6.2.4向量的數(shù)量積（第1課時(shí)）第6章平面向量及其應(yīng)用

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算.類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？

因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念.

“數(shù)量積”即是兩個(gè)向量相乘的結(jié)果.概念學(xué)習(xí)

θ

特殊情況與同向與垂直，記作與反向注意1.向量的夾角是兩向量共起點(diǎn)時(shí)所夾的角；

1.向量的夾角

OAB

θ作者：湛江市第五中學(xué)鐘景榮OABOABOAB

注意：1.求向量夾角要求向量同起點(diǎn)；2.向量夾角范圍0≤θ≤π作者：湛江市第五中學(xué)鐘景榮2.數(shù)量積的定義

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

注意4.向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個(gè)向量的長度以及夾角都有關(guān)，符號(hào)由夾角的余弦值決定.

再探新知思考：物理中，力與物體位移共線時(shí)，如何計(jì)算功？力與物體位移不共線時(shí)，如何如何轉(zhuǎn)化為共線的情況計(jì)算功？“正交分解”向量的投影

ABCD

再探新知

圖6.2-20(2)

ONM1

θM11①當(dāng)θ為銳角時(shí)(圖6.2-21(1)),

②當(dāng)θ為直角時(shí)(圖6.2-21(2)),

OMNM1圖6.2-21(1)

θ

OMNM1圖6.2-21(2)

θOMNM1圖6.2-21(3)

θ

從上面的討論可知,對(duì)于任意的θ∈[0,π],都有

OM（M1）N

OM（M1）N

理解新知

由向量數(shù)量積的定義，可以得到向量數(shù)量積的如下重要性質(zhì)．

(2)(3)與同向與反向特別地：即，(5)≤

由數(shù)量積的定義，可得以下重要結(jié)論:

(1)

判定兩向量垂直(4)

用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀.探究新知探究：類比向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算是否也滿足一些運(yùn)算律呢？回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)的運(yùn)算律，猜測數(shù)量積可能成立的運(yùn)算律：類比：實(shí)數(shù)乘法的交換律

實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律

實(shí)數(shù)乘法的分配律

思考：以上猜測的運(yùn)算律公式是否都成立呢？你能用所學(xué)知識(shí)證明嗎？(提醒：注意運(yùn)算結(jié)果的屬性和方向)探究新知

探究新知

數(shù)量積運(yùn)算只滿足對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律，而運(yùn)算自身并不滿足結(jié)合律探究新知

歸納新知

注意

思考：向量是否也有“完全平方公式”或“平方差公式”？兩個(gè)向量共線分為同向共線與反向共線兩種情況，對(duì)應(yīng)的夾角分別是0°和180°，不要弄錯(cuò).

未弄清向量的夾角而弄錯(cuò)坑①

顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，故它們的夾角為0°.

顯然BA=-2BC，所以BA與BC共線，

因?yàn)樗鼈兪欠聪蚬簿€，故夾角為180°

A.150°B.120°C.60°D.30°如圖所示就是符合題意的向量，

根據(jù)題意有ΔACO和ΔBCO都是是等邊三角形，所以∠AOB=60°+60°=120°

平面幾何性質(zhì)運(yùn)用不準(zhǔn)確坑②在ΔABC中，|BC|=5，|CA|=6，∠BCA=60°，求BC·CA

判斷兩個(gè)向量的夾角，應(yīng)先把兩個(gè)向量移動(dòng)到同一起點(diǎn)，BC與CA的夾角是∠BCA的補(bǔ)角.方法技巧：

投影向量的求解策略求投影向量要搞清楚是求哪一個(gè)向量在哪一個(gè)向量上的投影向量，在正確理解其定義的同時(shí)，找準(zhǔn)兩向量之間的夾角是關(guān)鍵，確定兩向量的夾角時(shí)，一定