第十四章

全等三角形14.2三角形全等的判定性質(zhì)和判定是幾何研究的主要內(nèi)容.在上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)，知道了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.反過來，具備什么條件的兩個(gè)三角形全等呢？我們從構(gòu)成三角形的元素——邊、角的關(guān)系出發(fā)，研究三角形全等的判定方法.新課導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用“SAS”“ASA”“SSS”和“AAS”證明兩個(gè)三角形全等的方法.2.能根據(jù)條件靈活選擇三角形全等的判定方法，并能綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等和角相等.3.能用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角.4.通過作圖過程，理解尺規(guī)作圖的基本原理和方法，發(fā)展空間觀念.5.會(huì)用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等.6.借助全等三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題.根據(jù)全等三角形的定義，如果△ABC與△A’B’C’滿足三條邊分別相等，三個(gè)角分別相等，即一定要滿足三條邊分別相等，三個(gè)角也分別相等，才能保證兩個(gè)三角形全等嗎?上述六個(gè)條件中，有些條件是相關(guān)的，能否在上述六個(gè)條件中選擇部分條件，簡(jiǎn)捷地判定兩個(gè)三角形全等呢?

我們按照條件由多到少的順序進(jìn)行研究.探究1先任意畫出一個(gè)△ABC.再畫一個(gè)△A’B’C’，使△ABC與△A’B’C’滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)(一邊或一角分別相等)或兩個(gè)

(兩邊、一邊一角或兩角分別相等).你畫出的△ABC與△A’B’C’一定全等嗎?畫出的△A’B’C’與△ABC不一定全等.通過畫圖容易舉出△ABC和△A’B’C’不全等的例子，因此滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)，△ABC和△A’B’C’不一定全等.滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，能保證△ABC與△A’B’C’全等嗎?

我們分情況進(jìn)行討論.探究2

如圖，直觀上，如果∠A，AB，AC的大小確定了，△ABC的形狀，大小也就確定了，也就是說，在△A’B’C’與△ABC中，如果∠A’=∠A，A’

B’=AB，A’C’=AC，那么△A’B’C’≌△ABC.這個(gè)判斷正確嗎?ABCB’C’A’正確.如圖，由∠A’=∠A

可知，如果使點(diǎn)A’與點(diǎn)A重合，并且使射線A’B’與射線AB重合，那么射線A’C’與射線AC重合.再由A’B’=AB，A’C’=AC，可知點(diǎn)B’，C’分別與點(diǎn)B，C重合.這樣，△A’B’C’的三個(gè)頂點(diǎn)與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別重合，△A’B’C’與△ABC能夠完全重合，因而△A’B’C’≌△ABC.B(B’)C(C’)A(A’)由探究2可以得到以下基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，所以在證明線段相等或角相等時(shí)，可以通過證明它們是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.典例精析例1如圖，

AC=AD，AB平分∠CAD，求證∠C=∠D.

ABCD

分析：如果能證明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D.由題意可知，△ABC與△ABD具備“邊角邊”的條件.證明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB.在△ABC和△ABD中，

AC=AD，∠CAB=∠DAB，

AB=AB∴△ABC≌△ABD(SAS).∴∠C=∠D.AB既是△ABC的邊又是△ABD的邊.我們稱它為這兩個(gè)三角形的公共邊.思考我們知道，如果兩個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等.如果兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？?jī)蛇吅推渲幸贿叺膶?duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B.連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD=CA.連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=CB.連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A，B的距離.為什么?解：當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證∠A=∠D.解：探究3如圖，直觀上，AB，∠A，∠B的大小確定了，△ABC的形狀、大小也就確定了.也就是說，在△A’B’C’與△ABC中，如果A’B’=AB，∠A’=

∠A

，

∠B’=∠B，那么△A’B’C’≌△ABC.這個(gè)判斷正確嗎?正確前面我們研究了兩個(gè)三角形的兩邊和一角分別相等的情況.接下來研究?jī)蓚€(gè)三角形的兩角和一邊分別相等的情況.如圖，由A’B’=AB可知，如果使點(diǎn)A’與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B’在射線AB上，那么點(diǎn)B’與點(diǎn)B重合再由∠A’=∠A，∠B’

