福建省2026屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.2．丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.3．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.4．在拋物線上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則p的值為（）A. B.2C.1 D.45．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.36．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.87．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.68．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－69．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.511．在平面上有一系列點，對每個正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，以點為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項之和為，則（）A. B.C. D.12．某學生2021年共參加10次數(shù)學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標準差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過點，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________14．已知拋物線方程為，則其焦點坐標為__________15．動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.16．命題，恒成立是假命題，則實數(shù)a取值范圍是________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐的底面是矩形，底面，且，設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點，H為EG的中點，如圖.（1）求證：平面；（2）求直線FH與平面所成角的大小.18．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)在處有極值，且其圖象經(jīng)過點.（1）求的解析式；（2）求在的最值.21．（12分）已知函數(shù)滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.2、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B3、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前項和公式的基本量運算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；，故C錯誤；，，故D成立；故選：D4、B【解析】由方程可得拋物線的焦點和準線，進而由拋物線的定義可得，解之可得值【詳解】解：由題意可得拋物線開口向右，焦點坐標，，準線方程，由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標為4的點到準線的距離等于5，即，解之可得.故選：B.5、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因為，所以，所以，則故選：C.6、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當直線經(jīng)過點時有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.7、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.8、D【解析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D9、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，得，反之不成立，如，，滿足，但是不滿足，故“”是“”的充分不必要條件故選：B10、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.11、C【解析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項公式，得出，最后利用裂項相消，求出數(shù)列前項和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.12、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標準差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標準差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓方程為，代入原點計算得到答案.【詳解】設(shè)圓方程為經(jīng)過點，代入圓方程則圓方程為故答案為【點睛】本題考查了圓方程的計算，設(shè)出圓方程是解題的關(guān)鍵.14、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標準方程的形式，即可判斷拋物線的焦點坐標為，從而解得答案.【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點坐標為，故答案為：.15、##【解析】設(shè)，中點，根據(jù)中點坐標公式求出，代入圓的標準方程即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，中點，則，即，因為在圓上，代入得故答案為：.16、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接CH，延長交PD于點K，連接BK，根據(jù)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點，易得，再利用線面平行的判定定理證明.（2）建立空間直角坐標，求得的坐標，平面PBC一個法向量，代入公式求解.【詳解】（1）如圖所示：連接CH，延長交PD于點K，連接BK，因為設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點，所以H為CK的中點，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如圖所示直角坐標系則，所以，設(shè)平面PBC一個法向量為：，則，有，令，，設(shè)直線FH與平面所成角為，所以，因為，所以.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，因為E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點，所以，所以，因為,所以平面，所以平面的一個法向量為，因為，所以,因為平面，所以EF//平面PDC；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，令，則，設(shè)平面的法向量為，因為,所以，令，則，設(shè)平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A為原點，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點：線線平行、線面平行、向量法.20、（1）（2），【解析】（1）由與解方程組即可得解；（2）求導(dǎo)后得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值后，比較端點值即可得解.【詳解】（1）求導(dǎo)得，處有極值，即，又圖象過點，代入可得..（2）由（1）知，令得又，.列表如下：0230+4↘極小值↗1在時，，.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1），是奇函數(shù)（2）【解析】(1)由求出，進而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因為，所以，所以.所以.的定義城為，且，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】因為，在上均為增函數(shù)，所以在上增函數(shù)，所以.對任意，不等式恒成立，則，所以，即實數(shù)a的取值范固為.22、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，