8.6.3平面與平面垂直(一)

引入思考：如何研究平面與平面垂直？

平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.二面角知識一

二面角知識一思考1：如圖，在日常生活中，我們常說“把門開大一些”，是指哪個角大一些？受此啟發(fā)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣具體刻畫二面角的大小呢？

操作確認(rèn)思考2:根據(jù)二面角的平面角的定義，你認(rèn)為二面角的范圍是多少？

αβlABOα(β)lA(B)O當(dāng)∠AOB=0°，即二面角的平面角為0°時，表示二面角的兩個半平面重疊成一個半平面.當(dāng)∠AOB=180°，即二面角的平面角為180°時，表示二面角的兩個半平面展開成一個平面.αβlABO思考3：如何在立體幾何圖形中求二面角的大小？二面角的平面角的特點：（1)角的頂點在二面角的棱上（2)角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)（3)角的兩邊都與棱垂直(1)作—作出平面角；(2)證—說明所作的角滿足定義，即為所求二面角證的平面角；(3)求—將作出的角放在三角形中，計算出平面角的大小.簡稱為“一作二證三求”.

C典例作出二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點O，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA，OB.如圖所示，∠AOB為二面角α--a--β的平面角．

作出二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點O，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA，OB.如圖所示，∠AOB為二面角α--a--β的平面角．方法二：(垂面法)過棱上一點O作垂直于棱的平面γ，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α--l--β的平面角．

二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點作為平面角的頂點．思考：教室前側(cè)和右側(cè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角？分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，我們常說墻面直立于地面上.

畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.平面與平面垂直的定義知識二思考：如圖，建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直.如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面.這種方法說明了什么道理？這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直.在明確了兩個平面互相垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們研究兩個平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定.

在明確了兩個平面互相垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們研究兩個平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定.符號表示：一般地，我們有下面判定兩個平面互相垂直的定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.平面與平面垂直的判定知識三

線面垂直面面垂直思考：如何證明？

平面與平面垂直的判定定理的證明：證明：ABDCE

BDCA′B′C′D′A典例∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC.又BD

平面ABC，∴AA'⊥BD.

∵△ABC是正三角形，且D是AC的中點，∴

AC⊥BD，又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'.證明：在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中點.求證：平面BDC′⊥平面ACC′A′.BDCA′B′C′A練習(xí)利用判定定理證明面面垂直的一般方法是：從已知直線中尋找與結(jié)論有關(guān)的平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則可通過作輔助線來解決.在作輔助線時，應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明，不能隨意添加.總結(jié)歸納如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點.求證：平面ABM⊥平面A1B1M.證

由長方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M為CC1的中點，所以C1M＝CM＝1.又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M?平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因為BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.

O典例

典例

D典例

D如圖①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E為AD的中點，EF⊥BC，垂足為F.沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖②所示的六面體ABCDEF.已知折起后AB的中點M到點D的距離為3.(1)求證：平面ABFE⊥平面CDEF；如圖①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E為AD的中點，EF⊥BC，垂足為F.沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖②所示的六面體ABCDEF.已知折起后AB的中點M到點D的距離為3.(1)求證：平面ABFE⊥平面CDEF；（1）證:取EF的中點N，連接MN，DN，MD.根據(jù)題意可知，四邊形ABFE是邊長為2的正方形，又M，N分別為AB，EF的中點，∴MN⊥EF，MN＝2.∴MN⊥DN，又∵EF∩DN＝N，∴MN⊥平面CDEF.又MN?平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF.如圖①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E為AD的中點，EF⊥BC，垂足為F.沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖②所示的六面體ABCDEF.已知折起后AB的中點M到點D的距離為3.

(2)求六面體ABCDEF的體積.連接CE，則V六面體ABCDEF＝V四棱錐C－ABFE＋V三棱錐A－CDE.由(1)知AE⊥DE，

∴AE⊥平面CDEF，∴AE⊥CF，

∴CF⊥平面ABEF，

拓展具體來說，取一長方體，按圖①斜割一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱之為塹堵.

如圖②，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得到一個四棱錐和一個三棱錐.以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬.余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么?解：平面ABC⊥平面BCD，

平面ABD⊥平面BCD

平面ABC⊥平面ACD練習(xí)(多選)如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法正確的有()A.平面PAD⊥平面PABB.平面PAD⊥平面PCDC.平面PBC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PCD由題意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，AD⊥平面PAB，∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故選ABC.ABC

×鞏固√已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（）A.有1個B.有2個C.有無數(shù)個 D.不存在C

D鞏固已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是().(A)α⊥γ，β⊥γ

(B)α∩β＝a，b⊥a，b?β

(C)a//β，a//α

(D)a//α，a⊥βD對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是（）A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n?α

C.m∥n，n⊥β，m?αD.m∥n，m⊥α，n⊥β解

∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.C解

因為D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以DF∥BC，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故①正確；因為E是BC的中點，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因為AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正確；因為BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正確；只有②不正