第頁第03講平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念1.1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.1.3向量的投影①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.②投影向量計(jì)算公式:當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以綜上可知，對于任意的，都有.2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量，為向量和的夾角：2.1數(shù)量積2.2模：2.3夾角：2.4非零向量的充要條件：2.5三角不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算①②③4、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則②三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，所以5、常用結(jié)論①②③高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析【例題1-1】已知在方向上的投影為，則的值為A．3B．C．2D．【答案】B【詳解】設(shè)與的夾角為，故選：B.【例題1-2】在中，為邊上上的中點(diǎn)，，．（1）___________．（2）為內(nèi)一點(diǎn)，最小值為___________【答案】

-5

-2【詳解】由題意知，，，則，由，得；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，由，得，所以當(dāng)即即與反向時(shí)，取到最小值，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故答案為：-5；-2.【變式1-1】已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【詳解】在方向上投影向量為，，.故選：A【變式1-2】在中，，，，為的外心，則（

）A．5B．2C．D．【答案】D【詳解】在中，，，，又為的外心，是的中點(diǎn)，故選：D角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義【例題2-1】已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足，，則點(diǎn)為該三角形的（

）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，，即，所以，則向量在向量上的投影為的一半，所以點(diǎn)O在邊AB的中垂線上，同理，點(diǎn)O在邊AC的中垂線上，所以點(diǎn)O為該三角形的外心．故選：B．【例題2-2】如圖，已知正六邊形邊長為1，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)，（包括邊界），則的取值范圍為______【答案】【詳解】解：由正六邊形的性質(zhì)得：，則，，，而表示在上的投影，當(dāng)點(diǎn)P在C處時(shí)，投影最大為，當(dāng)點(diǎn)P在F處時(shí)，投影最小為0，所以的取值范圍為，故答案為：【變式2-1】如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則_________．【答案】【詳解】設(shè)正六邊形邊長為1，則與的夾角為，故在向量上的投影向量為，所以.故答案為：【變式2-2】在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】正六邊形ABCDEF中，過點(diǎn)B作于，則，又即，故的取值范圍為故答案為：高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算角度1：求數(shù)量積【例題3-1】已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．12B．4C．3D．1【答案】D【詳解】由已知,所以故選:D.【例題3-2】在邊長為2的正三角形中，，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，則，所以，故選：D【變式3-1】已知是邊長為2的等邊三角形，則（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由圖做，則夾角為，又由題可知，則.故選：A【變式3-2】已知，，其中．滿足，則（

）A．B．C．9D．22【答案】D【詳解】由已知，且，所以，所以或（舍去，），所以，又，所以，所以，故選：D.角度2：向量模運(yùn)算【例題4-1】已知向量與的夾角為60°，，，則（

）A．12B．16C．D．4【答案】C【詳解】與的夾角為60°，，，，故選：C.【例題4-2】已知向量，滿足，，，則等于（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵，，，，∴，∴，∴.故選：B.【變式4-1】已知向量，若與方向相反，則=（

）A．54B．8C．D．【答案】B【詳解】向量，與方向相反，則，解得，即，則，所以.故選：B【變式4-2】設(shè)平面向量，，若，則等于（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意，∵，，，∴，解得，∴∴故選：A.【變式4-3】已知單位向量的夾角為，若，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.角度3：向量的夾角【例題5-1】已知向量滿足，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)橐阎蛄繚M足，可得，且，所以.故選：D.【例題5-2】已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，設(shè)與夾角為，則，即與夾角的余弦值為.故選：B【變式5-1】已知，，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由，得，由，得，所以，解得，所以．故選：D．【變式5-2】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，，若，則與的夾角為(

)A．B．C．D．【答案】A【詳解】，則，解得，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．【變式5-3】已知向量滿足，則與的夾角為___________.【答案】【詳解】由，，故答案為：角度4：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)【例題6-1】已知，，向量與的夾角為，且與向量的夾角為鈍角．則（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)，由，得，即①，因?yàn)椋?，又向量與的夾角為，所以，所以②，由①②解得或，又向量與向量的夾角為鈍角，所以，所以，故，故選：A【例題6-2】已知，且向量與不共線.(1)若與的夾角為，求；(2)若與的夾角為且向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1；(2)【詳解】（1）與的夾角為，，.（2）與的夾角為，，向量與的夾角為銳角，，且不能同向共線，，，解得且，即或，實(shí)數(shù)k的取值范圍是【變式6-1】已知平面向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為____________.【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不共線，，，即，且，解得且，故答案為：【變式6-2】設(shè)兩個(gè)向量滿足，(1)求方向的單位向量；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由已知，所以，所以，即方向的單位向量為；（2）由已知，，所以，因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為鈍角，所以，且向量不與向量反向共線，設(shè)，則，解得，從而，解得.角度5：已知模求數(shù)量積【例題7-1】已知，是單位向量，若，則，的夾角是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋菃挝幌蛄?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，的夾角是.故選：B【例題7-2】若非零向量與滿足：，且，，則的最大值為______．【答案】【詳解】由已知有，∴，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.即的最大值為.故答案為：【變式7-1】空間向量，，若，，，則與的夾角為（

