PAGE專題12函數(shù)模型的應(yīng)用目錄概覽A考點精研?競賽考點專項攻堅考點一利用圖象刻畫實際問題 3考點二二次函數(shù)與冪函數(shù)模型 8考點三分段函數(shù)模型 10考點四指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型 12考點五分式函數(shù) 17考點六擬合函數(shù)模型 20考點七方案設(shè)計問題 23B實戰(zhàn)進階?競賽選拔模擬特訓（精選各地競賽、強基試題10道）【歸納重點知識】知識點01幾種常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)知識點02用函數(shù)模型解決實際問題的步驟第一步:仔細讀題,認真審題.就是讀懂題中的文字敘述,理解敘述中所反映的實際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學實質(zhì),尤其要理解敘述中的新名詞,新概念,進而掌握新信息.第二步:引進數(shù)學符號,建立數(shù)學模型.一般地,設(shè)自變量為x,y是x的函數(shù),并用x表示各相關(guān)量,然后根據(jù)問題的已知條件,運用已掌握的數(shù)學知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,實現(xiàn)問題的數(shù)學化,即建立數(shù)學模型.第三步:利用數(shù)學方法解答數(shù)學模型,求得結(jié)果.第四步:轉(zhuǎn)譯成具體問題解答.用圖表表示(如圖所示):知識點03建立函數(shù)模型的流程和方法1.利用給定的函數(shù)模型解決實際問題利用給定的函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵是考慮該題考查的是何種函數(shù),并注意定義域,然后結(jié)合所給模型,列出函數(shù)關(guān)系式,最后結(jié)合實際意義作出解答.2.建立確定性函數(shù)模型解決問題關(guān)鍵是抓住幾個步驟:讀懂題意;正確建立函數(shù)關(guān)系;轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題;解決實際問題.3.建立擬合函數(shù)模型解決實際問題大多數(shù)實際問題都不能事先知道函數(shù)模型,需要通過科學觀察和測試得出一些數(shù)據(jù),畫出散點圖,然后根據(jù)散點圖的形狀,通過函數(shù)擬合的方法確定函數(shù)模型,其基本過程是第一步:收集數(shù)據(jù);第二步:根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系內(nèi)畫出散點圖;第三步:根據(jù)點的分布特征,選擇一個能刻畫散點圖特征的函數(shù)模型;第四步:選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型;第五步:將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型進行檢驗,看其是否符合實際.若不符合實際,則重復(fù)第三、四、五步;若符合實際,則進入下一步;第六步:用求得的函數(shù)模型去解決實際問題.【熟記重要結(jié)論（二級結(jié)論）】常見的擬合函數(shù)模型在解決實際問題時,畫出散點圖后,要選用合適的函數(shù)模型進行擬合.常用的函數(shù)模型有以下幾類:(1)直線模型:能用一次函數(shù)表達的函數(shù)模型,其解析式可寫成y=ax+b(a≠0).(2)拋物線模型:能用二次函數(shù)表達的函數(shù)模型,其解析式可寫成y=ax2+bx+c(a≠0).(3)指數(shù)函數(shù)模型:能用類似指數(shù)函數(shù)表達的函數(shù)模型,其解析式可寫成y=kax+b(a>0,且a≠1,k≠0).(4)對數(shù)函數(shù)模型:能用類似對數(shù)函數(shù)表達的函數(shù)模型,其解析式可寫成y=klogax+b(a>0,且a≠1,k≠0).(5)冪函數(shù)模型:能用類似冪函數(shù)表達的函數(shù)模型,其解析式可寫成y=kxa+b(a≠1,k≠0).當遇到開放性的探究題且函數(shù)模型不確定時,需要我們?nèi)ヌ剿鲊L試,找到最適合的模型.此類題的解題過程一般有如下五步:(1)作圖:即根據(jù)已知數(shù)據(jù),畫出散點圖;(2)選擇函數(shù)模型:根據(jù)散點圖的特征,聯(lián)想哪些函數(shù)具有類似的圖像特征,然后找?guī)讉€比較接近的函數(shù)模型進行試驗;(3)求出函數(shù)模型:求出(2)中找到的幾個函數(shù)模型的解析式;(4)檢驗:將(3)中求出的幾個函數(shù)模型進行比較、驗證,得出最合適的函數(shù)模型;(5)利用求出的函數(shù)模型解決問題.