2026年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之集合一.選擇題(共10小題)A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,02.(2025-新高考Ⅱ)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={xlx3=x},則A∩B=()A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}3.(2025·天津)已知全集U={1,2,3,4,5},4.(2025·福建校級(jí)模擬)已知集合A={x|x2-2x-8≥0},B={-3,-1,2,4,5},A.{-3,-1,4,5}B.{-3,-1,4}C.{-1,4,5}則這三個(gè)集合間的關(guān)系是()A.ACBCCB.ACCCBC.CSBCA6.(2025·和平區(qū)一模)已知集合A={x|-2<x<2},B={x|-1≤x<3},則AUB=()A.{x|-2<x<3}B.{x|x>-2}C.{x|-1<x<2}D.{x|x<3}7.(2025·新蔡縣校級(jí)模擬)集合A={1,2,3,4,5,A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{28.(2025·嘉峪關(guān)校級(jí)模擬)已知集合M={0,1,2,3A.{1,2}B.{1,2,3}C.[1,A.{1,2,3,4}B.{2}C.{1,2,3,5}D.{1,3}二.多選題(共6小題)(多選)11.(2025-河南模擬)已知全集U={x|lx<4,x∈Z},集合M={-1,2,a2},N={-1,1,2,A.a的取值有3個(gè)D.(CuM)∩(CuP)所有子集的個(gè)數(shù)為4A.M∩N=MB.MUN=MC.(CRN)∩M={x|2≤x≤3}D.(CRM)∩N=?(多選)13.(2025-湖北一模)已知集合P={x|x2=4},N為自然數(shù)集，則下列表示正確的是()(多選)14.(2025·邵陽模擬)給定實(shí)數(shù)集A,定義集合M{mERIVa∈A,都有m≥a},若M是非空集合，則稱集合M中最小的元素為集合A的上確界，記作supA.以下說法正確的是()A.若數(shù)集A中有2025個(gè)元素，則supA一定存在B.若數(shù)集A中沒有最大值，則supA不存在C.若數(shù)集A,B有上確界，則數(shù)集{a+b|a∈A,b∈B}一定也有上確界，為supA+supBD.若數(shù)集A,B有上確界，則數(shù)集{ab|a∈A,b∈B}一定也有上確界，為supAsupB則a+b的值可能為()A.4B.2(多選)16.(2025·倉山區(qū)校級(jí)模擬)若集合A與集合B滿足條件：①AUB=U;②α∈A,βEB,α<β.則稱L(A,B)為集合U的劃分.下列命題正確的是()A.若L(M,N)為集合U的劃分，則MNN=?B.若L(M,N)為集合U的劃分，則M∩N≠?C.若M={x|x<2},N={yly=2*+2},則L(M,N)為R的劃分三.填空題(共4小題)四.解答題(共5小題)21.(2025·芙蓉區(qū)校級(jí)模擬)已知集合U={ala=2m+2”-3,m,n∈N},實(shí)數(shù)b滿足b2-b+1∈{1,3,b}.(1)若集合A={a1,a2,a3},且a1,a2,a3是集合U中最小的三個(gè)元素，求集合A;(2)在(1)的條件下，若實(shí)數(shù)b構(gòu)成的集合為B,且集合C=AUB,若實(shí)數(shù)p,q∈C,且關(guān)于x的方程px2+2x+2q=0有實(shí)數(shù)解，請(qǐng)列出所有滿足條件的有序數(shù)對(duì)(p,q).22.(2025·山西一模)在正整數(shù)1,2,.…,2n-1(n≥2)的任意一個(gè)排列A:a?,a2,.…,a2n-1中，對(duì)于記排列A中峰對(duì)的個(gè)數(shù)為IA|.例如對(duì)于排列A:1,2,3,5,4,(1,4,(1)設(shè)排列A:1,2,5,4,3,B:1,2,5,4,7,6,3,試寫出A|,|B|的值；(2)將排列1,2,….,2n-1中的n與2n-1互換位置，得到排列C,求|C的值；(3)對(duì)1,2,...,2n-1(n≥2)的任意排列A,求|A|的最大值.23.(2023·南陽模擬)已知集合A={x|x≤-3或x≥2},B={x|1<x<5},C={x|m-1≤x≤2m}.(1)求A∩B,(CRA)UB;(2)若BNC=C,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.24.(2023·建水縣校級(jí)模擬)已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|2x+2>0},全集U=R.(2)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.則稱集合D為A的一個(gè)偏序關(guān)系.(I)設(shè)A={1,2,3},判斷集合D={(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序關(guān)系，請(qǐng)你寫出一個(gè)含有4個(gè)元素且是集合A的偏序關(guān)系的集合D;(Ⅱ)證明：R={(a,b)|aER,b∈R,a≤b}是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)偏序關(guān)系：(Ⅲ)設(shè)E為集合A的一個(gè)偏序關(guān)系，a,b∈A.若存在c∈A,使得(c,a)∈E,(c,b)∈E,的兩個(gè)給定元素a,b,若aΛb存在，則一定唯一.2026年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之集合一.選擇題(共10小題)題號(hào)123456789DDDDCADAAB二.多選題(共6小題)題號(hào)一.選擇題(共10小題)A.{0}B.{1}C.{0,1}【考點(diǎn)】求集合的并集.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解.