第頁(yè)專題04函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn).（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.2、用二分法求方程的近似解對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：=1\*GB3①若（此時(shí)），則就是函數(shù)的零點(diǎn)；=2\*GB3②若（此時(shí)），則令；=3\*GB3③若（此時(shí)），則令.（4）判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)的近似值（或）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.由函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系，我們可以用二分法來(lái)求方程的近似解.3、函數(shù)模型的應(yīng)用用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如下：這一過(guò)程包括分析和理解實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)情況（是“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”）；根據(jù)增長(zhǎng)情況選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算、推理、求解函數(shù)模型；用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問(wèn)題.在這一過(guò)程中，往往需要利用信息技術(shù)幫助畫圖、運(yùn)算等.【典型例題】例1．已知函數(shù)．(1)畫出此函數(shù)的圖像；(2)求不等式的解集；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，故其函?shù)圖象如下所示：（2）當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為：.（3）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即的函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，即可，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.例2．某問(wèn)題的題干如下：“已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意，均有；②當(dāng)時(shí)，；③.”某同學(xué)提出一種解題思路，構(gòu)造，使其滿足題干所給條件.請(qǐng)按此同學(xué)的思路，解決以下問(wèn)題.(1)求的解析式；(2)若方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，代入①得，，所以，故，又由③得，，所以b=3；因此，經(jīng)檢驗(yàn)，，滿足題干所給條件，所以；（2）因?yàn)榉匠糖∮?個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然0為其一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程恰有2個(gè)非0實(shí)數(shù)根，即方程恰有2個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根非，由可得，，又由均不是此方程的根，則，所以，m的取值范圍為.例3．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若方程有四個(gè)不等實(shí)根，且，證明．【解析】（1）令，解得，．所以函數(shù)的零點(diǎn)是和.（2）證明：易知對(duì)勾函數(shù)的圖像如下圖所示：則的圖像如下：如圖，要使有四個(gè)根，則，令，當(dāng)，則，由韋達(dá)定理知：；當(dāng)，則，由韋達(dá)定理知：．∴．例4．設(shè)函數(shù)，（，）.(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值及相應(yīng)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，即，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，滿足題設(shè)；綜上，時(shí)，零點(diǎn)為2；，零點(diǎn)為4.（2）因?yàn)閷?duì)任意的，總，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，即，所以可得

解得；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，即，所以可得，解得；綜上，m的取值范圍為.例5．已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的解析式；(2)設(shè)，（i）求出的零點(diǎn)，并直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若有四個(gè)不同的解，直接寫出的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象如下圖所示：（2）（i）因?yàn)?，圖象如下圖所示，令，可得，所以當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；的零點(diǎn)為和.如圖所示，在上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增.（ii）若有四個(gè)不同的解，即與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以.的取值范圍為：.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)從正方向無(wú)限趨近于時(shí)，，則；又，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，且在上連續(xù)，在內(nèi)有零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：C.2．用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，且單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，故選：A3．已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，其中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則a，b是的兩個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)的圖象可以看成圖象向下平移2個(gè)單位得到，且，，如圖所示：故選：B.4．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，則整數(shù)k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【解析】∵，，在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴零點(diǎn)所在區(qū)間為，∴．故選：A.5．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】，或，，，或，時(shí)，不合題意，舍去，滿足題意．因此方程有三個(gè)解，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．故選：B．6．若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且的圖象是連續(xù)不斷的，所以，解得．故選：B.7．已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，則集合的元素個(gè)數(shù)可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】有實(shí)根，，解得：；；設(shè)，則；①當(dāng)時(shí)，，，即，解得：，；②當(dāng)時(shí)，由得：，；，，，又恒成立，，即，共有四個(gè)不等實(shí)根，；綜上所述：集合的元素個(gè)數(shù)可能為或.故選：C.8．函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的根，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，即，解得；故要使得方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，.故選：D.二、填空題9．若函數(shù)（且）與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)如圖所示，此時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)如圖所示，此時(shí)，要使兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有，即.故答案為：10．已知，函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由于在上只有一個(gè)零點(diǎn)4，函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3，若,此時(shí)在上沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3，滿足題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有零點(diǎn)4，函數(shù)在上有零點(diǎn)為1和3，不滿足題意，舍去當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有零點(diǎn)4，函數(shù)在上有零點(diǎn)為1，滿足題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有零點(diǎn)4，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，不滿足題意，舍去，綜上：或，故答案為：11．已知函數(shù)若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍______.