考點一利用圖象刻畫實際問題1．學校宿舍與辦公室相距．某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿舍．在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】設(shè)行進的速度為，行走的路程為，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②．故選：A．2．在中國天門山舉行的WWL翼裝飛行世錦賽中，某翼人空中高速飛行，如圖反映了他從某時刻開始的15分鐘內(nèi)的速度與時間的關(guān)系，若定義“速度差函數(shù)”為時間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】由題意可得，當時，翼人做勻加速運動，，“速度差函數(shù)”可排除B項．當時，翼人做勻減速運動，速度從160開始下降，一直降到．當時，翼人做勻減速運動，從80開始下降，易得則．當時，翼人做勻加速運動，“速度差函數(shù)”，結(jié)合所給的圖象，故D正確.故選：D.3．已知邊長為1的正方形，為邊的中點，動點在正方形邊上沿運動，設(shè)點經(jīng)過的路程為，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當動點在正方形邊上沿運動時，則的面積為；當動點在正方形邊上沿運動時，則的面積為；當動點在正方形邊上沿運動時，則的面積為；所以，所以A正確，BCD錯誤；故選：A.4．一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為100千米/小時，特快車的速度為150千米/小時，甲乙兩地之間的距離為1000千米，兩車同時出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間的距離y（千米）與快車行駛時間t（小時）之間的函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當兩車同時相向出發(fā)時，相遇時間小時，此時兩車距離為0，快車行駛時間為4小時，故排除B選項；相遇時，快車已經(jīng)行駛的路程為千米，還需要行駛小時才能到達乙地，故排除A選項；特快車相遇時已經(jīng)行駛的路程為千米，只需要再行駛小時才能到達甲地，所以當特快車停止行駛時，快車還在行駛，此時直線的傾斜程度要變小一些，故排除D選項.故選：C.5．如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動（向右為順時針，向左為逆時針）．設(shè)頂點的軌跡方程是，則關(guān)于的最小正周期及在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是A． B．C． D．【答案】A【解析】從某一個頂點（比如）落在軸上的時候開始計算，到下一次點落在軸上，這個過程中四個頂點依次落在了軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長,因此該函數(shù)的周期為.下面考查點的運動軌跡,不妨考查正方形向右滾動，點從軸上開始運動的時候，首先是圍繞點運動個圓，該圓半徑為，然后以點為中心，滾動到點落地，其間是以為半徑旋轉(zhuǎn)，再以為圓心，旋轉(zhuǎn),這時候以為半徑,因此最終構(gòu)成圖象如下：所以兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍成區(qū)域的面積，故選A.6．如圖，和是兩個形狀大小完全相同的等腰直角三角形，，點在同一直線上．現(xiàn)從點重合的位置出發(fā)，讓在直線上向右作勻速運動，而的位置不動．設(shè)兩個三角形重合部分的面積為，運動的距離為．下面表示與的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為1，當時，當時，三角形的面積為拋物線，當時，重合的部分為，此時，對應(yīng)的面積．故對應(yīng)的圖象為，故選C.考點二二次函數(shù)與冪函數(shù)模型7．嘉興粽子以糯而不糊，肥而不膩，香糯可口，咸甜適中而著稱，尤以鮮肉粽最為出名，被譽為“粽子之王”．小嘉銷售一批嘉興肉粽，每個肉粽的最低售價為10元．若按最低售價出售，每天能賣出40個；若每個肉粽的售價每提高1元，日銷售量將減少2個．那么小嘉一天能獲得的最大收入是（