【答案】D【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算，即可得答案.【解答】解：由集合B={0,1,4},A={-1,0,1},可得AUB={-1,0,1,4}.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.(2025·新高考Ⅱ)已知集合A={-4,0,1A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}【考點(diǎn)】求集合的交集.【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【分析】先化簡(jiǎn)集合B,然后利用求出集合A,B的所有公共元素即可.又A={-4,0,1,2,8},故A∩B={0,1}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.(2025·天津)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},則Cu(AUB)=()【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算.【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】D【分析】由集合的運(yùn)算計(jì)算即可求得.【解答】解：因?yàn)锳={1,3},B={2,3,5},所以AUB={1,2,3,5},【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.(2025·福建校級(jí)模擬)已知集合A={x|x2-2x-8≥0},B={-3,-1,2,4,5},A.{-3,-1,4,5}B.{-3,-1,4}C.{-1,4,5}【考點(diǎn)】求集合的交集.【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解.【答案】D【分析】通過解不等式明確集合A,再求兩集合的交集.【解答】解：A={x|kx2-2x-8≥0}=[-∞,-2]U[4,+∞o),B={-3,-1,2,4,5},則A∩B={-3,4,5}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.則這三個(gè)集合間的關(guān)系是()A.ACBCCB.ACCCBC.CCBCAD.CSACB【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.【專題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合；邏輯思維.【答案】C【分析】利用子集的定義依次判斷即可.使故C≌B,若x∈B,則存在ki∈Z,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合間子集關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6.(2025·和平區(qū)一模)已知集合A={x|-2<x<2},B={x|-1A.{x|-2<x<3}B.{x|x>-2}C.{x|-1<x<2}D.{x|x<3}【考點(diǎn)】求集合的并集.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合并集的定義，即可求解.【解答】解：集合A={x|-2<x<2},B={x|-1≤x<3},則AUB={x|-2<x<3}.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.(2025·新蔡縣校級(jí)模擬)集合A={1A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}【考點(diǎn)】求集合的交集；求集合的補(bǔ)集.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解.【答案】D【分析】由集合B的定義求出B,結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【解答】解：因?yàn)锳={1,2,3,4,5,9},B={x|√x∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},則A∩B={1,4,9},CA(A∩B)={2,3,5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8.(2025·嘉峪關(guān)校級(jí)模擬)已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|A.{1,2}B.{1,2,3}C.[1,2]D.[1,3]【考點(diǎn)】求集合的交集；解一元二次不等式.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【分析】由題意解一元二次不等式即可求出集合N內(nèi)的元素，再求集合M,N共同包含的元素即可.【解答】解：因?yàn)榧螹={0,1,2,3,4},N={x|所以M∩N={1,2}.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【專題】新定義.度的最小值時(shí)，即重合部分最少時(shí)，M與N應(yīng)分別在區(qū)間[0,1]的左右兩端，進(jìn)而計(jì)算可得答案.M與N應(yīng)分別在區(qū)間[0,1]的左右兩端，故M∩N的長(zhǎng)度的最小值A(chǔ).{1,2,3,4}B.{2}C.{1,2,3,5}D.{1,3}【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算.【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解.【答案】B【分析】進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可.