第23頁（共23頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷常考題之事件的獨(dú)立性一．選擇題（共6小題）1．一枚質(zhì)地均勻的正方形骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設(shè)事件M為“第一次朝上的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與M相互獨(dú)立的事件是（）A．第一次朝上的數(shù)字是偶數(shù) B．第一次朝上的數(shù)字之和是8 C．兩次朝上的數(shù)字之和是8 D．兩次朝上的數(shù)字之和是72．如圖，某電子元件由A，B，C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復(fù)測試，A，B，C三種部件能正常工作的概率分別為45，34，A．1925 B．4950 C．59100 3．已知隨機(jī)事件A、B，B表示事件B的對立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，則下面結(jié)論正確的是（）A．事件A與B一定是對立事件 B．P（A∪B）＝1 C．P（AB）＝0.24 D．若事件A、B相互獨(dú)立，則P4．中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長．如圖（1），某公園的六角亭是中國常見的一種供休閑的古建筑，六角亭屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖（2）所示的六棱錐P﹣ABCDEF．該公園管理處準(zhǔn)備用風(fēng)鈴裝飾六角亭屋頂P﹣ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，現(xiàn)有四種不同形狀的風(fēng)鈴可供選用，則在相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴的條件下，頂點(diǎn)A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴的概率為（）A．961 B．1261 C．2161 5．甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲每次投中的概率為0.8，乙每次投中的概率為0.7．若甲、乙兩人各投籃一次，且是否投中互不影響，則恰有一人投中的概率為（）A．0.38 B．0.44 C．0.56 D．0.626．已知隨機(jī)事件A、B發(fā)生的概率分別為P(A．若A與B互斥，則P(B．若A與B相互獨(dú)立，則P(C．若P(AB)=19，D．若B?A，則P二．多選題（共3小題）（多選）7．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，甲每次命中概率為0.7，乙每次命中概率為0.8，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則（）A．兩人都命中的概率為0.56 B．恰好有一人命中的概率為0.38 C．兩人都沒有命中的概率為0.6 D．至少有一人命中的概率為0.94（多選）8．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率（多選）9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是5”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之積是12”，則下列說法正確的是（）A．甲、乙對立 B．甲、丙互斥 C．甲、乙相互獨(dú)立 D．乙、丙相互獨(dú)立三．填空題（共4小題）10．天津是一個(gè)歷史悠久的文化古都，盤山，石家大院，古文化街，鼓樓這四個(gè)景點(diǎn)又是天津十分有名的旅游勝地．已知某游客游覽盤山的概率為23，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是12，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，則該游客只游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為；該游客至少游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為11．已知M，N是相互獨(dú)立事件，且P（M）＝0.4，P（N）＝0.3，則P（M∪N）＝．12．2025年是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，為激發(fā)民眾的愛國熱情和民族自豪感，某地舉辦相關(guān)知識(shí)競答活動(dòng)．在決賽中，每輪活動(dòng)由甲、乙各答一個(gè)問題，已知甲每輪答對的概率為14，乙每輪答對的概率為25.在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則兩人在兩輪活動(dòng)中共答對3個(gè)問題的概率為13．某次知識(shí)競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.6，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率為．四．解答題（共2小題）14．某公司舉辦乒乓球比賽，比賽采取5局3勝制，已知在甲、乙兩人的比賽中，每局比賽甲獲勝的概率都為35（1）求前2局中，甲、乙各獲勝1局的概率；（2）求第1局乙獲勝且第4局甲獲勝的概率；（3）求甲、乙比賽結(jié)束時(shí)所用局?jǐn)?shù)不大于4的概率．15．玉溪本地特有的紅土和天然釉礦為原料燒制而成，工藝難度大，成功率低．假設(shè)青花瓷燒制開窯后經(jīng)檢驗(yàn)分為成品和廢品兩類，現(xiàn)有青花瓷6個(gè)，其中3個(gè)由工匠甲燒制，3個(gè)由工匠乙燒制，甲、乙兩人燒制青花瓷的成品率分別為15，1（1）求甲燒制的3個(gè)青花瓷中至多有2個(gè)成品的概率；（2）設(shè)乙燒制的這3個(gè)青花瓷中成品的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之事件的獨(dú)立性參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案DDDCAD二．多選題（共3小題）題號789答案ABDABDBC一．選擇題（共6小題）1．一枚質(zhì)地均勻的正方形骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設(shè)事件M為“第一次朝上的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與M相互獨(dú)立的事件是（）A．第一次朝上的數(shù)字是偶數(shù) B．第一次朝上的數(shù)字之和是8 C．兩次朝上的數(shù)字之和是8 D．兩次朝上的數(shù)字之和是7【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義及乘法公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可求解．【解答】解：拋擲骰子兩次，共有6×6＝36個(gè)基本事件數(shù)，則M＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）}共18個(gè)基本事件，則P(設(shè)事件E為第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù)，則事件M與事件E是對立事件，故A錯(cuò)誤；設(shè)事件F為第一次朝上面的數(shù)字是1，則F?M，故B錯(cuò)誤；設(shè)事件N為兩次朝上面的數(shù)字之和是8，則N＝{（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）}共5個(gè)基本事件，則P(且MN＝{（3，5），（5，3）}，則P(P（MN）≠P（M）?P（N），所以C錯(cuò)誤；設(shè)事件Q為兩次朝上面的數(shù)字之和是7，則Q＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，則P(Q)=636=16，且MQ＝{（1，6），（3，4），（因?yàn)镻（MQ）＝P（M）?P（Q），所以事件M與事件Q相互獨(dú)立．