第四章三角函數(shù)、解三角形第1節(jié)任意角、弧度制和三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí)導(dǎo)航站核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)考點(diǎn)1角的概念的推廣★★★☆☆考點(diǎn)2弧度制的定義和公式★★★☆☆考點(diǎn)3任意角的三角函數(shù)★★★☆☆（星級(jí)越高，重要程度越高）限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯【知識(shí)梳理】1.角的概念的推廣★★★☆☆(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.(2)分類(lèi)按旋轉(zhuǎn)方向不同分為(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定義和公式★★★☆☆(1)定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,記作1rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=lr(弧長(zhǎng)用l表示角度與弧度的換算1°=π180rad;1rad=180弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=|α|r扇形面積公式S=12lr=12|α|3.任意角的三角函數(shù)★★★☆☆(1)定義前提如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)定義正弦y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即sinα=y余弦x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即cosα=x正切yx叫做α的正切函數(shù),記作tanα即tanα=yx(x≠三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),將它們統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)(2)定義的推廣設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn),它到原點(diǎn)的距離為r(r>0),那么sinα=yr;cosα=xtanα=yx(x≠【名師點(diǎn)撥】1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.象限角3.軸線角4.若角α∈0,π2,則sinα<α<tan【教材回歸】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角.()(2)銳角是第一象限角,第一象限角也都是銳角.()(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).()(4)若α為第一象限角,則sinα+cosα>1.()2.(蘇教必修一P170【典例】2改編)已知α是第一象限角,那么α2A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或二象限角 D.第一或三象限角3.(人教A必修一P180T3改編)已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-12,5),則sinθ+cosθ=.

4.(北師大必修二P12B組T2)在半徑為R的圓中,120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為,面積為2R2的扇形的圓心角等于弧度.

【考向核心題型】考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角【典例】1(1)(多選)下列命題正確的是()A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α=2kπ,k∈Z}B.終邊落在y軸上的角的集合為{α|α=90°+kπ,k∈Z}C.第三象限角的集合為αD.在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為-675°和-315°(2)若α是第二象限角,則()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角【變式訓(xùn)練】1(1)集合α|kπ+(2)終邊在直線y=3x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為.

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【典例】2已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l(α>0).(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積是4cm2,求扇形的圓心角;(2)若扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?【變式訓(xùn)練】2(2025·沈陽(yáng)調(diào)研)成都大運(yùn)會(huì)官方體育圖標(biāo)——“十八墨寶”以大熊貓“奇一”為原型,將中國(guó)體育與中國(guó)書(shū)畫(huà)、中國(guó)國(guó)寶的融合做到了極致.如圖1所示,射箭的“水墨熊貓”以真實(shí)的射箭運(yùn)動(dòng)為原型,生動(dòng)形象.在如圖2所示的弓形中,弧中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離為2cm,弦長(zhǎng)為8cm,則弓形的面積約為(參考數(shù)據(jù):sin74°≈0.96,π≈3.14)()A.8.2cm2 B.9.1cm2C.11.1cm2 D.4.1cm2考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用角度1三角函數(shù)的定義【典例】3(1)(2025·河南五市聯(lián)考)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為始邊的角α,其終邊落在直線y=x上,則有()A.sinα=-22 B.cosα=C.sinα+cosα=±2 D.tanα=±1(2)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,則mA.-12 B.-3C.12 D.角度2三角函數(shù)值符號(hào)的判定【典例】4(2025·華東師大附中模擬)如果θ是第三象限角,則()A.sin2θ>0且tan2θ>0B.sinθ2>0且tan2θC.sin2θ>0且tanθ2D.sinθ2>0且tanθ【變式訓(xùn)練】3(1)(多選)(2024·湖北部分學(xué)校聯(lián)考)若角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的非負(fù)半軸且sinα·sinα+π2>0,A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2025·烏魯木齊模擬)已知角α(0<α<2π)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊上A點(diǎn)坐標(biāo)為sinπ6,cosπA.π12 B.C.π4 D.【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）一、單選題1.下列與角9π4A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+9π4(k∈ZC.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+5π4(k∈Z2.(2025·重慶診斷)已知點(diǎn)Pcosπ3,1是角α終邊上一點(diǎn),A.55 B.3C.12 D.3.角α的終邊在直線y=32x上,則cosαA.1313 B.C.±31313 4.若sinθ·cosθ<0,tanθsinθ>0,A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5.若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi),則角α的取值范圍是()A.π6,πC.2π3,7π6 D.2k6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,卷一《方田》中有如下兩個(gè)問(wèn)題:[三三]今有宛田,下周三十步,徑十六步.問(wèn)為田幾何?[三四]又有宛田,下周九十九步,徑五十一步.問(wèn)為田幾何?翻譯為:[三三]現(xiàn)有扇形田,弧長(zhǎng)30步,直徑長(zhǎng)16步.問(wèn)這塊田面積是多少?[三四]又有一扇形田,弧長(zhǎng)99步,直徑長(zhǎng)51步.問(wèn)這塊田面積是多少?則下列說(shuō)法正確的是()A.問(wèn)題[三三]中扇形的面積為240平方步B.問(wèn)題[三四]中扇形的面積為50494C.問(wèn)題[三三]中扇形的面積為60平方步D.問(wèn)題[三四]中扇形的面積為504927.扇面是中國(guó)書(shū)畫(huà)作品的一種重要表現(xiàn)形式(如圖1),圖2為其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖.設(shè)扇面A,B間的圓弧長(zhǎng)為l,A,B間的弦長(zhǎng)為d,圓弧所對(duì)的圓心角為θ,則l,d和θ所滿足的關(guān)系為()A.2sinθ2θ=dl C.2cosθ2θ=dl 8.(2025·杭州調(diào)研)如圖,A,B是在單位圓上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn).初始時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)A在(1,0)處,質(zhì)點(diǎn)B在第一象限,且∠AOB=π6.質(zhì)點(diǎn)A以π6rad/s的角速度按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)B同時(shí)以π12A.經(jīng)過(guò)1s后,扇形AOB的面積為5πB.經(jīng)過(guò)2s后,劣弧AB的長(zhǎng)為2πC.經(jīng)過(guò)6s后,質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為?D.經(jīng)過(guò)113s后,質(zhì)點(diǎn)A,B二、多選題9.已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-3),且θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則()A.sinθ=-21B.α為鈍角C.cosα=-2D.點(diǎn)(tanθ,tanα)在第四象限10.已知點(diǎn)P(sinx-cosx,-3)在第三象限,則x可能位于的區(qū)間是()A.5π4,9πC.?π2,11.(2025·北京昌平區(qū)質(zhì)檢)已知角α是第二象限角,則下列不等式一定成立的是()A.sinα2<0 B.tanαC.sinα2>cosα2 D.sin三、填空題12.若α=1560°,角θ與α終