【解答】解：∵U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={1,2,3},【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的列舉法的定義，交集和補(bǔ)集的定義及運(yùn)算，全集的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二.多選題(共6小題)(多選)11.(2025·河南模擬)已知全集U={xllx|<4,x∈Z},集合M={-1,2,a2},N={-1,1,2,A.a的取值有3個(gè)D.(CuM)∩(CuP)所有子集的個(gè)數(shù)為4【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用；求集合的并集；求集合的交集.【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【分析】根據(jù)MSN求出a的值，進(jìn)而得到集合M,N,再利用集合的基本運(yùn)算求解.【解答】解：對(duì)于A,若MEN,則a2=1或a2=a,當(dāng)a=1或-1時(shí)，不滿足元素的互異性，舍去，所以a=0,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由A可知，集合M={-1,2,0},N={-1,1,2,0},又因?yàn)镻={-3,-1,2,3},所以M∩P={-1,2},故B正確；又因?yàn)镻={-3,-1,2,3},又全集U={x|lx|<4,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3},因?yàn)镻={-3,-1,2,3},所以(CuM)∩(CuP)所有子集的個(gè)數(shù)為22=4,故D正確.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.(多選)12.(2025-鶴壁一模)已知集合M={x|5*≥25},N={xly=In(2x-6)},則下列結(jié)論正確的是()A.M∩N=MB.MUN=MC.(CRN)∩M={x|2≤x≤3}D.(CRM)∩N=?【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算；指、對(duì)數(shù)不等式的解法；求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域.【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【解答】解：由M={x|5*≥25}={xkx≥2},N={xly=In(2x-6)}={x|x>3},(CRM)NN={x|x<2}∩{x|x>3}=?,D正確.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.(多選)13.(2025-湖北一模)已知集合P={x|x2=4},N為自然數(shù)集，則下列表示正確的是()【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；元素與集合關(guān)系的判斷.【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解.【分析】集合P={x|x2=4}={-2,2}.N為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果.【解答】解：集合M={xlx2=4}={-2,2}.N為自然數(shù)集，在D中，P不是N的子集，故D錯(cuò)誤.(多選)14.(2025·邵陽模擬)給定實(shí)數(shù)集A,定義集合M{mERIVa∈A,都有m≥a},若M是非空集合，則稱集合M中最小的元素為集合A的上確界，記作supA.以下說法正確的是()A.若數(shù)集A中有2025個(gè)元素，則supA一定存在B.若數(shù)集A中沒有最大值，則supA不存在C.若數(shù)集A,B有上確界，則數(shù)集{a+b|a∈A,b∈B}一定也有上確界，為supA+supBD.若數(shù)集A,B有上確界，則數(shù)集{ab|a∈A,b∈B}一定也有上確界，為supAsupB【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；集合；邏輯思維；新定義類.【分析】根據(jù)集合的上確界的概念判斷A,結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷B,結(jié)合不舉反例判斷D.【解答】解：若數(shù)集A中有2025個(gè)元素，則數(shù)集A中的元素一定有最大值，所以數(shù)集A一定有上確界，故A正確；者,n>1},此時(shí)數(shù)集A中的元素沒有最大值，若數(shù)集A,B有上確界，設(shè)supA=m,supB=n,由上確界的定義可知，對(duì)于Va∈A,b∈B,都有a≤m,b≤n,所以a+b≤m+n,若A={-2,-1},B={1,2},則數(shù)集A,B有上確界，且supA=-1,supB=2,則sup{ab|a∈A,b∈B}=-1≠-2=supAsupB,故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)評(píng)】本題屬于集合新定義題，正確理解supA的概念是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.則a+b的值可能為()【考點(diǎn)】求集合的交集；判斷元素與集合的屬于關(guān)系.【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【分析】聯(lián)立方程求出方程組的解，得到A∩B,進(jìn)而求出結(jié)果.所以A∩B={(0,0),(1,1),(-1,-1)},若(a,b)∈(A∩B),則a+b的值可能為0或2或-2.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.(多選)16.(2025·倉山區(qū)校級(jí)模擬)若集合A與集合B滿足條件：②α∈A,β∈B,α<β.則稱L(A,B)為集合U的劃分.下列命題正確的是()A.若L(M,N)為集合U的劃分，則MNN=?B.若L(M,N)為集合U的劃分，則MNN≠?C.