2026屆上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）A.60 B.65C.66 D.692．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是A.1 B.2C.3 D.43．下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.4．為參加學(xué)校運(yùn)動會，某班要從甲，乙，丙，丁四位女同學(xué)中隨機(jī)選出兩位同學(xué)擔(dān)任護(hù)旗手，那么甲同學(xué)被選中的概率是（）A. B.C. D.5．已知直線ax＋4y－2＝0與2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為（）A.－4 B.20C.0 D.246．函數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.7．下列函數(shù)中，能用二分法求零點的是（）A. B.C. D.8．設(shè)、是兩個非零向量，下列結(jié)論一定成立的是（）A.若，則B.若，則存在實數(shù)，使得C若，則D.若存在實數(shù)，使得，則|9．圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關(guān)于乘客量的圖象，圖（2）、（3）是由于目前本條路線虧損，公司有關(guān)人員提出的兩種扭虧為盈的建議，則下列說法錯誤的是（）A.圖（1）的點的實際意義為：當(dāng)乘客量為0時，虧損1個單位B.圖（1）的射線上的點表示當(dāng)乘客量小于3時將虧損，大于3時將盈利C.圖（2）的建議為降低成本而保持票價不變D.圖（3）的建議為降低成本的同時提高票價10．設(shè)函數(shù)，點，，在的圖像上，且．對于，下列說法正確的是（）①一定是鈍角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A①③ B.①④C.②③ D.②④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如下圖所示的正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為8，高為3212．已知，且.（1）求的值；（2）求的值.13．我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難人微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)．請寫出一個在上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)：________________14．函數(shù)的值域為_____________15．已知函數(shù)，若，則___________.16．若，則_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知二次函數(shù)，且是函數(shù)的零點.（1）求解析式，并解不等式；（2）若，求函數(shù)的值域18．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，集合.（1）求的值；（2）當(dāng)時，的值域為集合，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19．求值或化簡：（1）；（2）.20．已知函數(shù)是偶函數(shù)（其中a，b是常數(shù)），且它的值域為（1）求的解析式；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，而函數(shù)滿足對任意的，有恒成立，求m的取值范圍21．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點、在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．若，（）求向量，夾角的正切值（）問點在什么位置時，向量，夾角最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由已知可得方程，解出即可【詳解】解：由已知可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得.故選：B2、A【解析】設(shè)，則函數(shù)等價為，由，轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合或者分段函數(shù)進(jìn)行求解，即可得到答案【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則函數(shù)等價為，由，得，若，則，即，不滿足條件若，則，則，滿足條件，當(dāng)時，令，解得（舍去）；當(dāng)時，令，解得，即是函數(shù)的零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)只有1個，故選A【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點問題的應(yīng)用，其中解答中利用換元法結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】利用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A，，是偶函數(shù)，不滿足題意對于B，是奇函數(shù)，但不是減函數(shù)，不滿足題意對于C，，是奇函數(shù)，因為是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，不滿足題意對于D，是奇函數(shù)且是減函數(shù)，滿足題意故選：D4、C【解析】求出從甲、乙、丙、丁4位女同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)擔(dān)任護(hù)旗手的基本事件，甲被選中的基本事件，即可求出甲被選中的概率【詳解】解：從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2位擔(dān)任護(hù)旗手，共有種方法，甲被選中，共有3種方法，甲被選中的概率是故選：C【點睛】本題考查通過組合的應(yīng)用求基本事件和古典概型求概率，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)5、A【解析】由垂直求出，垂足坐標(biāo)代入已知直線方程求得，然后再把垂僄代入另一直線方程可得，從而得出結(jié)論【詳解】由直線互相垂直可得，∴a＝10，所以第一條直線方程為5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直線上，所以代入得c＝－2，再把點(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.