試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省無錫市玉祁高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，則（

）A．－1 B．－3 C．2 D．2．過點(diǎn)的直線的方向向量為，則該直線方程為（

）A． B．C． D．3．如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（

）A． B． C． D．4．過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．5．已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．6．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．107．若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的有（

）A．非零向量，，若，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．已知空間向量，，則在上的投影向量為.10．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．的周長為8 B．若，則的面積為C．橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得 D．的最小值為111．如圖，在棱長為4的正方體中，為和的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則直線平面B．若點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓C．若點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為D．過線段且垂直于平面的截面圖形為等腰梯形三、填空題12．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)滿足，，則橢圓的離心率為.14．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)和定點(diǎn)的距離之比為2，其方程為，則，若點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題15．已知直線.(1)若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.16．已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，圓心在直線上.直線的方程為(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線被圓截得的弦長的最大值和最小值.17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形，且，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若四棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知橢圓的離心率，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.19．已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是圓，稱為橢圓的蒙日?qǐng)A，其方程為．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍；(3)過的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若直線，的斜率存在，設(shè)與的斜率分別為，證明：為定值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《江蘇省無錫市玉祁高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CAADCABAABDBD題號(hào)11答案ACD1．C【分析】根據(jù)斜率的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合斜率的定義列方程解得的值.【詳解】過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，所以，解得.故選：C2．A【分析】根據(jù)直線的方向向量確定直線的斜率，利用直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】由于直線的方向向量為，故直線的斜率為，故直線的方程為，即，故選：A．3．A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量.【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.4．D【分析】將與橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓的方程設(shè)為，再將點(diǎn)代入，求得的值，即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)代入，可得，解得（舍去），故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.5．C【分析】分為截距為和截距不為進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)截距為，則直線的方程為，當(dāng)截距不為，設(shè)，由直線過點(diǎn)，故，解得，即.因此直線的方程為或.故選：C6．A【解析】由直線過圓心得滿足的關(guān)系式，說明點(diǎn)在一條直線上，由點(diǎn)到平面的距離公式可得最小值．【詳解】由題意直線過已知圓的圓心，圓心為，∴，即，點(diǎn)在直線上，表示直線的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查二元函數(shù)的最值問題．解題方法是利用其幾何意義：兩點(diǎn)間距離求解，解題關(guān)鍵是求出滿足的條件，得點(diǎn)在一條直線上，從而只要求得定點(diǎn)到直線的距離即可得．7．B【分析】根據(jù)圓上點(diǎn)到直線距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)可知圓心到直線的距離為1，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為2，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1可知圓心到直線的距離為1，即，解得.故選：B8．A【分析】利用三角形的面積公式，結(jié)合橢圓的定義和基本不等式求解即可.【詳解】由題意得，而，則有，由橢圓定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，于是有，則，又，即有，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：A.9．ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷A；由空間向量共面的推論判斷B；根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)判斷C；根據(jù)投影向量的數(shù)量積運(yùn)算公式結(jié)合空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解投影向量即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，非零向量，，若，則，故A正確；對(duì)于B，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，且，則，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，是空間中的一組基底，所以不共面，又，所以為共面向量，不能作為空間的一組基底，故C不正確；對(duì)于D，向量，，則在上的投影向量為，故D正確.故選：ABD.10．BD【分析】先求出，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A；利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義及三角形的面積公式即可判斷B；求出的最大值即可判斷C；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合基本不等式中“1”的整體代換即可判斷D.【詳解】橢圓C：的長短半軸長分別為，半焦距，由點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，得，對(duì)于A，的周長為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，由余弦定理得，，則，，因此的面積為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，即為等邊三角形，的最大值為，因此橢圓C上不存在點(diǎn)，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD11．ACD【分析】利用正方體的性質(zhì)，利用線線平行推出面面平行，進(jìn)而推出線面平行判斷選項(xiàng)A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理結(jié)合已知條件列方程求出軌跡方程，判斷選項(xiàng)B；利用正方體幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直定理分析判斷選項(xiàng)C，D．【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，平面，平面，故A正確；選項(xiàng)B：以為原點(diǎn)建立下圖所示空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長為4，即，又，，，設(shè)點(diǎn)，則，，，由余弦定理得：，，，，展開整理得，化簡得，，是以為圓心，半徑是的圓的一部分，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：連接，交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，交線為，位于上，則的最小值為到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值，是直角三角形，，即，的最小值為，故C正確；選項(xiàng)D：取的中點(diǎn)分別為，平面，是在平面內(nèi)的射影，是的中點(diǎn)，，又，，，，，即，同理可得，，且平面，平面，，平面，平面平面，平面即為所求截面，，，，平面為等腰梯形，故D正確．故選：ACD．12．【分析】根據(jù)給定條件，利用關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特征求得答案.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：13．/【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理建立方程即可求出離心率.【詳解】由橢圓的定義知：，而，解得，由，得，令該橢圓半焦距為，則，即，所以離心率.故答案為：14．2【分析】令，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式列方程求M軌跡，結(jié)合已知圓的方程求出m及點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)式最小值.【詳解】設(shè)，依題意，，即，整理得，則，解得，因此；點(diǎn)，由，得在圓外，由，得在圓外，于是，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：2；15．(1)(2)或【分析】（1）利用垂直關(guān)系求直線的斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解；（2）利用平行關(guān)系設(shè)直線方程，利用平行線間距離公式，求直線的方程.【詳解】（1）直線的斜率，因?yàn)椋灾本€的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程是，即；（2）設(shè)直線，則直線與直線之間的距離，解得或，所以直線的方程是或.16．(1)(2)最大值為；最小值為【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓的定義，待定系數(shù)法可得圓的方程；（2）分離參數(shù)可得直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，進(jìn)而可得弦長的最值.【詳解】（1）由已知圓心在直線上，則設(shè)，又圓經(jīng)過點(diǎn)和，則，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；（2）由已知直線，即，令，解得，即直線過定點(diǎn)，且，所以當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)弦長最大為，當(dāng)直線時(shí)弦長最小為.17．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）求證平面即可；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解．【詳解】（1）平面平面，，而F為的中點(diǎn)，，連接，底面是邊長為的菱形，，為等邊三角形，為中點(diǎn)，，，，又平面，平面，又平面；（2）四棱錐的體積，，由（1）可知，又平面，如圖，以為原點(diǎn)，以為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，易得平面法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，由圖知，故，故平面與平面的夾角的余弦值為.18．(1)(2)或【分析】（1）由長軸長可得，再根據(jù)離心率可得，再求，即可得到方程；（2）方法一、根據(jù)題意，直線斜率為0時(shí)，得到不符合題意，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，聯(lián)立曲線得到，再根據(jù)求解即可；方法二、直線斜率不存在時(shí)，，不符合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立曲線得到，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）由題可知，，，又，且，解得，，則橢圓的方程為.（2）法一：①當(dāng)直線斜率為0時(shí)，，不符合題意.②當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，則.由題意，，即，解得.故直線的方程為：或.法二：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不符合題意.②設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，則，由，得，即，解得.故直線的方程為或.19．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出方程組求出即可.（2）按是否為頂點(diǎn)分類，當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，求出長，并求出三角形面積的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出范圍.（3）按直線的斜率存在與否分類