）A．440元 B．450元 C．460元 D．470元【答案】B【解析】設(shè)每個肉粽的售價提高元，則售價為元，日銷售量為個.收入.因為二次函數(shù)開口向下，當時，取得最大值.此時最大收入為元.故選：B8．某文具店購進一批新型臺燈，最低銷售價格為15元，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞，若售價每提高1元，則日銷售量將減少2盞，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入，則這批臺燈的銷售價格的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，銷售收入且，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入，則，所以，可得，綜上，.故選：C9．已知汽車從踩剎車到停車所滑行的距離（單位：）與速度（單位：）之間有如下關(guān)系式：，其中是比例系數(shù)，且是汽車質(zhì)量（單位：）.若某輛卡車不裝貨物（司機體重忽略不計）以的速度行駛時，從踩剎車到停車需要走.當這輛卡車裝著等于車重的貨物行駛時，為保證安全，要在發(fā)現(xiàn)前面處有障礙物時能在離障礙物以外處停車，則最高速度應(yīng)低于（假定司機發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需要經(jīng)過）（

）A．16 B．18 C．24 D．27【答案】B【解析】設(shè)卡車本身的質(zhì)量為（），速度為（），剎車滑行距離為（），依題意可得，將，代入可得：.又卡車司機發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需要經(jīng)過，這內(nèi)卡車行駛的路程為：（）.由，所以.根據(jù)速度的意義，所以.所以卡車行駛的速度應(yīng)低于.故選：B10．如圖所示，杭師大附中校園里有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形綠地（圖中四邊形），使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上已知，且，設(shè)，綠地面積為，若，則綠地面積的最大值為．（用含的式子作答）【答案】【解析】由題意，得，，所以，又因為，所以，故，定義域為.因為由于，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，.11．眾所周知，大包裝商品的成本要比小包裝商品的成本低.某種品牌的餅干，其100克裝的售價為1.6元，其400克裝的售價為4.8元，假定該商品的售價由三部分組成：生產(chǎn)成本、包裝成本、利潤.生產(chǎn)成本與餅干質(zhì)量成正比且系數(shù)為，包裝成本與餅干質(zhì)量的算術(shù)平方根成正比且系數(shù)為，利潤率為，則該種餅干900克裝的合理售價為元.【答案】9.6【解析】設(shè)餅干的質(zhì)量為克，則其售價（單位：元）與之間的函數(shù)解析式為.由題意得，即①，，即②.由①②解得，.∴.當時，.故這種餅干900克裝的售價為9.6元.考點三分段函數(shù)模型12．某車企生產(chǎn)型汽車，每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)輛型汽車另需增加投資萬元，當該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時，，當年生產(chǎn)量不低于400輛時，，若該款汽車售價為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（