若M={x|x<2},N={yly=2*+2},則L(M,N)為R的劃分【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算.【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；集合；邏輯思維；新定義類.【分析】根據(jù)題設(shè)劃分的概念，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定即可.若A∩B≠?,則存在元素同時(shí)屬于兩集合，與條件矛盾，故A∩B=?,故A正確；選項(xiàng)B:與選項(xiàng)A相反，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:M={x|x<2},N={yly=2*+2>2},則MUN不包含2,不滿足AUB=U,故C錯(cuò)誤；故若U={a,a2,a3,...,a2n}存在L(A,B)劃分，nEN+,則a丈{0,1},故D正確.【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的新定義問題，屬中檔題.三.填空題(共4小題)【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【專題】集合思想；數(shù)學(xué)模型法；集合.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接由交集的運(yùn)算性質(zhì)得答案.【解答】解：由集合A={x|x>0},B={-1,0,1,2},則A∩B={x|x>0}∩{-1,0,1,2}={1,2}.故答案為：{1,2}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.【考點(diǎn)】求集合的交集.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解.【答案】{2,3}.【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解.【解答】解：集合A={1,2,3,4},B={x|1<x<4},故答案為：{2,3}.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.則A∩B=(2,3).故答案為：(2,3).故實(shí)數(shù)a的值為3.四.解答題(共5小題)(1)若集合A={a1,a2,a3},且a1,a2,a3是集合U中最小的三個(gè)元素，求集合A;(2)在(1)的條件下，若實(shí)數(shù)b構(gòu)成的集合為B,且集合C=AUB,若實(shí)數(shù)p,q∈C,且關(guān)于x的方【答案】(1)A={-1,0,1}.(2)先求出B={0,-1,2},得到C={-1,0,1,2},分p=0和p≠0,結(jié)合根的判別式得到滿足的C=AUB={-1,0,1}U{0,-1,2}當(dāng)p=0時(shí)，2x+2q=0,解得x=-q,滿足條件的有序數(shù)對(duì)有(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),當(dāng)p≠0,需滿足△=4-8pq≥0,即若q=-1,則p=1,2,滿足條件的有序數(shù)對(duì)有(1,-1),(2,-1),若q=0,則p=-1,1,2,滿足條件的有序數(shù)對(duì)有(-1,0),(1,0),(2,0),若q=1,則p=-1,滿足條件的有序數(shù)對(duì)有(-1,1),若q=2,則p=-1,滿足條件的有序數(shù)對(duì)有(-1,2),22.(2025·山西一模)在正整數(shù)1,2,..,2n-1(n≥2)的任意一個(gè)排列A:a?,a2,.…,a2任意i,j,k∈{1,2,…,2n-1},且i<j<k,若ai<aj>ak,則稱(i,j,k)為排列A的一個(gè)峰對(duì)，記排列A中峰對(duì)的個(gè)數(shù)為IA|.例如對(duì)于排列A:1,2,3,5,4,(1,4,5)為一個(gè)峰對(duì)，IA|=3.(1)設(shè)排列A:1,2,5,4,3,B:1,2,5,4,7,6,3,試寫出A|,|B|的值；(2)將排列1,2,.…,2n-1中的n與2n-1互換位置，得到排列C,求|C的值；【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；集合；運(yùn)算求解；新定義類.【分析】(1)根據(jù)峰對(duì)定義即可求解；(2)通過分析交換位置后的排列特點(diǎn)來確定峰對(duì)個(gè)數(shù)；(3)由峰對(duì)定義和aj≥3分析求出峰對(duì)(i,j,k)的個(gè)數(shù)為x(aj-1-x)個(gè)，接著分aj為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析求出x(aj-1-x)最大值，再依次考慮aj=3,4,…,2n-1即可求解.【解答】解：(1)對(duì)于排列A:1,2,5,4,3,則峰對(duì)有(1,3,5),(1,3,4),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(1,4,5),則|A|=6,對(duì)于排列B:1,2,5,4,7,6,3,則峰對(duì)有(1,3,4),(1,3,7),(1,4,7),(1,5,6),(1,(2)由題an=2n-1,a2n-1=n,排列C的峰對(duì)(i,j,k)必涉及n,2n-1,必有j=n,或k=2n-1.若j=n,(i,j,k)為峰對(duì)當(dāng)且僅當(dāng)1≤i≤n-1,n+1≤k≤2n-1,共(n-1)2個(gè)峰對(duì).若k=2n-1,(i,j,k)為峰對(duì)當(dāng)且僅當(dāng)1≤i≤n-1,n≤j≤2n-2,或n+1≤i<j≤2n-2,共(n-1)2+Cn-2個(gè)峰對(duì).峰對(duì)(i,n,2n-1),1≤i≤n-1(3)若(i,j,k)為峰對(duì)，其中j為常數(shù)，且aj≥3,ak∈{1,2,…,aj-1}∩{aj+1,aj設(shè)集合{1,2,…,aj-1}∩{a1,a2,.