=∠B，可知射線A’C’與射線AC

重合，射線B’C’與射線BC重合，于是射線A’C’，B’C’的交點(diǎn)C’與射線AC，BC的交點(diǎn)C重合，這樣，△A’B’C’的三個(gè)頂點(diǎn)與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別重合，△A’B’C’與△ABC能夠完全重合，因而△A’B’C’≌△ABC.A(A’)B(B’)C(C’)由探究3可以得到以下基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等：

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.典例精析例2

如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求證AD=AE.分析：如果能證明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE，由題意可知，△ACD和△ABE具備“角邊角”的條件.兩個(gè)三角形的兩角和一邊分別相等，除了兩角和它們的夾邊分別相等，還有兩角和其中一組等角的對(duì)邊分別相等的情況.思考如果兩個(gè)三角形的兩角和其中一組等角的對(duì)邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎?全等根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等，那么它們的另一個(gè)角也相等.這樣，由兩個(gè)三角形的兩角和其中一組等角的對(duì)邊分別相等，可以得到這兩個(gè)三角形的兩角和它們的夾邊分別相等，進(jìn)而利用“角邊角”的基本事實(shí)，就可以判定這兩個(gè)三角形全等.如圖，△A’B’C’和△ABC中，∠A=∠A’，∠B=∠B’，BC=B’C’.請(qǐng)你按照上述思路證明△ABC≌△A’B’C’.由此，我們可以得到下面的結(jié)論：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為B，D，∠1=

∠2.求證AB=AD.證明：當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使BC=CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).為什么?解：探究3如圖，直觀上，AB，BC，CA的大小確定了，△ABC的形狀、大小也就確定了.也就是說，在△A’B’C’與△ABC中，如果A’B’=AB，B’C’=

BC，C’A’=CA，那么△A’B’C’≌△ABC.這個(gè)判斷正確嗎?正確前面我們研究了兩個(gè)三角形的兩邊和一角分別相等的情況以及兩角和一邊分別相等的情況.接下來研究三邊分別相等的情況.如圖，由A’B’=AB可知，如果使點(diǎn)A’與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B’在射線AB上，那么點(diǎn)B’與點(diǎn)B重合.另外，使點(diǎn)C’落在直線AB的含有點(diǎn)C的一側(cè)，由于點(diǎn)C是以點(diǎn)A為圓心、AC為半徑的圓和以點(diǎn)B為圓心、BC為半徑的圓的交點(diǎn)，點(diǎn)C’是以點(diǎn)A’為圓心、A’C’為半徑的圓和以點(diǎn)B’為圓心、

B’C’為半徑的圓的交點(diǎn)，所以由A’C’=AC，B’C’

=BC可知點(diǎn)C’與點(diǎn)C重合.這樣，△A’B’C’的三個(gè)頂點(diǎn)與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別重合，△A’B’C’與△ABC能夠完全重合，因而△A’B’C’≌△ABC.由探究4可以得到以下基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等：

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.利用這個(gè)基本事實(shí)，可以說明我們?cè)?jīng)做過的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果：將三根木條釘成一個(gè)三角形木架，這個(gè)三角形木架的形狀、大小就不變了，也就是三角形具有穩(wěn)定性.

上述分析過程也告訴我們：已知三角形的三邊，也可以利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)三角形.如圖，已知三條線段a，b，c（其中任意兩條線段的和大于第三條線段），求作△ABC，是其三邊分別為a，b，c.abc作法：如右圖.(1)作線段AB=c；(2)分別以點(diǎn)A，B為圓心，線段b，a為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C；(3)連接AC，BC，則△ABC就是所求作的三角形.典例精析例3在如圖所示的三角形鋼架中，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架.求證AD⊥BC.分析：如果△ABD≌△ACD，那么∠ADB=∠ADC，從而有AD⊥BC.而△ABD與△ACD具備“邊邊邊”的條件.∴∠ADB=∠ADC.又∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.最后來看兩個(gè)三角形的三角分別相等的情況.思考三角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？解答這個(gè)問題后，把三角形全等的判定方法做一個(gè)小結(jié).三角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.小結(jié)：三角形全等的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS.典例精析1.如圖，AC=BD，BC=AD.求證∠ABC=∠BAD.證明：典例精析2.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角.如圖，在∠AOB的邊OA，OB