【答案】【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)，因?yàn)?，因?yàn)榕己瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，即.故答案為：四、解答題12．已知函數(shù)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，即，其圖象如圖所示：（2）將化為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出直線與函數(shù)的圖象（如圖所示），由圖象，得0<，即的取值范圍是.13．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個(gè)月，我國(guó)光伏新增裝機(jī)達(dá)到4447萬(wàn)千瓦，同比增長(zhǎng)2241萬(wàn)千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機(jī)的全年固定成本為1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（單位：百臺(tái)）發(fā)電機(jī)組需增加投入y（單位：萬(wàn)元），其中，該光伏發(fā)電機(jī)年產(chǎn)量最大為10000臺(tái)．每臺(tái)發(fā)電機(jī)的售價(jià)為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機(jī)當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤(rùn)P（單位：萬(wàn)元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？（總收入＝總成本＋利潤(rùn)）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，∵，∴當(dāng)年產(chǎn)量為3000臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為800萬(wàn)元．14．已知函數(shù)，，其中.(1)若的圖象與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.【解析】（1）由題意在上無(wú)解，即在上無(wú)解，由，，而，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，則，所以，令，又，故（僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以在上的最小值為，又的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不滿足，故無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，又，故，綜上所述，.15．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.(1)求函數(shù)?的解析式；(2)已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；(3)若關(guān)于的方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，由已知可得，即，所以，，解得；（2）由題意，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，，所以值域?yàn)椋唬?）由題知方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)不等實(shí)根.顯然不是該方程的根，令，則原方程可變形為，由，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，則題意轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)根（因?yàn)槊恳粋€(gè)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)）.設(shè)，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，所求常數(shù)的取值范圍是.16．已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且．(1)求的值和的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到函的圖象，若，且，求的取值范圍；(3)若，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）令，則，得，再令，則，得；（2），由及，得且，所以，設(shè)，令，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，所以；（3），令，且，則的圖象如下，則由，得（*），記方程（*）的根為、，當(dāng)或時(shí)，原方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，如上圖，記，所以或，解得或，所以時(shí)滿足題設(shè)．函數(shù)的零點(diǎn)隨堂檢測(cè)LISTNUMOutlineDefault\l3用二分法求函數(shù)f(x)=x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是()A.[－2，－1]B.[－1，0]C.[0，1]D.[1，2]【答案解析】答案為：ALISTNUMOutlineDefault\l3函數(shù)f(x)=x2＋4x＋4在區(qū)間[－4，－1]上()A.沒(méi)有零點(diǎn)B.有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)C.有兩個(gè)零點(diǎn)D.有一個(gè)零點(diǎn)【答案解析】答案為：D解析：當(dāng)x2＋4x＋4=0時(shí)，即(x＋2)2=0，x=－2.∵－2∈[－4，－1]，∴－2是函數(shù)f(x)=x2＋4x＋4在區(qū)間[－4，－1]上的一個(gè)零點(diǎn).LISTNUMOutlineDefault\l3函數(shù)y=lgx－eq\f(9,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)【答案解析】答案為：D；解析：因?yàn)閒(9)=lg9－1＜0,f(10)=lg10－eq\f(9,10)=1－eq\f(9,10)＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y=lgx－eq\f(9,x)在區(qū)間(9,10)上有零點(diǎn)，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)，函數(shù)y=f(x)-a有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為x1，x2，x3，x4則x1x2＋x3＋x4的取值范圍為()A.B.C.D.【答案解析】答案為：A解析：由函數(shù)可知關(guān)于x＝﹣1對(duì)稱，所以，且，令，則有，所以，再由圖可知，可求解.解析：根據(jù)題中所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像，可知要使函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則有，并且有，且，可得x1＝﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，﹣2x2﹣x22＝﹣(x2＋1)2＋1，在﹣1＜x2≤0遞減，可得的范圍為[0，1)．令，則有，從而有，所以有，所以，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3若函數(shù)f(x)=x2－x＋a有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________.【答案解析】答案為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))).解析：∵Δ=(－1)2－4×1×a=1－4a=0，而f(x)=x2－x＋a有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x2－x＋a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0，即a<eq\f(1,4).LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)f(x)=x2－ax－b兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)=bx2－ax－1零點(diǎn)是_______.【答案解析】答案為：－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).解：由題意知，方程x2－ax－b=0的兩根為2,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a=5，b=－6，∴方程bx2－ax－1=－6x2－5x－1=0的根為－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，即為函數(shù)g(x)的零點(diǎn).LISTNUMOutlineDefault\l3函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在區(qū)間[－eq\f(1,2),eq\f(1,2)]內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.【答案解析】答案為：(－∞，0]解析：由f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＝－(eq\f(1,x)-1)2＋1.若f(x)在[－eq\f(1,2),eq\f(1,2)]內(nèi)有零點(diǎn)，則f(x)＝0在區(qū)間[－eq\f(1,2),eq\f(1,2)]內(nèi)有解，當(dāng)－eq\f(1,2)≤x<0或0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)≤0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0].LISTNUMOutlineDefault\l3若函數(shù)f(x)=|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.【答案解析】答案為：(0,2).解：由f(x)=|2x－2|－b=0，得|2x－2|=b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x