…,aj-1}中的元素個(gè)數(shù)為x,則集合{1,2,…,aj-1}∩{aj-1,aj-2,…,a2n-1}的元素個(gè)數(shù)為aj-1-x,此時(shí)峰對(duì)(i,j,k)的個(gè)數(shù)為x(aj-1-x)個(gè).依次考慮aj=3,4,…,2n-1,屬于中檔題.23.(2023·南陽模擬)已知集合A={x|x≤-3或x≥2},B=(1)求A∩B,(CRA)UB;(2)若BNC=C,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【專題】集合思想；定義法；集合.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】(1)根據(jù)交集、補(bǔ)集和并集的定義計(jì)算即可；(2)由B∩C=C知CSB,討論m的取值情況，求出滿足條件的m取值范圍.【解答】解：(1)集合A={xlx≤-3或x≥2},B={x|1<x<5},【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.24.(2023·建水縣校級(jí)模擬)已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|2x+2>0},全集U=R.(2)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【專題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】(1){x|-2≤x<-1},{x|-2≤x≤-1};(2)(-∞,-3).【分析】(1)可求出集合A,B,然后進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可；(2)根據(jù)條件可得出a+2≤-1,然后解出a的范圍即可.(2)∵A={x|a≤x≤a+2},B={x|x>-1},且A∩B=?,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3).則稱集合D為A的一個(gè)偏序關(guān)系.(I)設(shè)A={1,2,3},判斷集合D={(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序關(guān)系，請(qǐng)你寫出一個(gè)含有4個(gè)元素且是集合A的偏序關(guān)系的集合D;(Ⅱ)證明：R≤={(a,b)|aER,b∈R,a≤b}是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)偏序關(guān)系：【答案】(I)D={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(開放性).(Ⅱ)證明過程見解答.(Ⅲ)證明過程見解答.果.(Ⅱ)R≤={(a,b)|aER,b∈R,a≤b},滿足①②,推導(dǎo)出a=b,滿足條件③,(a,c)ER≤,滿足條件④,由此能證明R≤={(a,b)|aER,bE(Ⅲ)假設(shè)對(duì)A中的兩個(gè)給定元素a,b,且aAb存在，但不唯一.推導(dǎo)出(c2,c1)∈E,(c1,c2)∈E,則c2=c?,與ci≠c2矛盾.從而對(duì)A中的兩個(gè)給定元素a,b,若aΛb存在，則一定唯一.【解答】解：(I)集合D滿足①②③,因?yàn)?1,2)∈D,(2,3)∈D,由題意(1,3)∈D,而(1,3)∈D,所以不滿足④,故D={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(開放性).(Ⅱ)證明：R={(a,b)|aER,b∈R,a≤b},滿足①②,V(a,b)∈D=a≤b,且(b,a)∈D→b≤a,則a=b,滿(Ⅲ)證明：用反證法.假設(shè)對(duì)A中的兩個(gè)給定元素a,b,且aΛb存在，但不唯一.設(shè)c?=aΛb,c2=aΛb,且c1≠c?,則(c?,a)∈E,(c?,b)∈E,(c2,a)∈E,(c2,b)∈E,且Vd∈A,若(d,a)∈E,(d,b)∈E,所以，對(duì)A中的兩個(gè)給定元素a,b,若ab存在，則一定唯一.系、元素與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集.元素一般用小寫字母a,A(1)確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的.即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合.(2)互異性：集合中的元素必須是互異的.對(duì)于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的.這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素.(3)無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān).這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.【命題方向】典例1:已知集合A={x|x=m2-n2,meZ,n∈Z}.求證：(2)偶數(shù)4k-2(k∈Z)不屬于A.分析：(1)根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；(2)用反證法，假設(shè)屬于A,再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論.解答：解：(1)∵3=22-12,3∈A;∴(m-n)(m+n)為4的倍數(shù)，與4k-2不是4的倍數(shù)矛盾.∴(m-n)(m+n)為奇數(shù)，與4k-2是偶數(shù)矛盾.綜上4k-2∈A.點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷.分類討論的思想.題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù).典例2:已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求實(shí)數(shù)a的值.分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a=3,求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可.