河南省南陽市南陽六校2025-2026學年高二上學期10月期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線斜率為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設傾斜角為，依題意，由于，所以.故選：A.2.下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C．3.記橢圓：，雙曲線：的離心率分別為，，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】由題意知，，因為，所以，即，解得.故選：B.4.點關于直線的對稱點為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點關于直線的對稱點為，則，解得，即.故選：A.5.已知P為拋物線上的任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】由題意知拋物線的焦點為，準線的方程為.如圖，過點P作拋物線準線l的垂線段，垂足為Q，過點作，垂足為.由拋物線的定義得，所以，當三點共線時取等號，故的最小值為.|故選：C.6.已知圓與直線：相交于兩點，若為正三角形，則實數(shù)的值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】圓C：，即，圓心為，半徑，因為圓與：相交于兩點，且為正三角形，所以圓心到直線的距離，，則，解得.故選：A.7.已知圓O：，直線l：，將圓O在l下方的部分沿著l向上翻折，如圖，若直線與折疊后得到的兩段弧恰有4個交點，則m的值可以是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】由題意知圓O與l交于B，C兩點，且，，當直線過點時，得，由對稱性可知，折疊后的弧BC對應的圓的方程為，當與劣弧BC相切時，有，所以，其中舍去，結合圖形可知，當時，直線與兩段弧恰有4個交點.結合選項知B符合題意.故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內切圓面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，.如圖，設圓與線段，，分別相切于點，則，，，所以，所以，從而可知內切圓的圓心C在直線上.因為的斜率為，所以傾斜角為，因為是的平分線，所以直線的傾斜角為，方程為，將代入，得，所以，即圓C的半徑為，得圓C的面積為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若直線的斜率，則傾斜角B.過點且與直線垂直的直線方程為C.過任意兩點，的直線都可以用方程表示D.直角坐標系xOy內的任意直線都可以用方程表示【答案】AD【解析】對于A，由條件可知，又，當時，，當時，，A正確；對于B，直線的斜率為，其垂線的斜率為3，所以過點且與直線垂直的直線方程為，即，故B錯誤；對于C，當直線垂直于坐標軸時，不能用方程表示，故C錯誤；對于D，任何直線的方程都有一般式，故D正確.故選：AD.10.橢圓光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)該橢圓反射后，反射光線經(jīng)過另一個焦點.已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，一條光線從出發(fā)，經(jīng)過橢圓的若干次反射，第二次經(jīng)過點時光線走過的路程為8c，則該橢圓的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】設橢圓的長軸長為.①若光線從沿長軸向左射出，則第二次經(jīng)過時，光走過的路程為，所以，得；②若光線從沿長軸向右射出，則第二次經(jīng)過時，光走過的路程為2a，所以，得；③若光線從沿其他方向射出，則第二次經(jīng)過時，光走過的路程為6a，所以，得.故選：BCD.11.已知拋物線：的焦點為，若過點的直線與交于兩點，且在第一象限，為坐標原點，則下列說法正確的是（）A.面積的最小值為2B.當直線的傾斜角為時，C.線段的中點到的準線的距離等于D.在x軸上存在一點，使直線與的斜率之和為定值【答案】ACD【解析】由題意知，設直線AB的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得消去整理得，則，.對于A，，故時，的面積取得最小值，為2，故A正確；對于B，當直線AB的傾斜角為時，直線AB的方程為，將代入，得，解得，，所以，，所以，故B錯誤；對于C，由題意知C的準線方程為，由前面的分析，知，，所以，又，所以，故C正確；對于D，由前面的分析，知，，設，則，所以當時，為定值0，即存在，使為定值，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得，解得故答案為：.13.已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，過橢圓上除A，B外任意一點P向x軸作垂線，垂足為Q，若，則橢圓的焦距為______.【答案】【解析】由題意知，，設，則，，所以，整理得，對照橢圓方程可知，所以，故橢圓的焦距為.故答案為：.14.已知P是直線l：上一動點，過點P作圓C：的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，則的最大值為______.【答案】【解析】由題意，得圓C：的圓心到直線l：的距離，所以l與圓C相離，如圖，可知當取得最大值時，取最小值，的最小值為點C到l的距離，即，此時，所以，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設直線與交于點P，已知直線l過點P.（1）若l與直線平行，求l的方程；（2）若l在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，求l的方程.解：（1）聯(lián)立得，解得，即.若l與直線平行，則l的斜率，所以l的方程為，即.（2）若l經(jīng)過坐標原點，設l：，代入P點坐標，解得，所以l的方程為.若l不經(jīng)過坐標原點，設l：，代入P點坐標，得，解得，所以l的方程為，即.所以l的方程為或.16.已知點，，，的外接圓為圓C.（1）求圓C的方程；（2）設的AB邊上的高所在的直線為l，求l被圓C所截得的弦長.解：（1）設圓C的方程為，將，，三點坐標代入，得解得故圓C的方程為，即.（2）由題意得，與AB垂直的高線的斜率為1，又過，所以：.圓的圓心到的距離，則被圓截得的弦長為.17.已知橢圓C：的離心率，以C的四個頂點為頂點的四邊形的面積為.（1）求的方程；（2）若直線交橢圓于兩點，求.解：（1）設C的半焦距為.由題意得得C的方程為.（2）設，，聯(lián)立，得化簡得，，..18.已知直線l：與拋物線C：相切于點P.（1）求C的方程以及點P的坐標；（2）過點的動直線L與C交于A，B兩點（均不與點P重合），AB的中點為M.（i）當軸時，求L的方程；（ii）設直線PA，PB的斜率分別為，，證明：為定值.（1）解：由可得（*），由題意知，解得（舍去），所以C的方程為.將代入（*）式可得，解得，將代入C的方程可得：，即.（2）（i）解：易知L的斜率存在且不為0，設，與C的方程聯(lián)立，得.由及點P不在L上，得或或.設，，則，.當軸時，，即，滿足題意，所以L的方程為.（ii）證明：由（i）可得，.所以，即為定值.19.已知雙曲線C：的右焦點為，漸近線方程為.（1）求C的方程.（2）若動直線l過點F，且與C交于M，N兩點（M在第一象限，N在第四象限），過點M作直線的垂線，垂足為D.（i）證明：直