）A．2000萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．2300萬元【答案】C【解析】設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為（萬元），由題意可得，即，當時，函數(shù)的對稱軸為，則；當時，，當且僅當，即時，取得最大值，因為，所以生產(chǎn)輛時該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為萬元，綜上可得，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為萬元．故選：C．13．為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小張同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，每月生產(chǎn)某大型電子產(chǎn)品件，每件產(chǎn)品售價為12萬元，需投入月固定成本為6萬元，另投入流動成本為萬元，且．經(jīng)市場分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當月能全部售完．（注：月利潤=月銷售收入－固定成本－流動成本）(1)寫出月利潤（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量（件）的函數(shù)解析式；(2)求月產(chǎn)量為多少件時，小張在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，并計算出最大利潤值．【解析】（1）由題意可得，所以；（2）當時，（萬元），當時，（萬元），當且僅當，即時，取等號，綜上所述，月產(chǎn)量為件時，獲利潤最大，利潤最大為（萬元）.14．發(fā)展新能源，是破解我國能源短缺與環(huán)境污染困局的有效途徑．國家政策的扶持為整個產(chǎn)業(yè)注入了強勁動力，開啟了蓬勃發(fā)展的新篇章．無錫某新能源企業(yè)，年固定成本400萬元，每生產(chǎn)臺設(shè)備，另需投入成本萬元，若年產(chǎn)量不超過95臺，則；若年產(chǎn)量大于95臺，則，每臺設(shè)備售價150萬元，若生產(chǎn)的設(shè)備可以全部售出．(1)已知年利潤為（萬元），請寫出年利潤關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？【解析】（1）依題意，若年產(chǎn)量不超過95臺，另外成本，固定成本400萬，總收入150x萬元，故利潤；若年產(chǎn)量大于95臺，另外成本，固定成本400萬，總收入150x萬元，故利潤.故；（2）當時，，在對稱軸處，取得最大值，；當，時，，而，當且僅當時等號成立，所以即時，.綜上可知，當年產(chǎn)量為110臺時，該企業(yè)所獲利潤最大為3860萬元.考點四指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型15．在計算機系統(tǒng)中，緩存的核心作用是加速數(shù)據(jù)訪問.當緩存加載完成后，未被讀取的信息比例會隨時間的推移逐漸下降，其變化規(guī)律可用函數(shù)模型近似描述.其中表示穩(wěn)態(tài)未被讀取比例，表示初始時未被讀取的“額外”比例，為衰減時間常數(shù).某工程師對某服務(wù)器緩存進行性能測試，下表記錄了以下數(shù)據(jù)（緩存加載完成后開始計時）：（分鐘）0510754530用該模型推算當時，緩存中未被讀取的信息比例約為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：當時，，當時，，當時，，由得，由得，由得，所以，由得，解得，則，所以當時，，即當時，緩存中未被讀取的信息比例約為.故選：B.16．宋代詞人周邦彥詞中曾寫“葉上初陽干宿雨，水面清圓，一一風荷舉”．已知池塘中的荷花每經(jīng)過一天的生長，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的倍，若荷葉經(jīng)過20天可以完全長滿池塘水面，則當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．15天 B．16天 C．17天 D．18天【答案】C【解析】設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為，則經(jīng)過天荷葉覆蓋水面的面積，由題意得，即，兩邊取以10為底的對數(shù)得，所以，解得．故選：．17．分貝數(shù)由聲音強度（單位：）與基準聲強（通常取，是人耳能聽到的最弱聲音）的比值共同決定：．一場演唱會的聲音強度是基準聲強的倍，而普通交談時的聲音分貝約為．記普通交談時的聲音強度為，則（

）A．2 B．3 C．-2 D．-3【答案】B【解析】由題可得，且，則，，故選：B.18．遺忘曲線（又稱“艾賓浩斯遺忘曲線”）是由德國心理學家艾賓浩斯（H．Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律．陳同學利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)過的時間x（單位：時）的大致關(guān)系：，若陳同學需要在明天15：00考語文時擁有復(fù)習背誦記憶的42%，則他明天復(fù)習背誦的時間需大約在（

）參考數(shù)據(jù)：，．A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00【答案】A【解析】令，則．∵，，，∴的估計值可取0.5，即他復(fù)習背誦的時間需大約在．故選：A.19．（多選）薇甘菊是熱帶?亞熱帶地區(qū)危害最嚴重的雜草之一，它所到之處，樹木枯萎?花草凋零.經(jīng)測算，薇甘菊的侵害面積（單位：）與自開始受侵害起的年數(shù)滿足關(guān)系式，其中（單位：）為侵害面積的初始值.某熱帶地區(qū)最初受到薇甘菊侵害的面積為，受害第一年時受侵害的面積為，則（

）A．B．當時，C．必然存在正數(shù)，使得D．當為整數(shù)時，薇甘菊的侵害面積隨著自開始受侵害起的年數(shù)增大而增大【答案】BCD【解析】當，當，解得，故A錯誤；當時，，故B正確；當時，，由正分數(shù)指數(shù)冪的定義，必然存在正數(shù)，使得，此時正數(shù)，故C正確；當為整數(shù)時，因為，所以數(shù)個大于1的正數(shù)相乘一定越來越大，故D正確.故選：BCD.20．（多選）年8月日，我國新疆、西藏等地發(fā)生多次至級地震，一般來說，震級在3級以上時，我們稱該地震為有感地震（即人們能感覺到此次地震）.里氏震級R與地震釋放能量E的關(guān)系為.已知6級地震釋放的能量為，則下列說法正確的是（

