上課時間上課時間人教A版(2019)必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.2用二分法求方程的近似解教案2025年12月任課老師任課老師魏老師教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容人教A版（2019）必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.2用二分法求方程的近似解

本節(jié)課主要講解如何運用二分法求解方程的近似解。通過具體實例，讓學(xué)生掌握二分法的原理和步驟，并能運用該方法解決實際問題。教學(xué)內(nèi)容包括：二分法的定義、適用條件、步驟以及在實際問題中的應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。通過二分法的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，發(fā)展嚴(yán)密的邏輯推理能力，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，增強空間想象能力，并提高運用數(shù)學(xué)運算解決實際問題的能力。教學(xué)難點與重點教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點，

①理解二分法的原理，能夠識別函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點。

②掌握二分法的步驟，包括確定初始區(qū)間、計算中點、判斷是否滿足終止條件以及更新區(qū)間。

③能夠運用二分法求解實際問題中的方程近似解。

2.教學(xué)難點，

①準(zhǔn)確判斷初始區(qū)間的選擇對二分法求解的影響，確保區(qū)間內(nèi)至少有一個零點。

②理解并應(yīng)用二分法的誤差分析，確保近似解的精確度。

③在求解過程中，能夠有效處理函數(shù)的復(fù)雜性和計算過程中的數(shù)值穩(wěn)定性問題。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解二分法的原理和步驟，確保學(xué)生理解基本概念。

2.討論法：引導(dǎo)學(xué)生分組討論具體案例，分析二分法的應(yīng)用和可能遇到的問題。

3.實驗法：通過實際操作練習(xí)，讓學(xué)生親身體驗二分法的應(yīng)用過程。

教學(xué)手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示二分法的原理圖和實例，增強直觀性。

2.教學(xué)軟件：運用數(shù)學(xué)軟件演示二分法的計算過程，提高學(xué)生操作技能。

3.互動平臺：利用在線平臺進行課堂提問和即時反饋，增強教學(xué)互動性。教學(xué)過程教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

激發(fā)興趣：展示一系列實際問題，如求解方程的根、計算科學(xué)實驗中的濃度變化等，引導(dǎo)學(xué)生思考如何找到這些問題的解。

回顧舊知：簡要回顧函數(shù)零點的概念和求解方法，如直接求解、圖像法等，為引入二分法做鋪墊。

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）

講解新知：

-詳細(xì)講解二分法的定義、原理和步驟。

-通過動畫或PPT演示二分法在求解方程中的應(yīng)用，展示算法的迭代過程。

-討論二分法的適用條件和局限性。

舉例說明：

-以簡單的方程為例，展示如何運用二分法找到方程的近似解。

-通過實際案例，如計算科學(xué)中的數(shù)值模擬，說明二分法在現(xiàn)實問題中的應(yīng)用。

互動探究：

-分組討論：將學(xué)生分成小組，討論如何選擇合適的初始區(qū)間，以及如何判斷迭代是否收斂。

-實驗操作：讓學(xué)生使用計算器或數(shù)學(xué)軟件進行二分法的實際操作，體驗算法的執(zhí)行過程。

3.鞏固練習(xí)（約30分鐘）

學(xué)生活動：

-讓學(xué)生獨立完成練習(xí)題，包括不同難度的方程求解問題。

-設(shè)計一些開放性問題，鼓勵學(xué)生思考二分法的改進和應(yīng)用。

教師指導(dǎo)：

-對學(xué)生的練習(xí)進行個別指導(dǎo)，解答學(xué)生的疑問。

-針對學(xué)生的錯誤，進行及時的糾正和講解，強調(diào)二分法的核心要點。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-引導(dǎo)學(xué)生思考二分法在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，如優(yōu)化問題、數(shù)值分析等。

-提出一些挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，如如何改進二分法以提高效率。

5.總結(jié)與反思（約5分鐘）

-總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)二分法的原理和應(yīng)用。

-鼓勵學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進行反思，思考如何將二分法應(yīng)用到實際問題中。

6.作業(yè)布置（約5分鐘）

-布置課后作業(yè)，包括理論練習(xí)和實際應(yīng)用題，鞏固學(xué)生對二分法的理解。

-提醒學(xué)生注意作業(yè)的完成時間和提交方式。教學(xué)資源拓展教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：介紹指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，幫助學(xué)生更好地理解二分法在求解這類函數(shù)零點中的應(yīng)用。

-數(shù)值分析基礎(chǔ)知識：介紹數(shù)值分析的基本概念，如誤差分析、穩(wěn)定性分析等，幫助學(xué)生理解二分法在數(shù)值計算中的重要性。

-實際應(yīng)用案例：收集和整理一些實際應(yīng)用案例，如物理學(xué)中的參數(shù)估計、經(jīng)濟學(xué)中的需求預(yù)測等，展示二分法在解決實際問題中的價值。

-數(shù)學(xué)軟件介紹：介紹一些常用的數(shù)學(xué)軟件，如MATLAB、Mathematica等，指導(dǎo)學(xué)生如何使用這些軟件進行二分法的編程和實驗。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦學(xué)生閱讀《數(shù)值分析》、《數(shù)值計算方法》等書籍，深入了解數(shù)值計算的基本原理和方法。

-參加數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如美國數(shù)學(xué)競賽（AMC）、國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）等，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。

-實踐項目：引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模、科學(xué)實驗等實踐項目，將二分法應(yīng)用于實際問題中，提高學(xué)生的實際操作能力和創(chuàng)新思維。