上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合.過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線.為什么?解：下面，利用三角形全等的判定方法，我們?cè)賮硌芯恳恍┏咭?guī)作圖問題.思考線段和角都是基本的幾何圖形，也是構(gòu)成其他幾何圖形的元素.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了作一條線段等于已知線段的尺規(guī)作圖，如何用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角呢？如圖(1)，已知角∠AOB，要用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角與其相等，關(guān)鍵是能用直尺和圓規(guī)確定∠AOB的大小.對(duì)于一個(gè)三角形，其三條邊、三個(gè)角是確定的.如果能將∠AOB“放在”某個(gè)三角形中，作為其一個(gè)角，而我們又能用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)三角形，那么就說明可以用直尺和圓規(guī)確定∠AOB.進(jìn)而再作出與這個(gè)三角形全等的三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，∠AOB的對(duì)應(yīng)角就是要求作的角.ABO(1)ABOCD(2)O’C’D’(3)顯然，這樣的三角形是容易作出的.如圖(2)，在∠AOB的邊，OA，OB上分別取點(diǎn)C，D，連接C，D，得到△COD，∠AOB就是△COD的一個(gè)內(nèi)角.再作出△C’O’D’(圖(3))，使△C’O’D’≌△COD，則∠C’O’D’=∠COD=∠AOB.為了作圖方便，一般取OC=OD.由此我們得到作一個(gè)角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的方法.作法：如下圖.(1)以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D;(2)作一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC為半徑作弧，交O'A'于點(diǎn)C';(3)以點(diǎn)C'為圓心，CD為半徑作弧，與上一步作的弧相交于點(diǎn)D';(4)過點(diǎn)D'作射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB.與“作一條線段等于已知線段”一樣，“作一個(gè)角等于已知角”也是基本、常用的尺規(guī)作圖，利用它可以進(jìn)一步完成其他尺規(guī)作圖.典例精析例4

如圖(1)，已知直線AB及直線AB外一點(diǎn)C.利用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)C作直線AB的平行線CD.分析：我們知道，同位角相等，兩直線平行，可以利用這個(gè)結(jié)論，過點(diǎn)C作直線AB的平行線CD，為此需要先作出截線，再作出相等的同位角.(1)B(2)作法：如圖(2).(1)過點(diǎn)C作一條直線，與直線AB相交于點(diǎn)E;(2)在點(diǎn)C處作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB;(3)反向延長(zhǎng)CD，得直線CD，則直線CD//AB.還可以利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”作圖.典例精析例5

如圖(1)，已知線段a，b和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α.(1)(2)作法：如圖(2).(1)作∠DAE=∠α;(2)在射線AD上作AB=a，在射線AE上作AC=b；(3)連接BC，則△ABC就是所求作的三角形.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，用直尺和圓規(guī)作一條直線，使這條直線過△ABC的頂點(diǎn)A，

并且與邊BC平行.當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)三角形，使這個(gè)三角形的兩角分別等于∠α，∠β，這兩角的夾邊等于線段α.下面我們來研究直角三角形全等的判定.前面學(xué)習(xí)的三角形全等的判定方法，對(duì)滿足條件的三角形都是適用的，同樣也是用于直角三角形.因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形的直角相等，所以對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一直角邊和它相對(duì)(或相鄰)的銳角分別相等，或斜邊和一銳角分別相等，或兩直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.如果滿足斜邊和一直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？ABCA’B’C’探究5如圖，在△ABC和△A'B'C'中，

∠C'=∠C=90°中，A'B'=AB，B'C'=BC.這兩個(gè)三角形全等嗎?全等如圖，由∠C'=∠C=90°可知，如果使點(diǎn)C'與點(diǎn)C重合，并且使射線C'A'與射線CA重合，那么射線C'B'與射線CB重合.再由B'C'=BC，可知點(diǎn)B'與點(diǎn)B重合.為了判斷點(diǎn)A'與點(diǎn)A是否重合，我們討論射線CA上除點(diǎn)C，A外的點(diǎn)與點(diǎn)B的連線和邊AB的大小關(guān)系.設(shè)點(diǎn)M在直角邊AC（不包括端點(diǎn)）上，連接BM，則∠BM