）A．震級越大，地震釋放的能量越大B．C．8級地震釋放的能量為6級地震釋放能量的1000倍D．某次地震釋放的能量為，則該地震為有感地震【答案】ACD【解析】由6級地震釋放的能量為，所以，解得，所以B錯誤；，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，R越大，則E就越大，所以A正確；當R=8時，，當R=6時，，所以.所以C正確；當時，，地震釋放的能量為，則該地震超過了3級，所以有震感，所以D正確.故選：ACD.21．我們知道存儲溫度（單位：℃）會影響著鮮牛奶的保鮮時間（單位：），溫度越高，保鮮時間越短.已知與之間的函數(shù)關(guān)系式為（為自然對數(shù)的底數(shù)），某款鮮牛奶在5℃的保鮮時間為，在25℃的保鮮時間為.（參考數(shù)據(jù)：）(1)求此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間約為幾小時（結(jié)果保留到整數(shù)）；(2)若想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于，那么對存儲溫度有怎樣的要求？【解析】（1）依題意，把，分別代入，得，于是，則，，當時，，此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間為254小時.（2）依題意，，由（1）知，顯然，于是，則，因此，而，則有，所以想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于，存儲溫度要不高于15℃.22．手機實際充電過程中，為保護電池健康，在不同電量時往往采用不同的模式充電，某舊電池從某個電量開始充電到充滿電為的模擬充電實驗中，手機電量（單位：）與充電時間（單位：）近似滿足：當時，；當時，；當時，.其中，，設(shè)為該舊電池開始充電的時刻，，.已知單調(diào)遞增，當手機檢測到電池已經(jīng)充滿電時，系統(tǒng)會自動斷開充電連接，以避免電池損耗或其他安全問題.(1)求該舊電池開始充電時的電量及充滿電的時間；(2)求，的值.【解析】（1）由題意，開始充電的時刻為，此時，將代入得.故該舊電池開始充電時的電量為.

充滿電即電量達到，即，由于，已知單調(diào)遞增，故充滿電的時刻必大于60.此時，?

令，得，，即.又，符合定義域，故充滿電的時間是.（2）易知，即.

，化簡得.

聯(lián)立，解得，.經(jīng)檢驗，此時滿足單調(diào)遞增的要求，故，.考點五分式函數(shù)23．網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時間內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2023年10月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式.已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是（