）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【詳解】由題意可得：，即，解得，∴，且，可得.故選：B.【變式7-2】已知向量，滿足，，則，則______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，代入有：所?故答案為：.角度6：已知模求參數(shù)【例題8-1】已知向量滿足，，若與的夾角為，則的值為（

）A．2B．C．1D．【答案】A【詳解】解：,又，，，，，即，得或（舍去），故的值為2.故選：A.【例題8-2】已知單位向量，，與的夾角為.(1)求證；(2)若，，且，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)或.【詳解】（1）因?yàn)椋c的夾角為，所以，所以.（2）由得，即.因?yàn)椋c的夾角為，所以，，所以，即.所以或.【變式8-1】已知，是單位向量，且，的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】，即，即，即對任意的恒成立，則，解得，又因?yàn)椋?故選：C.【變式8-2】已知空間三個(gè)向量??的模均為1，它們相互之間的夾角均為.(1)求證：向量垂直于向量；(2)已知，求k的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)或(1)證明：因?yàn)?，??之間的夾角均為，所以，所以向量垂直于向量；(2)，所以.因?yàn)?，所以，解得?高頻考點(diǎn)三：向量的垂直關(guān)系【例題9-1】已知，，且?的夾角為，如果，那么的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意可得，由，可得，即，即，即，故選：A【例題9-2】已知，，．(1)求與的夾角；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，所以．?）因?yàn)?，且，所以．即，解得．【變?-1】已知向量，，若，則______．【答案】【詳解】由題意可得，則，解得，故答案為：．【變式9-2】已知，.(1)若與的夾角為，求；(2)若與不共線，當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直？【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：（2）解：∵向量與互相垂直，∴，整理得，又，，∴，解得.∴當(dāng)時(shí)，向量與互相垂直.高頻考點(diǎn)四：向量的投影（投影向量）【例題10-1】已知，，且，則在方向上的投影為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，且，則有，即，解得，所以在方向上的投影為.故選：D【例題10-2】已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為___________【答案】【詳解】向量，，，所以在方向上的數(shù)量投影為；故答案為：【變式10-1】若向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A．B．C．D．【答案】B【【詳解】由題意得，，則向量在向量上的投影向量為，故選：B【變式10-2】已知非零向量，滿足，且則向量在向量上的投影為______.【答案】##0.5【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影?故答案為：.平面向量的數(shù)量積隨堂檢測1．已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)為（

）A．-4B．-3C．4D．3【答案】A【詳解】，由于，所以.故選：A2．已知向量，滿足，，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.3．若向量與向量的夾角為，，，則（

）A．12B．6C．4D．2【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，解得（舍），或，所?故選：B4．已知，，，向量在方向上的投影是（

）A．12B．4C．－8D．2【答案】B【詳解】記向量與的夾角為，所以在方向上的投影為.故選：B.5．已知向量，滿足，，則（

）．A．B．C．D．【答案】A【詳解】由，，兩式相加，得，所以，，所以，所以.故選：A．6．已知點(diǎn)，，．則在上的投影向量為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，．所以，，，所以向量與的夾角為鈍角，因此量在上的投影向量與方向相反，而，，所以在上的投影向量為，故選：C7．如圖在直角梯形ABCD中，已知，，，，則（

）．A．22B．24C．20D．18【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD，所以，故，所以原等式.故選：A8．已知向量與的夾角為，，若，則____________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又向量與的夾角為，，所以解得．故答案為：.9．已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．【答案】【詳解】，，，，即，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.故答案為：10.如圖，在△OBC中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OB上，且OD=2DB，設(shè)，.(1)若，，且與的夾角為，求；(2)若向量與+k共線，求實(shí)