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的判斷，屬于中檔題．2．如圖，某電子元件由A，B，C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復(fù)測試，A，B，C三種部件能正常工作的概率分別為45，34，A．1925 B．4950 C．59100 【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；對立事件的概率關(guān)系及計(jì)算．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】只要求出元件中的這四個(gè)線同時(shí)不能正常工作的概率，其對立事件的概率即為所求．【解答】解：﹣A﹣B﹣這條線不能正常工作的概率為1-4易知A，B，C三個(gè)元件不能正常工作的概率分別為：15，14，所以整個(gè)電子元件不能正常工作的概率為：25故該元件能正常工作的概率為1-1故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和對立事件概率的計(jì)算，屬于中檔題．3．已知隨機(jī)事件A、B，B表示事件B的對立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，則下面結(jié)論正確的是（）A．事件A與B一定是對立事件 B．P（A∪B）＝1 C．P（AB）＝0.24 D．若事件A、B相互獨(dú)立，則P【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件與對立事件．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，舉出反例可得A、B、C錯(cuò)誤，由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析，可得D正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)有5個(gè)小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5個(gè)數(shù)字，設(shè)A＝“取出標(biāo)有數(shù)字1、2的小球”，B＝“取出標(biāo)有數(shù)字1、2、3的小球”，易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，依次分析選項(xiàng)：對于A，A?B，事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，即事件A與B不是對立事件，A錯(cuò)誤；對于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B錯(cuò)誤；對于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C錯(cuò)誤；對于D，P（B）＝0.6，則P（B）＝0.4，若事件A、B相互獨(dú)立，則A與B也相互獨(dú)立，則有P（AB）＝P（A）P（B）＝0.16，D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，涉及概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長．如圖（1），某公園的六角亭是中國常見的一種供休閑的古建筑，六角亭屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖（2）所示的六棱錐P﹣ABCDEF．該公園管理處準(zhǔn)備用風(fēng)鈴裝飾六角亭屋頂P﹣ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，現(xiàn)有四種不同形狀的風(fēng)鈴可供選用，則在相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴的條件下，頂點(diǎn)A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴的概率為（）A．961 B．1261 C．2161 【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】分類討論；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】記事件M：相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，事件N：A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴．分三類討論求出事件M的掛法總數(shù)，分兩類討論求出對于事件N的掛法總數(shù)，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式計(jì)算即可求解．【解答】解：記事件M：相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，事件N：A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴．當(dāng)頂點(diǎn)A與C掛同一種形狀的風(fēng)鈴，且相鄰兩頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴時(shí)，分以下兩類：（1）A，C，E掛同一種形狀的風(fēng)鈴，由前面解析可知，此時(shí)不同的掛法有108種；（2）當(dāng)A，C掛同一種形狀的風(fēng)鈴，E掛其他形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有A42此時(shí)B，D，F(xiàn)有3×2×2種掛法，故不同的掛法共有A4綜上，總計(jì)有108+144＝252種掛法，即n（MN）＝252，對于事件M，包含的情況可分以下三類：（1）當(dāng)A，C，E掛同一種形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有4種掛法，此時(shí)B，D，F(xiàn)各有3種掛法，故不同的掛法共有4×3×3×3＝108種；（2）當(dāng)A，C，E掛兩種不同形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有C32此時(shí)B，D，F(xiàn)有3×2×2種掛法，故不同的掛法共有C3（3）當(dāng)A，C，E掛三種不同形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有A43此時(shí)B，D，F(xiàn)各有2種掛法，故不同的掛法共有A4綜上，總計(jì)有108+432+192＝732種掛法，即n（M）＝732．故P(故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查古典概型以及分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．5．甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲每次投中的概率為0.8，乙每次投中的概率為0.7．若甲、乙兩人各投籃一次，且是否投中互不影響，則恰有一人投中的概率為（）A．0.38 B．0.44 C．0.56 D．