專升本理工科專業(yè)2025年離散數(shù)學(xué)沖刺試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，則(A∩B)∪C=?(A){1,2,3,4}(B){3,4}(C){1,3,4,5}(D){2,3,4,5}2.下列哪個語句是命題？(A)今天天氣真好！(B)x+y=5(C)請你安靜一點。(D)2是偶數(shù)且3是奇數(shù)。3.設(shè)命題p:今天下雨，q:我去圖書館。則命題“如果今天不下雨，那么我去圖書館”的邏輯表達(dá)式是？(A)p→q(B)q→p(C)?p→q(D)?q→?p4.設(shè)集合A和B都是無限集，且A與B之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，以下說法正確的是？(A)集合A一定比集合B小。(B)集合B一定比集合A小。(C)集合A和B的基數(shù)（勢）相等。(D)集合A和B的基數(shù)不可能相等。5.一個有向圖G中，如果存在一條經(jīng)過所有頂點的有向路徑，則稱該圖是？(A)歐拉圖(B)哈密頓圖(C)強(qiáng)連通圖(D)樹二、填空題（每小題3分，共15分。請將答案填在題后的橫線上）1.如果一個命題公式在任何賦值下都為真，則稱該公式是________。2.設(shè)集合A有5個元素，集合B有3個元素，則從A到B的函數(shù)共有________個。3.無向圖G有10個頂點，每個頂點的度數(shù)都是3，則G的邊數(shù)E=________。4.在組合數(shù)學(xué)中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)記作________，其計算公式為________。5.一個遞推關(guān)系a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}，且初始條件a_0=1,a_1=2，則a_3=________。三、判斷題（每小題2分，共10分。請將“正確”或“錯誤”填在題后的括號內(nèi)）1.對任意集合A，有A?A∪A。()2.命題“p且q”為真，當(dāng)且僅當(dāng)p和q都為真。()3.任何兩個有理數(shù)之間都存在另一個有理數(shù)。()4.如果一個無向圖是歐拉圖，那么它一定有偶數(shù)個頂點。()5.設(shè)A是一個集合，則A的冪集P(A)的基數(shù)是2^|A|。()四、計算題（每小題6分，共18分）1.寫出命題公式p∧(q∨?r)的所有真值指派，并指出該公式為真的真值指派對應(yīng)的集合。2.計算組合數(shù)C(10,3)和C(10,7)，并說明C(10,3)與C(10,7)之間的關(guān)系。3.求解遞推關(guān)系a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}，其中a_0=4,a_1=10。五、證明題（每小題8分，共16分）1.證明：對于任意集合A、B和C，有(A∩B)?(A∩C)。2.設(shè)G是一個無向圖，如果對于G中的任意兩個頂點，都存在連接它們之間的路徑，則證明G是連通圖。（提示：可使用反證法）---試卷答案一、選擇題1.(C)2.(D)3.(C)4.(C)5.(C)二、填空題1.重言式2.3^53.154.C(n,k);n!/(k!*(n-k)!)5.7三、判斷題1.正確2.正確3.正確4.錯誤5.正確四、計算題1.真值指派及其對應(yīng)真值：(p,q,r|T/F)|p∧(q∨?r)|真值集合-----------------------------------------(T,T,T)|F|{1,2,3}(T,T,F)|T|{2}(T,F,T)|F|{1,2,3}(T,F,F)|T|{2}(F,T,T)|F|{1,2,3}(F,T,F)|F|{1,2,3}(F,F,T)|F|{1,2,3}(F,F,F)|F|{1,2,3}該公式為真的真值指派對應(yīng)的集合為{2}。2.C(10,3)=10!/(3!*7!)=(10*9*8)/(3*2*1)=120。C(10,7)=C(10,10-7)=C(10,3)=120。關(guān)系：C(n,k)=C(n,n-k)。3.a_2=5a_1-6a_0=5*10-6*4=50-24=26。a_3=5a_2-6a_1=5*26-6*10=130-60=70。五、證明題1.證明：(A∩B)?(A∩C)任取x∈(A∩B)。根據(jù)交集定義，有x∈A且x∈B。因為x∈A且x∈B，且B?C（由x∈B可知），所以x∈C。因此，x∈A且x∈C，即x∈(A∩C)。由x的任意性，得(A∩B)?(A∩C)。2.證明：G是連通圖。假設(shè)G不是連通圖。根據(jù)連通圖定義，存在至少兩個頂點u和v，它們不在G中有任何路徑連接（即u和v屬于G的不同連通分支）。作一個新圖G'=G+{u,v}（將頂點u和v加