2025年自考本科理工科專(zhuān)業(yè)概率論復(fù)習(xí)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(AB)=0C.P(B|A)=P(B)D.P(A|B)=P(A)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=c(1/2)^k,k=1,2,3,4，則常數(shù)c等于（）。A.8B.16C.1/8D.1/163.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ^2)，Y=aX+b，則隨機(jī)變量Y服從的分布是（）。A.N(μ,σ^2)B.N(aμ+b,a^2σ^2)C.N(μ,a^2σ^2)D.N(aμ+b,σ^2)4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則下列結(jié)論不一定正確的是（）。A.X和Y相互獨(dú)立B.E(XY)=E(X)E(Y)C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.X和Y不相關(guān)5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~E(λ)，Y~E(μ)，則X+Y的期望和方差分別為（）。A.λ+μ,λ+μB.λμ,λμC.λ+μ,λμD.λμ,λ+μ二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在題中橫線上。）6.若事件A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.7，則P(A∪B∪C)=________。7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;x^2,0≤x≤1;1,x>1}，則P(0.3<X≤0.7)=________。8.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=k/15,k=1,2,3,4,5，則E(X)=________。9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望分別為E(X)=2，E(Y)=-1，方差分別為D(X)=1，D(Y)=4，且Cov(X,Y)=-1，則E(3X-2Y)=________，D(3X-2Y)=________。10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~N(1,9)，Y~N(0,4)，則P(X<Y)的值等于________。三、計(jì)算題（本大題共5小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）11.（本小題滿分15分）甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，甲能破譯的概率為0.8，乙能破譯的概率為0.9。求：（1）密碼被破譯的概率；（2）密碼被甲破譯但乙未破譯的概率。12.（本小題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={kx,0<x<5;0,其他}。求：（1）常數(shù)k的值；（2）P(1<X<3)；（3）X的分布函數(shù)F(x)。13.（本小題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示（表中a為待定系數(shù)）：||Y=1|Y=2|Y=3||-------|--------|--------|--------||X=1|0.1|a|0.1||X=2|0.2|0.1|a^2|（1）求a的值；（2）求邊緣分布律P(X=1)，P(Y=2)；（3）判斷X和Y是否相互獨(dú)立。14.（本小題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~B(10,0.3)，Y~N(0,4)。求E(XY)和D(X-2Y)。15.（本小題滿分20分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(μ,4)。令Z=X+Y，W=X-Y。求：（1）隨機(jī)變量Z的方差D(Z)；（2）隨機(jī)變量W的分布函數(shù)是否為偶函數(shù)？（3）計(jì)算P(Z>0且W>0)。---試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.A5.C二、填空題6.0.9347.0.4498.39.8,1410.0.2三、計(jì)算題11.解析：設(shè)A為甲破譯事件，B為乙破譯事件。P(A)=0.8,P(B)=0.9。（1）密碼被破譯的概率=1-P(甲未破譯且乙未破譯)=1-P(A^c)P(B^c)=1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98。（2）密碼被甲破譯但乙未破譯的概率=P(A)P(B^c)=0.8*(1-0.9)=0.08。12.解析：由f(x)在定義域內(nèi)積分為1，得∫[0,5]kxdx=1。計(jì)算得k*[x^2/2]_[0,5]=1，即k*(25/2-0)=1，解得k=2/25。（1）k=2/25。（2）P(1<X<3)=∫[1,3](2/25)xdx=(2/25)*[x^2/2]_[1,3]=(2/25)*(9/2-1/2)=(2/25)*4=8/25。（3）當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[-∞,x]0dx=0。當(dāng)0≤x≤5時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[0,x](2/25)tdt=(2/25)*[t^2/2]_[0,x]=x^2/25。當(dāng)x>5時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[0,5](2/25)tdt=1。綜上，F(xiàn)(x)={0,x<0;x^2/25,0≤x≤5;1,x>5}。13.解析：由聯(lián)合分布律性質(zhì)，ΣΣP(X=x,Y=y)=1。即0.1+a+0.1+0.2+0.1+a^2=1。解得a=0.4或a=-0.5。由P(X=1,Y=2)=a>0，且P(X=1)=0.1+a=0.5>0，P(Y=2)=a+0.1=0.5>0，需P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2)，即a=(0.1+a)(a+0.1)，解得a=0.4。舍去a=-0.5。（1）a=0.4。（2）P(X=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)+P(X=1,Y=3)=0.1+0.4+0.1=0.6。P(Y=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2)=0.4+0.1=0.5。（3）檢驗(yàn)獨(dú)立性，需P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。例如，檢查P(X=1,Y=2)=0.4是否等于P(X=1)P(Y=2)=0.6*0.5=0.3。由于0.4≠0.3，故X和Y不獨(dú)立。14.解析：E(XY)=E(X)E(Y)（因X和Y獨(dú)立）。E(X)=n*p=10*0.3=3。E(Y)=μ=0。所以E(XY)=3*0=0。D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)（因X和Y獨(dú)立）。D(X)=n*p*(1-p)=10*0.3*0.7=2.1。D(Y)=σ^2=4。所以D(X-2Y)=2.1+4*4=2.1+16=18.2。15.解析：因X和Y獨(dú)立同N(μ,4)，E(X)=μ,E(Y)=μ,D(X)=4,D(Y)=4。（1）D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+4=8。（2）W的期望E(W)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=μ-μ=0。W的方差D(W)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=4+4=8。因X-Y仍服從正態(tài)分布N(0,8)，其分布函數(shù)F_W(w)=P(W≤w)。令t=(w-0)/√8=w/√8，則F_W(w)=P(Y≤wt/√8)，其中Y~N(0,8)。F_W(w)=Φ(t)=Φ(w/√8)。因Φ(t)是關(guān)于t的奇函數(shù)，F(xiàn)_W(w)=Φ(w/√8)也是關(guān)于w的奇函數(shù)。故W的分布函數(shù)是偶函數(shù)。（3）P(Z>0且W>0)=P(X+Y>0且X-Y>0)。此區(qū)域在(X,Y)平面上為第一象限。令Z=X+Y,W=X-Y，則區(qū)域?yàn)閆>0且