0.62【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式及互斥事件概率加法公式分別計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意，若甲、乙兩人各投籃一次，若恰有一人投中，即甲投中而乙沒有投中或甲沒有投中而乙投中，其概率P＝0.8×（1﹣0.7）+（1﹣0.8）×0.7＝0.38．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查互斥事件概率的加法公式，涉及相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．已知隨機(jī)事件A、B發(fā)生的概率分別為P(A．若A與B互斥，則P(B．若A與B相互獨(dú)立，則P(C．若P(AB)=19，D．若B?A，則P【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件概率加法公式計(jì)算可判斷A，利用獨(dú)立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判斷B；利用獨(dú)立事件的概念可判斷C；由交事件的定義可判斷D．【解答】解：已知隨機(jī)事件A、B發(fā)生的概率分別為P(對于A，若A與B互斥，則P(A∪對于B，若A與B相互獨(dú)立，則P(所以，P(A∪對于C，若P(AB所以，事件A與B相互獨(dú)立，故C正確；對于D，若B?A，則AB＝A∩B＝B，所以P(AB)=故選：D．【點(diǎn)評】本題考查互斥事件概率加法公式，獨(dú)立事件的概率公式，交事件的定義等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）7．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，甲每次命中概率為0.7，乙每次命中概率為0.8，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則（）A．兩人都命中的概率為0.56 B．恰好有一人命中的概率為0.38 C．兩人都沒有命中的概率為0.6 D．至少有一人命中的概率為0.94【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】計(jì)算各事件的概率判斷各選項(xiàng)是否正確．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A＝“甲投籃一次且命中”，事件B＝“乙投籃一次且命中”．則事件A，B獨(dú)立，依次分析選項(xiàng)：對于A，若兩人都命中，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56，故A正確；對于B，若恰好有一人命中，則P(AB)+P(AB)=P對于C，若兩人都沒有命中，則P(AB)=P(A)對于D，若至少有一人命中，則1-P(故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，涉及互斥事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件以及互斥事件概率計(jì)算相關(guān)知識(shí)可逐一判斷．【解答】解：對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，A正確；對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C32β對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為（1﹣β）?β?（1﹣β）＝β（1﹣β）2，B正確；對于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P＝（1﹣α）2（1+2α），單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率P′＝1﹣α，而0＜α＜0.5，因此P﹣P′＝（1﹣α）2（1+2α）﹣（1﹣α）＝α（1﹣α）（1﹣2α）＞0，即P＞P′，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件以及互斥事件概率計(jì)算相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是5”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之積是12”，則下列說法正確的是（）A．甲、乙對立 B．甲、丙互斥 C．甲、乙相互獨(dú)立 D．乙、丙相互獨(dú)立【考點(diǎn)】由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性；互斥事件與對立事件．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨(dú)立事件相關(guān)知識(shí)可解．【解答】解：甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是5”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之積是12”，甲和乙可以同時(shí)發(fā)生，則不互斥也不對立，故A錯(cuò)誤，若第一次骰子數(shù)字為5，則兩次數(shù)字之積不為12，故甲和丙不能同時(shí)發(fā)生，則B正確；根據(jù)題意，甲發(fā)生的概率為636=16，乙發(fā)生的概率為又16×16=丙發(fā)生的概率為436=19，而乙又16×1故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查互斥事件，對立事件，相互獨(dú)立事件相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）10．天津是一個(gè)歷史悠久的文化古都，盤山，石家大院，古文化街，鼓樓這四個(gè)景點(diǎn)又是天津十分有名的旅游勝地．已知某游客游覽盤山的概率為23，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是12，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，則該游客只游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為524；該游客至少游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】524；3【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求出該游客只游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率；至少游覽三個(gè)景點(diǎn)分為游覽了三個(gè)景點(diǎn)或四個(gè)景點(diǎn)，分別求出這兩種情況的概率，相加即可．【解答】解：某游客游覽盤山的概率為23，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是1只瀏覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為：23游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為：13游覽四個(gè)景點(diǎn)的概率為：23故至少游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為：724故答案為：524；3【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式，屬于中檔題．11．已知M，N是相互獨(dú)立事件，且P（M）＝0.4，P（N）＝0.3，則P（M∪N）＝0.58．