故選：A6、B【解析】用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可求得最值.【詳解】由因為所以當(dāng)時故選：B7、D【解析】利用零點判定定理以及函數(shù)的圖象，判斷選項即可【詳解】由題意以及零點判定定理可知：只有選項D能夠應(yīng)用二分法求解函數(shù)的零點，故選D【點睛】本題考查了零點判定定理的應(yīng)用和二分法求解函數(shù)的零點，是基本知識的考查8、B【解析】利用向量共線定理、垂直數(shù)量積為0來綜合判斷.【詳解】A：當(dāng)、方向相反且時，就可成立，A錯誤；B：若，則、方向相反，故存在實數(shù)，使得，B正確；C：若，則說明，不一定有，C錯誤；D：若存在實數(shù)，使得，則，D錯誤.故選：B9、D【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時，，所以當(dāng)乘客量為0時，虧損1個單位，故本選項說法正確；B：當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以本選項說法正確；C：降低成本而保持票價不變，兩條線是平行，所以本選項正確；D：由圖可知中：成本不變，同時提高票價，所以本選項說法不正確，故選：D10、A【解析】結(jié)合，得到，所以一定為鈍角三角形，可判定①正確，②錯誤；根據(jù)兩點間的距離公式和函數(shù)的變化率的不同，得到，可判定③正確，④不正確.【詳解】由題意，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為點，，在的圖像上，且，不妨設(shè)，可得，則，因為，可得，又由因為，，，，所以，所以所以，所以一定為鈍角三角形，所以①正確，②錯誤；由兩點間的距離公式，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的變化率，可得點到的變化率小于點到點的變化率不相同，所以，所以不可能為等腰三角形，所以③正確，④不正確.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】如下圖所示，O'B'=2,OM=212、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)，之間的關(guān)系，平方后求值即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡后，再根據(jù)同角三角函數(shù)間關(guān)系求解.【小問1詳解】∵∴，.【小問2詳解】由,可得或（舍），原式,∴原式.13、(答案不唯一)【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即得.【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)可為.故答案為：.14、【解析】利用二倍角余弦公式可得令，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】由題意得：令，則∵在上單調(diào)遞減，∴的值域為：故答案為：【點睛】本題給出含有三角函數(shù)式的“類二次”函數(shù)，求函數(shù)的值域．著重考查了三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識，屬于中檔題15、0【解析】由，即可求出結(jié)果.【詳解】由知，則，又因為，所以.故答案：0.16、【解析】平方得三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）.【解析】（1）根據(jù)的零點求出，的值，得出函數(shù)的解析式，然后解二次不等式即可；（2）利用換元法，令，則，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求出最值.【詳解】（1）由題意得，解得所以當(dāng)時，即，.（2）令,則，，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，故.【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式求解、值域問題以及一元二次不等式的解法，較簡單.解答時只要抓住二次方程、二次函數(shù)、二次不等式之間的關(guān)系，則問題便可迎刃而解.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，求出的值，再檢驗即可得出答案.(2)先求出函數(shù)的值域，即得出集合，然后由題意知，根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式組，從而求出答案.【小問1詳解】由冪函數(shù)定義，知，解得或，當(dāng)時，的圖象不關(guān)于軸對稱，舍去，當(dāng)時，的圖象關(guān)于軸對稱，因此.【小問2詳解】當(dāng)時，的值域為，則集合，由題意知，得，解得.19、(1)18;(2).【解析】(1)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出;(2)利用指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.試題解析：(1)（2）＝＝＝＝20、（1）（2）【解析】（1）由偶函數(shù)的定義結(jié)合題意可求出，再由函數(shù)的值域為可求出，從而可求出函數(shù)解析式，（2）由題意求出的解析式，判斷出當(dāng)時，，從而將問題轉(zhuǎn)化為滿足對任意的恒成立，設(shè)，則對恒成立，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解【小問1詳解】由題∵是偶函數(shù)，∴，∴∴或，又∵的值域為，∴，∴，∴或，∴；【小問2詳解】若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，由（1）知，∴時，；時，；當(dāng)時，，顯然時，，若，則又滿足對任意的，有恒成立，∴對任意的恒成立，即滿足對任意的恒成立，即，設(shè)，則對恒成立，設(shè)，∵函數(shù)的圖像開口向上，∴只需，∴，∴所求m的取值范圍是.21、（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：（）設(shè)向量與軸的正半軸所成的角分別為，則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由（1）知，利用基本不等式即可的結(jié)果.詳解：（1）由題意知，A的坐標(biāo)為A（0，6），B的坐標(biāo)為B（0，4），C（x，0），x＞0設(shè)向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函數(shù)的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值為時，夾角|α﹣β|的值也最大，當(dāng)x=時，取得最大值