解答：解：因?yàn)?∈A,所以a+2=3或2a2+a=3...(2分)此時(shí)A={3,3},不合條件舍去，...(7分)當(dāng)2a2+a=3時(shí)，a=1(舍去)可,...(10分),成立…(12分)點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力.【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.2.判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集.元素一般用小寫字母a,b,c表示，集合一般用大寫字母A,B,C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍.驗(yàn)證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件.符號(hào)表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合.【命題方向】驗(yàn)證元素是否是集合的元素(2)偶數(shù)4k-2(k∈Z)不屬于A.分析：(1)根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；(2)用反證法，假設(shè)屬于A,再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論.解答：解：(1)∵3=22-12,3∈A;∴(m-n)(m+n)為4的倍數(shù)，與4k-2不是4的倍數(shù)矛盾.∴(m-n)(m+n)為奇數(shù)，與4k-2是偶數(shù)矛盾.綜上4k-2∈A.點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷.分類討論的思想.【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù).已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求實(shí)數(shù)a的值.分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a=3,求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可.此時(shí)A={3,3},不合條件舍去，...(7分)4.集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】【解題方法點(diǎn)撥】1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義5.集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】【解題方法點(diǎn)撥】1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.【命題方向】設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},滿足B≌A,則m的取值范圍是解：∵集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且BSA,**6.求集合的并集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.AUB實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素.①AUB=BUA.②AU?=A.③AUA=A.④AUB≥A,AUB≥B.【解題方法點(diǎn)撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為AUB.元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集.【命題方向】已知集,B={x∈Zlx2<3},則AUB=()所以AUB={-1,0,1,2}.【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B.A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集.運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B=B∩A.②A∩?=?.③A∩A=A.④A∩BSA,A∩BSB.⑤A∩B=A?ASB.⑥A∩B=?,兩個(gè)集合沒有相同元素.⑦A∩(CuA)=?.⑧Cu(A∩B)=(CuA)U(CuB).集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題.8.求集合的交集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B.A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集.運(yùn)算性質(zhì)：集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.己知集合A={x∈Z|x+1≥0},B={x|x2-x-6<0},則A∩B=()解：因?yàn)锳={x∈Z|x+1≥0}={x∈Z|kx≥-1},B={xlx2-x-6<0}={x|-2<x<3},所以A∩B={-1,0,1,2}.9.求集合的補(bǔ)集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.(通常把給定的集合作為全集).對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA,即CuA={x|x∈U,且x∈A}.【解題方法點(diǎn)撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法.【命題方向】值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).解：根據(jù)題意可得A={x|x≤1},【知識(shí)