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；并事件積事件的概率關(guān)系及計(jì)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.58．【分析】先根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求出P（MN），再根據(jù)P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，因?yàn)镸，N是相互獨(dú)立事件，P（M）＝0.4，P（N）＝0.3，所以P（MN）＝P（M）P（N）＝0.12，則P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）＝0.4+0.3﹣0.12＝0.58．故答案為：0.58．【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立事件的乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．12．2025年是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，為激發(fā)民眾的愛國熱情和民族自豪感，某地舉辦相關(guān)知識(shí)競答活動(dòng)．在決賽中，每輪活動(dòng)由甲、乙各答一個(gè)問題，已知甲每輪答對的概率為14，乙每輪答對的概率為25.在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則兩人在兩輪活動(dòng)中共答對3個(gè)問題的概率為9100【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】9100【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式求得正確答案．【解答】解：在決賽中，每輪活動(dòng)由甲、乙各答一個(gè)問題，甲每輪答對的概率為14，乙每輪答對的概率為2在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，兩人在兩輪活動(dòng)中共答對3個(gè)問題，可能甲答對2個(gè)、乙答對1個(gè)，或甲答對1個(gè)、乙答對2個(gè)，∴兩人在兩輪活動(dòng)中共答對3個(gè)問題的概率為：P=(故答案為：9100【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．某次知識(shí)競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.6，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率為0.144．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.144．【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：若該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪，則該選手第3和第4個(gè)問題都回答正確，第2個(gè)問題回答錯(cuò)誤，又因?yàn)樵撨x手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.6，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，所以該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率為（1﹣0.6）×0.6×0.6＝0.144．故答案為：0.144．【點(diǎn)評】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．某公司舉辦乒乓球比賽，比賽采取5局3勝制，已知在甲、乙兩人的比賽中，每局比賽甲獲勝的概率都為35（1）求前2局中，甲、乙各獲勝1局的概率；（2）求第1局乙獲勝且第4局甲獲勝的概率；（3）求甲、乙比賽結(jié)束時(shí)所用局?jǐn)?shù)不大于4的概率．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）1225（2）126625（3）409625【分析】（1）列舉出甲、乙各獲勝1局的情況，根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求解；（2）列舉出第1局乙獲勝且第4局甲獲勝的情況，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求解；（3）Pi為甲、乙比賽結(jié)束時(shí)，只進(jìn)行i（i＝3，4）局比賽的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式分別計(jì)算得到P3，P4，相加即得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意每局比賽乙獲勝的概率為1-3設(shè)事件Ai＝“第i局比賽甲獲勝”，事件Bi＝“第i局比賽乙獲勝”，事件C＝“前2局中，甲、乙各獲勝1局”，∴前2局中，甲、乙各獲勝1局的概率為：P（C）＝P（A1B2）+P（B1A2）=3（2）記事件D＝“第1局乙獲勝且第4局甲獲勝”，則D＝B1B2A3A4+B1A2B3A4+B1A2A3A4，∴第1局乙獲勝且第4局甲獲勝的概率為：P（D）＝P（B1B2A3A4）+P（B1A2B3A4）+P（B1A2A3A4）=2=126（3）記Pi為甲、乙比賽結(jié)束時(shí)，只進(jìn)行i（i＝3，4）局比賽的概率，則P3＝P（A1A2A3）+P（B1B2B3）＝（35）3+（25）3P4＝P（B1A2A3A4）+P（A1B2A3A4）+P（A1A2B3A4）+P（A1B2B3B4）+P（B1A2B3B4）+P（B1B1A3B4）=2=234∴甲、乙比賽結(jié)束時(shí)所用局?jǐn)?shù)不大于4的概率為：P3+P4=7【點(diǎn)評】本題考查獨(dú)立事件概率乘積公式、互斥事件和概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．玉溪本地特有的紅土和天然釉礦為原料燒制而成，工藝難度大，成功率低．假設(shè)青花瓷燒制開窯后經(jīng)檢驗(yàn)分為成品和廢品兩類，現(xiàn)有青花瓷6個(gè)，其中3個(gè)由工匠甲燒制，3個(gè)由工匠乙燒制，甲、乙兩人燒制青花瓷的成品率分別為15，1（1）求甲燒制的3個(gè)青花瓷中至多有2個(gè)成品的概率；（2）設(shè)乙燒制的這3個(gè)青花瓷中成品的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）124125（2）分布列為：X0123P7291000243100027100011000E(【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率乘法公式和對立事件概率求解；（2）由題意得出X～【解答】解：（1）設(shè)甲燒制的3個(gè)青花瓷中成品的個(gè)數(shù)為Y，則Y≤2的對立事件為Y＝3，∵P(∴P(（2）∵乙燒制的這3個(gè)青花瓷中成品的個(gè)數(shù)為X，乙燒制青花瓷的成品率110∴X～∵X的可能取值為0，1，2，3，∴P(P(P(P(∴X的分布列為：X0123P7291000243100027100011000X的期望E(【點(diǎn)評】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件與對立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做A．注：①兩個(gè)對立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點(diǎn)評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對立事件的概率公式p（A）＝