-交流與合作：鼓勵學(xué)生與同學(xué)、老師進行交流與合作，共同探討二分法的應(yīng)用和改進，拓寬學(xué)生的知識面和視野。

-在線課程：推薦學(xué)生觀看一些在線課程，如Coursera、edX等平臺上的數(shù)值分析課程，進一步學(xué)習(xí)二分法及其相關(guān)內(nèi)容。

-學(xué)術(shù)論文閱讀：引導(dǎo)學(xué)生閱讀一些關(guān)于二分法的學(xué)術(shù)論文，了解該領(lǐng)域的研究進展和前沿技術(shù)。

-編程實踐：鼓勵學(xué)生通過編程實踐，實現(xiàn)二分法算法，加深對算法原理的理解和應(yīng)用。典型例題講解典型例題講解例題1：求解方程\(2^x=8\)的近似解，要求誤差不超過0.01。

解答：選擇初始區(qū)間[1,2]，因為\(2^1<8<2^2\)。

-計算中點\(x_0=\frac{1+2}{2}=1.5\)，計算\(2^{x_0}=2^{1.5}\approx2.828\)。

-更新區(qū)間為[1,1.5]，因為\(2^1<2.828<2^2\)。

-計算新的中點\(x_1=\frac{1+1.5}{2}=1.25\)，計算\(2^{x_1}=2^{1.25}\approx2.378\)。

-更新區(qū)間為[1.25,1.5]，因為\(2^{1.25}<2.378<2^{1.5}\)。

-繼續(xù)迭代，直到滿足誤差要求。

最終，我們得到近似解\(x\approx1.414\)。

例題2：求解方程\(3^x=27\)的近似解，要求誤差不超過0.001。

解答：選擇初始區(qū)間[1,2]，因為\(3^1<27<3^2\)。

-計算中點\(x_0=\frac{1+2}{2}=1.5\)，計算\(3^{x_0}=3^{1.5}\approx5.196\)。

-更新區(qū)間為[1,1.5]，因為\(3^1<5.196<3^2\)。

-計算新的中點\(x_1=\frac{1+1.5}{2}=1.25\)，計算\(3^{x_1}=3^{1.25}\approx3.537\)。

-更新區(qū)間為[1.25,1.5]，因為\(3^{1.25}<3.537<3^{1.5}\)。

-繼續(xù)迭代，直到滿足誤差要求。

最終，我們得到近似解\(x\approx1.728\)。

例題3：求解方程\(e^x=5\)的近似解，要求誤差不超過0.0001。

解答：選擇初始區(qū)間[1,2]，因為\(e^1<5<e^2\)。

-計算中點\(x_0=\frac{1+2}{2}=1.5\)，計算\(e^{x_0}=e^{1.5}\approx4.481\)。

-更新區(qū)間為[1,1.5]，因為\(e^1<4.481<e^2\)。

-計算新的中點\(x_1=\frac{1+1.5}{2}=1.25\)，計算\(e^{x_1}=e^{1.25}\approx3.490\)。

-更新區(qū)間為[1.25,1.5]，因為\(e^{1.25}<3.490<e^1.5\)。

-繼續(xù)迭代，直到滿足誤差要求。

最終，我們得到近似解\(x\approx1.609\)。

例題4：求解方程\(\ln(x)=3\)的近似解，要求誤差不超過0.00001。

解答：選擇初始區(qū)間[e,10]，因為\(e^1<e^3<10^3\)。

-計算中點\(x_0=\frac{e+10}{2}=5.36\)，計算\(\ln(x_0)=\ln(5.36)\approx1.49\)。

-更新區(qū)間為[5.36,10]，因為\(e^1.49<e^3<e^2\)。

-計算新的中點\(x_1=\frac{5.36+10}{2}=7.68\)，計算\(\ln(x_1)=\ln(7.68)\approx1.90\)。

-更新區(qū)間為[5.36,7.68]，因為\(e^1.49<e^1.90<e^2\)。

-繼續(xù)迭代，直到滿足誤差要求。

最終，我們得到近似解\(x\approx20.085\)。

例題5：求解方程\(\log_2(x)=3\)的近似解，要求誤差不超過0.000001。

解答：選擇初始區(qū)間[8,16]，因為\(2^3<x<2^4\)。

-計算中點\(x_0=\frac{8+16}{2}=12\)，計算\(\log_2(x_0)=\log_2(12)\approx3.58\)。

-更新區(qū)間為[8,12]，因為\(2^3<2^3.58<2^4\)。

-計算新的中點\(x_1=\frac{8+12}{2}=10\)，計算\(\log_2(x_1)=\log_2(10)\approx3.32\)。

-更新區(qū)間為[8,10]，因為\(2^3<2^3.32<2^4\)。

-繼續(xù)迭代，直到滿足誤差要求。

最終，我們得到近似解\(x\approx8\)。內(nèi)容邏輯關(guān)系內(nèi)容邏輯關(guān)系①二分法的定義與原理

①定義：二分法是一種在實數(shù)域上求解連續(xù)函數(shù)零點的方法。

②原理：通過不斷縮小區(qū)間，使區(qū)間的兩個端點分別逼近零點的左右極限，從而得到零點的近似值。

②二分法的步驟與實施

①確定初始區(qū)間：選擇一個包含零點的初始區(qū)間。

②計算中點：計算當(dāng)前區(qū)間的中點值。

③判斷與更新區(qū)間：根據(jù)中點的函數(shù)值與零的關(guān)系，決定下一次迭代的區(qū)