）萬元.A．45.5 B．37.5 C．36 D．35【答案】B【解析】依題意，產(chǎn)品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足，即有，由，得，因此月利潤，當且僅當時，即時取等號，所以當萬件時，該公司最大月利潤為萬元.故選：B24．某物流公司為了擴大業(yè)務(wù)量，計劃改造一間高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的倉庫.因倉庫的背面靠墻，無須建造費用，設(shè)倉庫前面墻體的長為米（）.現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊參加競標，甲隊的報價方案為：倉庫前面新建墻體每平方米元，左右兩面新建墻體每平方米元，屋頂和地面以及其他共計元；乙隊給出的整體報價為元（）.不考慮其他因素，若乙隊要確保競標成功，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】若倉庫前面墻體的長為米（），則左右兩面墻寬度為，則甲工程整體報價為，若乙隊要確保競標成功則，所以，則，因為，所以函數(shù)，當且僅當時，即時，函數(shù)有最小值，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故，則，所以實數(shù)的取值范圍是.25．折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學在課后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學們教授折紙.課堂上，老師給每位同學發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是cm.【答案】【解析】由題意得：長方形紙片的面積為，又，，當折痕如下圖MN所示時，設(shè)，則，解得：，，即，當且僅當時取等號；令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，故；當折痕如下圖所示時，設(shè)，則，解得：，，當時，取得最小值64，當或5時，取得最大值89，則；當折痕如下圖所示時，設(shè)，則，解得：，則，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，；綜上所述：折痕長的取值范圍為，26．如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200的十字型地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪．甲工程隊參與投標，給出的報價為：花壇報價為4200元/，花崗巖地坪報價為210元/，草坪報價為80元/．設(shè)總造價為S（單位：元），AD的長為x（單位：m）．(1)試建立S關(guān)于x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍；(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與競標，其給出的整體報價為元，若無論AD的長為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，因十字型地域面積為200，AD的長為x.則.則.（2）由（1），則恒成立，即.又，當且僅當時等號成立，所以，所以.考點六擬合函數(shù)模型27．從A地到B地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度v（單位：）（）的如下數(shù)據(jù)：v0406080120Q0781020為了描述汽車每小時耗油量Q與速度v的關(guān)系，下列最符合實際的函數(shù)模型是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意以及表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，可知該函數(shù)必須滿足三個條件：第一，定義域為；第二，在定義域上單調(diào)遞增；第三，函數(shù)經(jīng)過坐標原點.由散點圖可知，函數(shù)圖象不符合函數(shù)圖象特征，排除A，函數(shù)單調(diào)遞減，排除C，當時，沒有意義，排除D，故最符合實際的函數(shù)模型為.故選:B．【點睛】本題主要考查函數(shù)的解析式與函數(shù)的圖象，考查了分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.分類討論思想的常見類型⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的；⑵問題中的條件是分類給出的；⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；⑷涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.28．長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記為調(diào)度前該水庫的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【解析】函數(shù)的對稱軸為，所以，超出了范圍，不符合題意；，時，，且在上單調(diào)遞增，，即，符合題意；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不符合題意；函數(shù)為增函數(shù)，且時，，，則，即，符合題意.故滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是②④.故選：.29．某品牌汽車制造廠引進了一條小型家用汽車裝配流水線，本年度第一季度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表月份1月2月3月小型汽車數(shù)量（輛）306080創(chuàng)造的收益（元）480060004800(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列三個函數(shù)模型中：①，②，③選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型描述這條流水線生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的收益（元）之間的關(guān)系，并寫出這個函數(shù)關(guān)系式；(2)利用上述你選取的函數(shù)關(guān)系式計算，若這家工廠希望在一周內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6020元以上，那么它在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)多少輛小型汽車？【解析】（1）選取②，由題表可知，隨著的增大，的值先增大后減小，而函數(shù)及均為單調(diào)函數(shù)，故不符合題意，所以選取②，將，，三點分別代入函數(shù)解析式，可得二次函數(shù)對稱軸為，故可將函數(shù)解析式設(shè)為，即得到，解出，∴，∴，，；（2）設(shè)在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)輛小型汽車，根據(jù)題意，可得，即，即，因為，所以方程有兩個實數(shù)根，，由二次函數(shù)的圖象可知不等式的解為.因為只能取整數(shù)值，所以當這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量且之間時，這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.考點七方案設(shè)計問題30．某科技公司為提高研發(fā)速度，計劃建造一個高為3米，寬度為米，地面面積為80平方米的長方體形狀的實驗室，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報價方案．方案一：實驗室的墻面報價為每平方米200元，屋頂和地面報價共計9600元，總報價記為P；方案二：其給出的整體報價為元（）．(1)若當寬度為6米時，方案二的報價為28000元，求實數(shù)m的值；(2)求P的函數(shù)解析式，并求總報價P的最小值；(3)若對任意的時，方案二都比方案一省錢，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因?qū)挾葹?米時，方案二的報價為28000元，且則，解得所以的值為20.（2）設(shè)底面長為，由題意易得，故墻面面積為，則，因，則，當且僅當時取等，即總報價P的最小值為.（3）對任意的時，方案二都比方案一省錢，即時，恒成立，整理得，設(shè)，，因，則，，當且僅當，即時，取得最小值，故，又，則，所以若對任意的時，方案二比方案一省錢，則的取值范圍為.31．某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為元，朱古力蜂果蛋糕單價為元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為個，花費記為；方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為個，花費記為.（其中，，且）(1)試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；(2)若同時滿足，求這兩種購買方案花費的差值最小值（注：差值花費較大值花費較小值）.【解析】（1）由題意知：，，，，，，，，即，購買方案二花費更少.（2）由（1）得：；，（當且僅當，即時取等號）；，（當且僅當，即時取等號）；差值的最小值為（當且僅當，，，時取最小值）.32．某動力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計劃投入7200萬元購買一批智能工業(yè)機器人，使用該批智能機器人后前年的維護成本為萬元，每年電池銷售收入為7600萬元，設(shè)使用該批智能機器人后前x年的總盈利額為y萬元(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該電池生產(chǎn)企業(yè)從第幾年開始盈利；(2)使用若干年后對該批智能機器人處理方案有兩種方案一：當總盈利額達到最大值時，將該批智能機器人以2000萬價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，將該批智能機器人以5200萬元的價格處理問哪種方案更合理？并說明理由.【解析】（1）由題意可得，由得且，該企業(yè)從第2年開始盈利；（2）方案二更合理，理由如下：方案一：，當時y取到最大值12800，若此時處理掉智能機器人，總利潤為萬元，方案二：年平均盈利額萬元，當且僅當時，年平均盈利額最大，若此時處理掉智能機器人，總利潤為萬元，綜上，兩種方案總利潤都是14800萬元，但方案一需要五年，方案二僅需三年即可，故方案二更合理.1．（2024·山東濱州競賽)大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速(單位：)可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).當一條鮭魚以的速度游動時，它的耗氧量比靜止時多出的單位數(shù)為（

