，，，，為的中點(diǎn).選②，直線與所成角的大小為；，∴直線與所成角為.又直線與所成角的大小為，，，為的中點(diǎn).選③，三棱錐的體積是三棱錐體積的，又，即，為的中點(diǎn).∵過(guò)三點(diǎn)的平面與線段相交于點(diǎn)平面，平面.又平面平面，，為的中點(diǎn).兩兩互相垂直，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則；.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，直線與平面所成的角為.由，得.令，得.則.∴直線與平面所成角的正弦值為.18、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結(jié)合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】（1）由題可得，即求；（2）設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)橢圓的方程為，則，∴，∴橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直線PQ的方程為過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不合題意.故直線PQ過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)已知條件求出、、的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出關(guān)于、所滿足的等式，然后化簡(jiǎn)直線的方程，即可求得直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】解：橢圓上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，又橢圓離心率為，故，，因此，橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)、，由題意可知且，橢圓的右頂點(diǎn)為，則，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，所以有，則，即，聯(lián)立，，即，①由韋達(dá)定理得，，所以，，化簡(jiǎn)得，即或，均滿足①式.當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)定點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)定點(diǎn).綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，通過(guò)即可證明；（2）通過(guò)，

可證平面，即得，進(jìn)而通過(guò)平面得，結(jié)合即證.詳解】證明：（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面正方形，∴是中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.平面，

平面，∴平面.（2），點(diǎn)是的中點(diǎn)，.底面是正方形，側(cè)棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，