）A．2500 B．2600 C．2700 D．2800【答案】B【解析】因為鮭魚的游速(單位：)可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當一條鮭魚靜止時，，此時，則，即耗氧量為；當一條鮭魚以的速度游動時，，此時，所以，則，即耗氧量為，因此當一條鮭魚以的速度游動時，它的耗氧量比靜止時多出的單位數(shù)為.故選：B.2．（2024·湖南吉首市教師解題大賽）“碳達峰”是指二氧化碳的排放不再增長，達到峰值之后開始下降，而“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量達到峰值a（億噸）后開始下降，其二氧化碳的排放量S（億噸）與時間t（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，若經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為（億噸）．已知該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要實現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．13年 B．14年 C．15年 D．16年【答案】D【解析】由題意，，即，所以，令，即，故，即，可得，即．故選：D3．（2024·湖南邵陽高一競賽）如圖，中，，，，點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，同時點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，直到它們都到達點為止．若的面積為，點的運動時間為，則與的函數(shù)圖象是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴，根據(jù)題意得：點到達點的時間是，到達點的時間為，點到達點的時間為，當點在邊上時（不含端點），，，如圖，過點作于點，則，∴，∴，∴，解得：，，∴，當點在邊上時，，，，如圖，∴，，∴，即,綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為，∴函數(shù)圖象第一段為過原點的開口向上的拋物線的一部分，第二段為自左向右逐漸下降的拋物線的一部分．故選：C4．（2023·浙江省溫州市搖籃杯高一競賽）光線通過某種玻璃，強度損失.要使光線強度減弱為原來的，至少要通過塊這樣的玻璃.（參考數(shù)據(jù)：，.）【答案】16【解析】設(shè)至少要通過塊這樣的玻璃，則，即，故要使光線強度減弱為原來的，至少要通過塊這樣的玻璃.5．（第五屆“楓葉新希望杯”全國高一競賽（初賽））在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭（除燃料外）的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是，要使火箭的最大速度可達，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值是．【答案】【解析】根據(jù)題意，可得，所以，即，可得，而，則，所以，即燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值是.6．（第七屆-“楓葉新希望杯”高一競賽（B卷））某安全部門為了保證信息安全傳輸，采用一種密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：明文密文密文明文現(xiàn)設(shè)解密密鑰為：，如上所示，若密文“3”通過解密后得到明文“8”，則當輸入方輸入明文為“4”時，接受方所得密文應(yīng)為“”．【答案】2【解析】因解密密鑰為：，密文“3”通過解密后得到明文“8”即，解得．依題意，加密秘鑰為：，故當輸入明文為“4”時，接受方所得的密文為．7.（2023·云南省昭通一中教研聯(lián)盟聯(lián)考）甲、乙兩地相距1000千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成.可變部分與速度（千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.2，固定部分為720元.為使全程運輸成本最小，汽車的速度是千米/時.【答案】60【解析】設(shè)汽車速度為千米/時，則運輸成本為：，由，當且僅當，即時，運輸成本最小.8．（2025·湖南省邵陽市高一上拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)競賽（初賽））某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調(diào)的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調(diào)的進價多400元